【精品解析】广东省江门市2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

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广东省江门市2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
一、选择题(本大题10小题,每小题3分,共30分.)
1.(2024七下·江门期末)9的平方根是(  )
A.3 B.-3 C.±3 D.±
2.(2024七下·江门期末)下列各数中,是无理数的是(  )
A. B. C. D.3.14
3.(2024七下·江门期末)下列调查中,适合采用抽样调查的是(  ).
A.了解全市中学生每周使用手机的时间
B.对乘坐飞机的乘客进行安全检查
C.调查我校初一某班的视力情况
D.检查“北斗”卫星重要零部件的质量
4.(2024七下·江门期末)如图各图中,∠1与∠2是对顶角的是(  )
A. B.
C. D.
5.(2024七下·江门期末) 若点在第二象限内,则在(  )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
6.(2024七下·江门期末)下列命题是真命题的是(  )
A.内错角相等
B.若两个角互补,则这两个角的和为
C.相等的角是对顶角
D.两个锐角的和是锐角
7.(2024七下·江门期末)如果,c为任意实数,那么下列不等式一定成立的是(  )
A. B. C. D.
8.(2024七下·江门期末)《孙子算经》中有一道题,原文是:“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何?”意思是:一个笼中装有鸡和兔子,上面数共有35个头,下面数共有九十四只脚,问鸡兔各有几只?如果设鸡有x只、兔有y只,则列出正确的方程组是(  )
A. B.
C. D.
9.(2024七下·江门期末)将一副直角三角尺(,)按如图所示位置摆放,使点D落在边上,,则的度数是(  )
A. B. C. D.
10.(2024七下·江门期末)如图,在平面直角坐标系中,一动点从原点出发,按向上、向右、向下、向右的方向依次不断的移动,每次移动一个单位,得到点,,,……,那么点的坐标为(  )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题5小题,每小题3分,共15分.)
11.(2024七下·江门期末)平面内点到原点的距离是   .
12.(2024七下·江门期末)如图,直线、相交于点,于,,=   °.
13.(2024七下·江门期末)设n为正整数,若后,则n的值为   .
14.(2024七下·江门期末)已知轴,点的坐标为,并且,则点的坐标为   .
15.(2024七下·江门期末)定义一种新运算:,例如:.根据上述定义,不等式组的整数解为   .
三、解答题(一)(本大题3小题,每小题8分,共24分.)
16.(2024七下·江门期末)(1)计算:
(2)解方程组:
17.(2024七下·江门期末)解不等式组,并在数轴上表示解集.
18.(2024七下·江门期末)如图,在平面直角坐标系中,三角形的顶点都在网格点上.其中,C点坐标为,将三角形先向左平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度,得到三角形.
(1)请画出三角形;
(2)写出,,的坐标;
______,______,______;
(3)求的面积.
四、解答题(二)(本大题3小题,每小题9分,共27分.)
19.(2024七下·江门期末)为切实落实“双减”,丰富学生课余生活,遂宁市某学校开展了“第二课堂”活动,推出了以下四种选修课程:A、绘画;B、唱歌;C、演讲;D、书法.学校规定:每个学生都必须报名且只能选择其中的一个课程.学校随机抽查了部分学生,对他们选择的课程情况进行了统计,并绘制了如下两幅不完整的统计图,请结合统计图中的信息解决下列问题:
(1)这次抽查的学生人数是多少人?
(2)将条形统计图补充完整;
(3)在扇形统计图中,求选课程D的人数所对的圆心角的度数;
(4)如果该校共有3600名学生,请你估计该校报课程B的学生约有多少人?
20.(2024七下·江门期末)如图所示:D,E分别是、上的点,,.
(1)求证:;
(2)若,.求的度数.
21.(2024七下·江门期末)某商家推出某种汽车模型,已知买3个A型汽车模型和2个B型汽车模型共需55元,买6个A型汽车模型和5个B型汽车模型共需130元,
(1)求A型汽车模型和B型汽车模型的单价.
(2)小明打算用120元(全用完)购买A、B两种汽车模型(A、B均购买),正好赶上商家对汽车模型价格进行调整,其中A型汽车模型上涨,B型汽车模型按原价出售,则小明有多少种不同的购买方案?
五、解答题(三)(本大题2小题,每小题12分,共24分.)
22.(2024七下·江门期末)已知平行,点P,Q分别在,上,点E在,之间.连接,,.
(1)如图1,求出与的数量关系;
(2)如图2,已知,的平分线和的平分线的反向延长线相交于点G,求的度数;
(3)如图3,M为线段上一点,连接,和的平分线相交于点N,求证:.
23.(2024七下·江门期末)【阅读材料】:
材料一:对于实数,定义一种新运算,规定:(其中,均为非零常数),等式右边是通常的四则运算.比如:;.
已知:;
材料二:“已知,均为非负数,且满足,求的范围”,有如下解法:
,,
,是非负数,即,,
,,.
【回答问题】:
(1)求出,的值;
(2)已知,均为非负数,,求的取值范围;
(3)已知,,都为非负数,,,求的最大值和最小值.
答案解析部分
1.【答案】C
【知识点】平方根
【解析】【解答】一个正数有两个平方根,且他们互为相反数.因为 =9,则9的平方根为±3.
【分析】一个正数有两个平方根,且他们互为相反数,根据平方根的定义,如果一个数的平方等于9,则这个数就是9的平方根。
2.【答案】B
【知识点】无理数的概念;求算术平方根
【解析】【解答】解:A.是有理数,不符合题意;
B.是无理数,符合题意;
C.是有理数,不符合题意;
D.3.14是有理数,不符合题意;
故答案为:B.
【分析】利用无理数的定义(无限不循环小数称为无理数)逐个分析判断求解即可.
3.【答案】A
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解:A、了解全市中学生每周使用手机的时间,适合采用抽样调查,符合题意;
B、对乘坐飞机的乘客进行安全检查,适合采用全面调查,不符合题意;
C、调查我校初一某班的视力情况,适合采用全面调查,不符合题意;
D、检查“北斗”卫星重要零部件的质量,适合采用全面调查,不符合题意,
故答案为:A.
【分析】利用抽样调查的定义及特征(一般来说,对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大,应选择抽样调查)逐项分析判断即可.
4.【答案】B
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解:根据两条直线相交,才能构成对顶角进行判断,
A、C、D都不是由两条直线相交构成的图形,错误,
B是由两条直线相交构成的图形,正确,
故答案为:B.
【分析】如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线,且这两个角有公共顶点,那么这两个角是对顶角,据此判断.
5.【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解:∵点在第二象限内
∴a<0,b>0
∴-b<0
∴则在三象限
故答案为:C
【分析】根据各象限内点的坐标特征即可求出答案.
6.【答案】B
【知识点】对顶角及其性质;内错角的概念;真命题与假命题;角的分类(直角、锐角和钝角)
7.【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解:A、,
当时,,当时,,故选项A不符合题意;
B、,
∴当时,,当时,,故选项B不符合题意;
C、,为任意实数,
,故选项C不符合题意;
D、,为任意实数,
,故选项D符合题意.
故答案为:D.
【分析】利用一元一次不等式的性质(不等式的基本性质①:不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或式子),不等号的方向不变;不等式的基本性质②:不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;不等式的基本性质③:不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变)分析求解即可.
8.【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题;列二元一次方程组
【解析】【解答】解:设鸡有x只,兔有y只,
根据题意,得,
故选:B.
【分析】设鸡有x只,兔有y只,根据题意建立方程组即可求出答案.
9.【答案】B
【知识点】角的运算;平行线的性质;多边形内角与外角
【解析】【解答】解:如图所示:
∵,
∴,
∴,
∵,,
∴,
故答案为:B.
【分析】先利用平行线的性质可得,再利用角的运算求出,再结合,,最后利用角的运算求出即可.
10.【答案】A
【知识点】探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解:由图知,、横坐标为1,
、横坐标为2,
、横坐标为3,
……,依此类推,
点的横坐标为,
、、、、、、……,的纵坐标以1、1、0、0的规律循环出现,
且,
点的纵坐标为0,
则点的坐标为.
故选:A.
【分析】先求出前几个点的坐标,然后根据点的坐标找到规律,由此即可求得点的坐标.
11.【答案】5
【知识点】数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解:∵点在x轴上,
∴点到原点的距离为.
故答案为:.
【分析】利用两点之间的距离公式分析求解即可.
12.【答案】60
【知识点】垂线的概念;对顶角及其性质
【解析】【解答】解:∵,
∴.
∵,,
∴.
故答案为:60.
【分析】由垂直的定义得,再根据求出,再根据对顶角相等即可求出答案.
13.【答案】2
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解:根据题意可得,,
又∵,n为正整数,
∴,
故答案为:2.
【分析】先求出,,再结合,求出n的值即可.
14.【答案】或
【知识点】点的坐标;坐标与图形性质;平行线的性质
【解析】【解答】解:轴,点的坐标为,
点的纵坐标为,

点B的横坐标为或,
的坐标为或.
故答案为:或.
【分析】根据平行于x轴的直线上的点的坐标可得点的纵坐标为,再根据两点间距离即可求出答案.
15.【答案】,0,1
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解:由题意可将不等式组转化为,
解得.
所以不等式组的整数解为,0,1.
故答案为:;0;1.
【分析】根据新定义运算法则列出常规的不等式组,然后根据解一元一次不等式的步骤,分别解出不等式组中每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小无解了确定出解集,最后找出解集范围内的整数解即可.
16.【答案】解:(1)

(2),
得:,
解得:,
把代入得:,
解得:,
则方程组的解为.
【知识点】实数的绝对值;加减消元法解二元一次方程组;实数的混合运算(含开方);求算术平方根;开立方(求立方根)
【解析】【分析】(1)先利用二次根式的性质、立方根的性质及绝对值的性质化简,再计算即可;
(2)利用加减消元法的计算方法及步骤分析求解即可.
17.【答案】解:,
解不等式①得:,
解不等式②得:,
∴不等式组的解集为:,
∴表示在数轴上为:
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集;解一元一次不等式组
【解析】【分析】先利用一元一次不等式的计算方法及步骤(先去分母,再去括号,然后移项并合并同类项,最后系数化为“1”即可)分析求出解集,再在数轴上表示出解集即可.
18.【答案】(1)解:三角形即为所求作的三角形,如图所示:
(2);;
(3)解:,
∴的面积为:5.
【知识点】三角形的面积;坐标与图形变化﹣平移;作图﹣平移;几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】(2)解:根据作图可知:,,;
故答案为:;;.
【分析】(1)先利用点坐标平移的特征(上加下减、左减右加)找出点A、B、C的对应点,再连接即可;
(2)根据平面直角坐标系直接求出点,,的坐标即可;
(3)利用三角形的面积公式及割补法求出的面积即可.
19.【答案】(1)解:(人),
答:这次抽查的学生有40人.
(2)解:(人),
补统计图如图所示:
(3)解:选课程的人数所对的圆心角的度数为,
答:选课程的人数所对的圆心角的度数.
(4)解:(人),
答:该校3600名学生中报课程B的学生约有1260人.
【知识点】扇形统计图;条形统计图;用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】(1)利用“A”的人数除以对应的百分比可得总人数即可;
(2)先求出“C”的人数,再作出条形统计图即可;
(3)先求出“D”的百分比,再乘以360°可得答案;
(4)先求出“B”的百分比,再乘以3600可得答案.
20.【答案】(1)证明:∵,
∴,
∵,
∴.
(2)解:∵,,
∴,
∵,
∴.
【知识点】平行线的性质;三角形内角和定理
【解析】【分析】(1)利用平行线的性质可得,再结合,利用等量代换可得;
(2)先利用平行线的性质可得,再结合,利用三角形的内角和求出即可.
21.【答案】(1)解:设一个A型汽车模型为x元,一个B型汽车模型为y元,
依题意,得:,
解得:,
答:一个A型汽车模型为5元,一个B型汽车模型为20元.
(2)解:设可以购买m个A型汽车模型和n个B型汽车模型,
依题意,得:,
∴,
又∵,均为正整数,
∴或,
∴小明有2种不同的购买方案,方案1:购买5个A型汽车模型,4个B型汽车模型;方案2:购买10个A型汽车模型,2个B型汽车模型.
【知识点】二元一次方程的应用;二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设一个A型汽车模型为x元,一个B型汽车模型为y元,根据“ 买3个A型汽车模型和2个B型汽车模型共需55元,买6个A型汽车模型和5个B型汽车模型共需130元 ”列出方程组,再求解即可;
(2)设可以购买m个A型汽车模型和n个B型汽车模型,根据“ 小明打算用120元(全用完)购买A、B两种汽车模型(A、B均购买) ”列出方程,再求解即可.
22.【答案】(1)解:延长交于点,如图所示:




是的一个外角,

.
(2)解:过点作,过点E作,如图所示:

∵,平分,
∴,
,,


∵,,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵平分,
∴,
∴,
∴.
(3)解:平分,平分,
,,
由(1)可得,

由(1)可得,




【知识点】角的运算;平行线的性质;三角形的外角性质;角平分线的概念
【解析】【分析】(1)延长交于点,根据平行线的性质可得,再利用三角形外角的性质可得,最后求出即可;
(2)过点作,过点E作,根据平行线的性质及角的运算求出,再利用角平分线的定义可得,最后利用角的运算求出即可;
(3)先利用角平分线的定义可得,,再利用角的运算和等量代换可得,再求出,最后可得.
23.【答案】(1)解:∵;,,
∴,
∴解方程组得:.
(2)解:∵,

,是非负数,
即,

∵,



(3)解:∵,,而,
∴,
解得:,
∵,,都为非负数,
∴,
解得:,


当时,,
当时,.
【知识点】解一元一次不等式组;加减消元法解二元一次方程组;三元一次方程组及其解法;求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】(1)根据提干中的定义及计算方法可得,再求出a、b的值即可;
(2)先求出,再结合,求出即可;
(3)先求出,再求出,再求出最大值和最小值即可.
1 / 1广东省江门市2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
一、选择题(本大题10小题,每小题3分,共30分.)
1.(2024七下·江门期末)9的平方根是(  )
A.3 B.-3 C.±3 D.±
【答案】C
【知识点】平方根
【解析】【解答】一个正数有两个平方根,且他们互为相反数.因为 =9,则9的平方根为±3.
【分析】一个正数有两个平方根,且他们互为相反数,根据平方根的定义,如果一个数的平方等于9,则这个数就是9的平方根。
2.(2024七下·江门期末)下列各数中,是无理数的是(  )
A. B. C. D.3.14
【答案】B
【知识点】无理数的概念;求算术平方根
【解析】【解答】解:A.是有理数,不符合题意;
B.是无理数,符合题意;
C.是有理数,不符合题意;
D.3.14是有理数,不符合题意;
故答案为:B.
【分析】利用无理数的定义(无限不循环小数称为无理数)逐个分析判断求解即可.
3.(2024七下·江门期末)下列调查中,适合采用抽样调查的是(  ).
A.了解全市中学生每周使用手机的时间
B.对乘坐飞机的乘客进行安全检查
C.调查我校初一某班的视力情况
D.检查“北斗”卫星重要零部件的质量
【答案】A
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解:A、了解全市中学生每周使用手机的时间,适合采用抽样调查,符合题意;
B、对乘坐飞机的乘客进行安全检查,适合采用全面调查,不符合题意;
C、调查我校初一某班的视力情况,适合采用全面调查,不符合题意;
D、检查“北斗”卫星重要零部件的质量,适合采用全面调查,不符合题意,
故答案为:A.
【分析】利用抽样调查的定义及特征(一般来说,对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大,应选择抽样调查)逐项分析判断即可.
4.(2024七下·江门期末)如图各图中,∠1与∠2是对顶角的是(  )
A. B.
C. D.
【答案】B
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解:根据两条直线相交,才能构成对顶角进行判断,
A、C、D都不是由两条直线相交构成的图形,错误,
B是由两条直线相交构成的图形,正确,
故答案为:B.
【分析】如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线,且这两个角有公共顶点,那么这两个角是对顶角,据此判断.
5.(2024七下·江门期末) 若点在第二象限内,则在(  )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解:∵点在第二象限内
∴a<0,b>0
∴-b<0
∴则在三象限
故答案为:C
【分析】根据各象限内点的坐标特征即可求出答案.
6.(2024七下·江门期末)下列命题是真命题的是(  )
A.内错角相等
B.若两个角互补,则这两个角的和为
C.相等的角是对顶角
D.两个锐角的和是锐角
【答案】B
【知识点】对顶角及其性质;内错角的概念;真命题与假命题;角的分类(直角、锐角和钝角)
7.(2024七下·江门期末)如果,c为任意实数,那么下列不等式一定成立的是(  )
A. B. C. D.
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解:A、,
当时,,当时,,故选项A不符合题意;
B、,
∴当时,,当时,,故选项B不符合题意;
C、,为任意实数,
,故选项C不符合题意;
D、,为任意实数,
,故选项D符合题意.
故答案为:D.
【分析】利用一元一次不等式的性质(不等式的基本性质①:不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或式子),不等号的方向不变;不等式的基本性质②:不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;不等式的基本性质③:不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变)分析求解即可.
8.(2024七下·江门期末)《孙子算经》中有一道题,原文是:“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何?”意思是:一个笼中装有鸡和兔子,上面数共有35个头,下面数共有九十四只脚,问鸡兔各有几只?如果设鸡有x只、兔有y只,则列出正确的方程组是(  )
A. B.
C. D.
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题;列二元一次方程组
【解析】【解答】解:设鸡有x只,兔有y只,
根据题意,得,
故选:B.
【分析】设鸡有x只,兔有y只,根据题意建立方程组即可求出答案.
9.(2024七下·江门期末)将一副直角三角尺(,)按如图所示位置摆放,使点D落在边上,,则的度数是(  )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】角的运算;平行线的性质;多边形内角与外角
【解析】【解答】解:如图所示:
∵,
∴,
∴,
∵,,
∴,
故答案为:B.
【分析】先利用平行线的性质可得,再利用角的运算求出,再结合,,最后利用角的运算求出即可.
10.(2024七下·江门期末)如图,在平面直角坐标系中,一动点从原点出发,按向上、向右、向下、向右的方向依次不断的移动,每次移动一个单位,得到点,,,……,那么点的坐标为(  )
A. B. C. D.
【答案】A
【知识点】探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解:由图知,、横坐标为1,
、横坐标为2,
、横坐标为3,
……,依此类推,
点的横坐标为,
、、、、、、……,的纵坐标以1、1、0、0的规律循环出现,
且,
点的纵坐标为0,
则点的坐标为.
故选:A.
【分析】先求出前几个点的坐标,然后根据点的坐标找到规律,由此即可求得点的坐标.
二、填空题(本大题5小题,每小题3分,共15分.)
11.(2024七下·江门期末)平面内点到原点的距离是   .
【答案】5
【知识点】数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解:∵点在x轴上,
∴点到原点的距离为.
故答案为:.
【分析】利用两点之间的距离公式分析求解即可.
12.(2024七下·江门期末)如图,直线、相交于点,于,,=   °.
【答案】60
【知识点】垂线的概念;对顶角及其性质
【解析】【解答】解:∵,
∴.
∵,,
∴.
故答案为:60.
【分析】由垂直的定义得,再根据求出,再根据对顶角相等即可求出答案.
13.(2024七下·江门期末)设n为正整数,若后,则n的值为   .
【答案】2
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解:根据题意可得,,
又∵,n为正整数,
∴,
故答案为:2.
【分析】先求出,,再结合,求出n的值即可.
14.(2024七下·江门期末)已知轴,点的坐标为,并且,则点的坐标为   .
【答案】或
【知识点】点的坐标;坐标与图形性质;平行线的性质
【解析】【解答】解:轴,点的坐标为,
点的纵坐标为,

点B的横坐标为或,
的坐标为或.
故答案为:或.
【分析】根据平行于x轴的直线上的点的坐标可得点的纵坐标为,再根据两点间距离即可求出答案.
15.(2024七下·江门期末)定义一种新运算:,例如:.根据上述定义,不等式组的整数解为   .
【答案】,0,1
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解:由题意可将不等式组转化为,
解得.
所以不等式组的整数解为,0,1.
故答案为:;0;1.
【分析】根据新定义运算法则列出常规的不等式组,然后根据解一元一次不等式的步骤,分别解出不等式组中每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小无解了确定出解集,最后找出解集范围内的整数解即可.
三、解答题(一)(本大题3小题,每小题8分,共24分.)
16.(2024七下·江门期末)(1)计算:
(2)解方程组:
【答案】解:(1)

(2),
得:,
解得:,
把代入得:,
解得:,
则方程组的解为.
【知识点】实数的绝对值;加减消元法解二元一次方程组;实数的混合运算(含开方);求算术平方根;开立方(求立方根)
【解析】【分析】(1)先利用二次根式的性质、立方根的性质及绝对值的性质化简,再计算即可;
(2)利用加减消元法的计算方法及步骤分析求解即可.
17.(2024七下·江门期末)解不等式组,并在数轴上表示解集.
【答案】解:,
解不等式①得:,
解不等式②得:,
∴不等式组的解集为:,
∴表示在数轴上为:
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集;解一元一次不等式组
【解析】【分析】先利用一元一次不等式的计算方法及步骤(先去分母,再去括号,然后移项并合并同类项,最后系数化为“1”即可)分析求出解集,再在数轴上表示出解集即可.
18.(2024七下·江门期末)如图,在平面直角坐标系中,三角形的顶点都在网格点上.其中,C点坐标为,将三角形先向左平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度,得到三角形.
(1)请画出三角形;
(2)写出,,的坐标;
______,______,______;
(3)求的面积.
【答案】(1)解:三角形即为所求作的三角形,如图所示:
(2);;
(3)解:,
∴的面积为:5.
【知识点】三角形的面积;坐标与图形变化﹣平移;作图﹣平移;几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】(2)解:根据作图可知:,,;
故答案为:;;.
【分析】(1)先利用点坐标平移的特征(上加下减、左减右加)找出点A、B、C的对应点,再连接即可;
(2)根据平面直角坐标系直接求出点,,的坐标即可;
(3)利用三角形的面积公式及割补法求出的面积即可.
四、解答题(二)(本大题3小题,每小题9分,共27分.)
19.(2024七下·江门期末)为切实落实“双减”,丰富学生课余生活,遂宁市某学校开展了“第二课堂”活动,推出了以下四种选修课程:A、绘画;B、唱歌;C、演讲;D、书法.学校规定:每个学生都必须报名且只能选择其中的一个课程.学校随机抽查了部分学生,对他们选择的课程情况进行了统计,并绘制了如下两幅不完整的统计图,请结合统计图中的信息解决下列问题:
(1)这次抽查的学生人数是多少人?
(2)将条形统计图补充完整;
(3)在扇形统计图中,求选课程D的人数所对的圆心角的度数;
(4)如果该校共有3600名学生,请你估计该校报课程B的学生约有多少人?
【答案】(1)解:(人),
答:这次抽查的学生有40人.
(2)解:(人),
补统计图如图所示:
(3)解:选课程的人数所对的圆心角的度数为,
答:选课程的人数所对的圆心角的度数.
(4)解:(人),
答:该校3600名学生中报课程B的学生约有1260人.
【知识点】扇形统计图;条形统计图;用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】(1)利用“A”的人数除以对应的百分比可得总人数即可;
(2)先求出“C”的人数,再作出条形统计图即可;
(3)先求出“D”的百分比,再乘以360°可得答案;
(4)先求出“B”的百分比,再乘以3600可得答案.
20.(2024七下·江门期末)如图所示:D,E分别是、上的点,,.
(1)求证:;
(2)若,.求的度数.
【答案】(1)证明:∵,
∴,
∵,
∴.
(2)解:∵,,
∴,
∵,
∴.
【知识点】平行线的性质;三角形内角和定理
【解析】【分析】(1)利用平行线的性质可得,再结合,利用等量代换可得;
(2)先利用平行线的性质可得,再结合,利用三角形的内角和求出即可.
21.(2024七下·江门期末)某商家推出某种汽车模型,已知买3个A型汽车模型和2个B型汽车模型共需55元,买6个A型汽车模型和5个B型汽车模型共需130元,
(1)求A型汽车模型和B型汽车模型的单价.
(2)小明打算用120元(全用完)购买A、B两种汽车模型(A、B均购买),正好赶上商家对汽车模型价格进行调整,其中A型汽车模型上涨,B型汽车模型按原价出售,则小明有多少种不同的购买方案?
【答案】(1)解:设一个A型汽车模型为x元,一个B型汽车模型为y元,
依题意,得:,
解得:,
答:一个A型汽车模型为5元,一个B型汽车模型为20元.
(2)解:设可以购买m个A型汽车模型和n个B型汽车模型,
依题意,得:,
∴,
又∵,均为正整数,
∴或,
∴小明有2种不同的购买方案,方案1:购买5个A型汽车模型,4个B型汽车模型;方案2:购买10个A型汽车模型,2个B型汽车模型.
【知识点】二元一次方程的应用;二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设一个A型汽车模型为x元,一个B型汽车模型为y元,根据“ 买3个A型汽车模型和2个B型汽车模型共需55元,买6个A型汽车模型和5个B型汽车模型共需130元 ”列出方程组,再求解即可;
(2)设可以购买m个A型汽车模型和n个B型汽车模型,根据“ 小明打算用120元(全用完)购买A、B两种汽车模型(A、B均购买) ”列出方程,再求解即可.
五、解答题(三)(本大题2小题,每小题12分,共24分.)
22.(2024七下·江门期末)已知平行,点P,Q分别在,上,点E在,之间.连接,,.
(1)如图1,求出与的数量关系;
(2)如图2,已知,的平分线和的平分线的反向延长线相交于点G,求的度数;
(3)如图3,M为线段上一点,连接,和的平分线相交于点N,求证:.
【答案】(1)解:延长交于点,如图所示:




是的一个外角,

.
(2)解:过点作,过点E作,如图所示:

∵,平分,
∴,
,,


∵,,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵平分,
∴,
∴,
∴.
(3)解:平分,平分,
,,
由(1)可得,

由(1)可得,




【知识点】角的运算;平行线的性质;三角形的外角性质;角平分线的概念
【解析】【分析】(1)延长交于点,根据平行线的性质可得,再利用三角形外角的性质可得,最后求出即可;
(2)过点作,过点E作,根据平行线的性质及角的运算求出,再利用角平分线的定义可得,最后利用角的运算求出即可;
(3)先利用角平分线的定义可得,,再利用角的运算和等量代换可得,再求出,最后可得.
23.(2024七下·江门期末)【阅读材料】:
材料一:对于实数,定义一种新运算,规定:(其中,均为非零常数),等式右边是通常的四则运算.比如:;.
已知:;
材料二:“已知,均为非负数,且满足,求的范围”,有如下解法:
,,
,是非负数,即,,
,,.
【回答问题】:
(1)求出,的值;
(2)已知,均为非负数,,求的取值范围;
(3)已知,,都为非负数,,,求的最大值和最小值.
【答案】(1)解:∵;,,
∴,
∴解方程组得:.
(2)解:∵,

,是非负数,
即,

∵,



(3)解:∵,,而,
∴,
解得:,
∵,,都为非负数,
∴,
解得:,


当时,,
当时,.
【知识点】解一元一次不等式组;加减消元法解二元一次方程组;三元一次方程组及其解法;求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】(1)根据提干中的定义及计算方法可得,再求出a、b的值即可;
(2)先求出,再结合,求出即可;
(3)先求出,再求出,再求出最大值和最小值即可.
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