华东师大版九年级数学下册 第26章 二次函数 单元测试(含答案)

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华东师大版九年级数学下册 第26章 二次函数 单元测试(含答案)

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华东师大版九年级下 第26章 二次函数 单元测试
一.选择题(共12小题)
1.若y=(a-2)x2-3x+2是二次函数,则a的取值范围是(  )
A.a≠0 B.a>0 C.a>2 D.a≠2
2.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列选项判断正确的是(  )
A.a>0,c>0 B.a>0,c<0 C.a<0,c>0 D.a<0,c<0
3.将抛物线y=3x2-2向左平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度,则所得抛物线的解析式为(  )
A.y=3(x-3)2+4 B.y=3(x+3)2-4
C.y=3(x+3)2 D.y=3(x-3)2-4
4.抛物线y=(x+2)2+3的对称轴是直线(  )
A.x=2 B.x=-2 C.x=3 D.x=-3
5.若二次函数y=x2-6x+m的图象经过A(-1,a),B(2,b),C(4.5,c)三点,则a、b、c的大小关系是(  )
A.a>b>c B.c>a>b C.b>a>c D.a>c>b
6.若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限,则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是(  )
A. B. C. D.
7.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则b,c,b2-4ac,a+b+c这四个式子中,值为正数的有(  )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
8.已知二次函数y=kx2-3x-2与一次函数y=-x+1数的图象有交点,则k的取值范围是(  )
A. B.且k≠0 C. D.k>-且k≠0
9.已知在平面直角坐标系中,抛物线C1如图所示,其对称轴为直线x=-2,将抛物线C1向右平移4个单位长度得到抛物线(a、b、c为常数,且a≠0),则下列结论错误的是(  )
A.a+b-c>0 B.b2-4ac>0 C.4a+b=0 D.abc<0
10.(2025 桥东区模拟)点P为抛物线上一点,在透明胶带上描画出包含点P的抛物线C的一段,向上平移胶片,得到点P′和抛物线C′,如图所示,已知抛物线C′的顶点D的纵坐标为,且DP=DP′,则平移得到的点P′的纵坐标为(  )
A.4 B. C.5 D.
11.已知二次函数y=(x-3)2+2m+1(m为常数),其图象上有两点A(a-1,y1),B(a+1,y2),如果y1>y2,那么a的取值范围是(  )
A.a>0或a<-2 B.-1<a<3 C.a<3 D.1<a<3
12.在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A,B两点,A(-3,0),B(1,0),与y轴交点C的纵坐标在-3与-2之间,根据图象判断以下结论:①abc2>0;②;③若且x1≠x2,则x1+x2=-2;④直线与抛物线y=ax2+bx+c的一个交点(m,n)(m≠0),则.其中正确结论的个数是(  )
A.4 B.3 C.2 D.1
二.填空题(共5小题)
13.二次函数y=3(x+2)2+1的图象的顶点坐标是 ______.
14.如图,若y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,则关于x的方程ax2+bx+c=0的另一个解为______.
15.如图,某农场拟建造由甲,乙两个矩形组成的羊圈,饲养室的一面靠15m长的墙AB,其余的部分用栅栏围成甲、乙两部分.已知提前准备的建筑材料可以建造24m长的栅栏,则该羊圈最大面积可以建造______m2.
16.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点O与原点重合,顶点A,C分别在y轴与x轴上,点B的坐标为(5,4).抛物线经过点(m,n)和(m+2,n).当y随x的增大而增大时,x的取值范围是x>2m-2.若抛物线与矩形的边有两个交点,则c的取值范围是 ______.
17.(2025 武汉模拟)我们定义一种新函数:形如y=|ax2+bx+c|(a≠0,b2-4ac>0)的函数叫做“鹊桥”函数.某数学兴趣小组画出了“鹊桥”函数G:y=|x2-x-6|的图象(如图所示),并写出了下列结论:
①点(1,6)在该函数图象上;
②图象与坐标轴的交点为A(-2,0),B(3,0),C(0,6);
③当时,函数取得最大值;
④若(x0,y0)在函数图象上,则(1-x0,y0)也在函数图象上;
⑤当直线y=-x+m与函数G的图象有4个交点时,则m的取值范围是3<m<7.
其中正确的结论有______(只填序号).
三.解答题(共5小题)
18.在平面直角坐标系中,若点的横坐标、纵坐标都为整数,则称这样的点为整点.设函数y=(4a+2)x2+(9-6a)x-4a+4(实数a为常数)的图象为图象T.
(1)求证:无论a取什么实数,图象T与x轴总有公共点;
(2)是否存在整数a,使图象T与x轴的公共点中有整点?若存在,求所有整数a的值;若不存在,请说明理由.
19.已知二次函数y=x2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交于A、B(1,0)两点,与y轴交于点C(0,-3).
(1)求二次函数的表达式及A点坐标;
(2)D是二次函数图象上位于第三象限内的点,求△ACD面积的最大值及此时点D的坐标.
20.2023年10月5日,杭州亚运会女篮决赛,中国女篮以74比72战胜日本女篮夺得冠军,女篮的夺冠跟队员们平时的刻苦训练是分不开的.如图,这是一位篮球运动员在进行投篮训练,篮球以一定的速度斜向上抛出,不计空气阻力,在空中划过的运动路线可以看作是抛物线y=ax2+x+c的一部分.以O为坐标原点,建立平面直角坐标系.已知投篮处A到地面的距离AO=2.25m,最高点B的坐标为(2.5,3.5),篮筐中心距离地面的竖直高度是3.05m.
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)当篮球运动员距篮筐中心的水平距离OC为4m时,这次投篮训练是否成功?请判断并说明理由.
21.如图,抛物线与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,若B(1,0),C(0,-2),请解答下列问题:
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P在直线AC下方的抛物线上,过P作PD⊥x轴于点D,交AC于点Q,连接AP、CP,DC,请直接写出当S△APC=2S△ADC时点P的坐标.
22.如图,抛物线过点(4,0),顶点为Q,抛物线(其中t为常数,且t>2),顶点为P.
(1)求出a的值和点Q的坐标;
(2)佳佳说:无论t取何值,将C1的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在C2上;
琪琪说:无论t为何值,C2总经过一个定点;
请选择一人的说法进行说理;
(3)当t=4时,
①求直线PQ的解析式;
②作直线l∥PQ,当l与C2的交点到x轴的距离恰为6时,求l与x轴交点的坐标.
华东师大版九年级下 第26章 二次函数 单元测试
(参考答案)
一.选择题(共12小题)
1、D 2、C 3、B 4、B 5、D 6、C 7、D 8、B 9、D 10、B 11、C 12、B
二.填空题(共5小题)
13、(-2,1); 14、x=-1; 15、48; 16、或8<c<12; 17、①②④⑤;
三.解答题(共5小题)
18、解:当时,函数表达式为y=12x+6,令y=0,得,不符合题意,
当时,在y=(4a+2)x2+(9-6a)x-4a+4中,令y=0,得0=(4a+2)x2+(9-6a)x-4a+4,
解得或,
∵,a是整数,
∴当2a+1是6的因数时,是整数,
∴2a+1=-6或2a+1=-3或2a+1=-2或2a+1=-1或2a+1=1或2a+1=2或2a+1=3或2a+1=6,
解得或a=-2或或a=-1或a=0或或a=1或,
∵a是整数,
∴a=-2或a=-1或a=0或a=1.
19、解:(1)把B(1,0),C(0,-3)代入y=x2+bx+c得:,
解得,
∴二次函数的表达式为y=x2+2x-3,
当y=0时,x2+2x-3=0,
解得x1=1,x2=-3,
∴A(-3,0);
(2)过点D作x轴的垂线交AC于点G,连接AD、CD,
设直线AC的表达式为y=kx+n,
把A(-3,0)、C(0,-3)代入得:,
解得,
∴直线AC的表达式为y=-x-3,
则,
∴当DG取最大值时,△ACD的面积最大,
设D(m,m2+2m-3),则G(m,-m-3),
∵点D位于第三象限,
∴-3<m<0,DG=-m-3-(m2+2m-3)=-m2-3m,
∴,
∴当时,△ACD的面积最大,最大值为,
此时,点D的坐标为.
20、解:(1)根据题意可得:抛物线过点A(0,2.25),顶点B的坐标为(2.5,3.5),
设抛物线的解析式为y=a(x-2.5)2+3.5,
将点A(0,2.25)代入可得:2.25=a(0-2.5)2+3.5,解得:,
所以抛物线的函数表达式;
(2)这次投篮训练能成功,理由如下:
令x=4,则,
∵3.05=3.05,
∴这次投篮训练能成功.
21、解:(1)∵抛物线与x轴交于点B(1,0),与y轴交于点C(0,-2),
∴,
解得,
∴;
(2)当时,
x=1或x=-4,
∴A(-4,0),
∴OA=4,
设D(x,0),
则,
∴,
∴AD=x+4,
由题意可得:S四边形APCD=3S△ADC,
∴S△APD+S△CPD=3S△ADC,
∴,
∴,
∴,
∴x=-2或x=-4(舍去),
∴,
∴P(-2,-3).
22、(1)解:∵抛物线过点(4,0),顶点为Q,将点(4,0)代入得:
16a-8=0,
解得:,
∴抛物线,
∴点Q的坐标为(2,-2);
(2)证明:选择佳佳:
将C1的顶点Q(2,-2)向左平移2个单位长度,得到的点坐标为(0,-2),
当x=0时,得:,
∴点(0,-2)在抛物线C2上,
∴佳佳的说法是正确的;
选择琪琪:

当x=0时,y=-2,
∴无论t为何值,C2总经过一个定点(0,-2),
∴琪琪的说法是正确的;
(3)解:①当t=4时,,
∴顶点P的坐标为(4,6),
设直线PQ的解析式为y=kx+b,将点P,点Q的坐标分别代入得:

解得:,
∴直线PQ的解析式为y=4x-10;
②∵直线l∥PQ,直线l与C2的交点到x轴的距离恰为6,直线PQ的解析式为y=4x-10,
∴设直线l的解析式为y=4x+n,
∴l与C2的交点的纵坐标为|6|,
∵顶点P的坐标为(4,6),
∴l与C2的交点的纵坐标为-6,
令y=-6,得:,
解得:,
当直线l经过点时,,
解得:,
∴直线l解析式为,
令y=0,则,
解得:,
即l与x轴交点的坐标为;
当直线l经过点时,,
解得:,
∴直线l解析式为,
令y=0,则,
解得:,
即l与x轴交点的坐标为;
综上所述,l与x轴交点的坐标为或.

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