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广东省江门市2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分．）
1．（2024七下·江门期末）9的平方根是（　　）
A．3 B．－3 C．±3 D．±
2．（2024七下·江门期末）下列各数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．3.14
3．（2024七下·江门期末）下列调查中，适合采用抽样调查的是（　　）．
A．了解全市中学生每周使用手机的时间
B．对乘坐飞机的乘客进行安全检查
C．调查我校初一某班的视力情况
D．检查“北斗”卫星重要零部件的质量
4．（2024七下·江门期末）如图各图中，∠1与∠2是对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024七下·江门期末） 若点在第二象限内，则在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（2024七下·江门期末）下列命题是真命题的是（　　）
A．内错角相等
B．若两个角互补，则这两个角的和为
C．相等的角是对顶角
D．两个锐角的和是锐角
7．（2024七下·江门期末）如果，c为任意实数，那么下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024七下·江门期末）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”意思是：一个笼中装有鸡和兔子，上面数共有35个头，下面数共有九十四只脚，问鸡兔各有几只？如果设鸡有x只、兔有y只，则列出正确的方程组是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024七下·江门期末）将一副直角三角尺（，）按如图所示位置摆放，使点D落在边上，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
10．（2024七下·江门期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断的移动，每次移动一个单位，得到点，，，……，那么点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分．）
11．（2024七下·江门期末）平面内点到原点的距离是　 　．
12．（2024七下·江门期末）如图，直线、相交于点，于，，＝　 　°．
13．（2024七下·江门期末）设n为正整数，若后，则n的值为　 　．
14．（2024七下·江门期末）已知轴，点的坐标为，并且，则点的坐标为　 　．
15．（2024七下·江门期末）定义一种新运算：，例如：．根据上述定义，不等式组的整数解为　 　．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分．）
16．（2024七下·江门期末）（1）计算：
（2）解方程组：
17．（2024七下·江门期末）解不等式组，并在数轴上表示解集．
18．（2024七下·江门期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点都在网格点上．其中，C点坐标为，将三角形先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到三角形．
（1）请画出三角形；
（2）写出，，的坐标；
______，______，______；
（3）求的面积．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分．）
19．（2024七下·江门期末）为切实落实“双减”，丰富学生课余生活，遂宁市某学校开展了“第二课堂”活动，推出了以下四种选修课程：A、绘画；B、唱歌；C、演讲；D、书法．学校规定：每个学生都必须报名且只能选择其中的一个课程．学校随机抽查了部分学生，对他们选择的课程情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息解决下列问题：
（1）这次抽查的学生人数是多少人？
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在扇形统计图中，求选课程D的人数所对的圆心角的度数；
（4）如果该校共有3600名学生，请你估计该校报课程B的学生约有多少人？
20．（2024七下·江门期末）如图所示：D，E分别是、上的点，，．
（1）求证：；
（2）若，．求的度数．
21．（2024七下·江门期末）某商家推出某种汽车模型，已知买3个A型汽车模型和2个B型汽车模型共需55元，买6个A型汽车模型和5个B型汽车模型共需130元，
（1）求A型汽车模型和B型汽车模型的单价．
（2）小明打算用120元（全用完）购买A、B两种汽车模型（A、B均购买），正好赶上商家对汽车模型价格进行调整，其中A型汽车模型上涨，B型汽车模型按原价出售，则小明有多少种不同的购买方案？
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分．）
22．（2024七下·江门期末）已知平行，点P，Q分别在，上，点E在，之间．连接，，．
（1）如图1，求出与的数量关系；
（2）如图2，已知，的平分线和的平分线的反向延长线相交于点G，求的度数；
（3）如图3，M为线段上一点，连接，和的平分线相交于点N，求证：．
23．（2024七下·江门期末）【阅读材料】：
材料一：对于实数，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数），等式右边是通常的四则运算．比如：；．
已知：；
材料二：“已知，均为非负数，且满足，求的范围”，有如下解法：
，，
，是非负数，即，，
，，．
【回答问题】：
（1）求出，的值；
（2）已知，均为非负数，，求的取值范围；
（3）已知，，都为非负数，，，求的最大值和最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平方根
【解析】【解答】一个正数有两个平方根，且他们互为相反数．因为 =9，则9的平方根为±3．
【分析】一个正数有两个平方根，且他们互为相反数，根据平方根的定义，如果一个数的平方等于9，则这个数就是9的平方根。
2．【答案】B
【知识点】无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：A．是有理数，不符合题意；
B．是无理数，符合题意；
C．是有理数，不符合题意；
D.3.14是有理数，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用无理数的定义（无限不循环小数称为无理数）逐个分析判断求解即可.
3．【答案】A
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、了解全市中学生每周使用手机的时间，适合采用抽样调查，符合题意；
B、对乘坐飞机的乘客进行安全检查，适合采用全面调查，不符合题意；
C、调查我校初一某班的视力情况，适合采用全面调查，不符合题意；
D、检查“北斗”卫星重要零部件的质量，适合采用全面调查，不符合题意，
故答案为：A．
【分析】利用抽样调查的定义及特征（一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查）逐项分析判断即可.
4．【答案】B
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：根据两条直线相交，才能构成对顶角进行判断，
A、C、D都不是由两条直线相交构成的图形，错误，
B是由两条直线相交构成的图形，正确，
故答案为：B.
【分析】如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角，据此判断.
5．【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在第二象限内
∴a<0，b>0
∴-b<0
∴则在三象限
故答案为：C
【分析】根据各象限内点的坐标特征即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】对顶角及其性质；内错角的概念；真命题与假命题；角的分类（直角、锐角和钝角）
7．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、，
当时，，当时，，故选项A不符合题意；
B、，
∴当时，，当时，，故选项B不符合题意；
C、，为任意实数，
，故选项C不符合题意；
D、，为任意实数，
，故选项D符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用一元一次不等式的性质（不等式的基本性质①：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质②：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质③：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）分析求解即可.
8．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设鸡有x只，兔有y只，
根据题意，得，
故选：B．
【分析】设鸡有x只，兔有y只，根据题意建立方程组即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：B．
【分析】先利用平行线的性质可得，再利用角的运算求出，再结合，，最后利用角的运算求出即可.
10．【答案】A
【知识点】探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：由图知，、横坐标为1，
、横坐标为2，
、横坐标为3，
……，依此类推，
点的横坐标为，
、、、、、、……，的纵坐标以1、1、0、0的规律循环出现，
且，
点的纵坐标为0，
则点的坐标为．
故选：A．
【分析】先求出前几个点的坐标，然后根据点的坐标找到规律，由此即可求得点的坐标．
11．【答案】5
【知识点】数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：∵点在x轴上，
∴点到原点的距离为．
故答案为：．
【分析】利用两点之间的距离公式分析求解即可.
12．【答案】60
【知识点】垂线的概念；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴．
∵，，
∴．
故答案为：60．
【分析】由垂直的定义得，再根据求出，再根据对顶角相等即可求出答案.
13．【答案】2
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：根据题意可得，，
又∵，n为正整数，
∴，
故答案为：2．
【分析】先求出，，再结合，求出n的值即可.
14．【答案】或
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；平行线的性质
【解析】【解答】解：轴，点的坐标为，
点的纵坐标为，
，
点B的横坐标为或，
的坐标为或．
故答案为：或．
【分析】根据平行于x轴的直线上的点的坐标可得点的纵坐标为，再根据两点间距离即可求出答案.
15．【答案】，0，1
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：由题意可将不等式组转化为，
解得．
所以不等式组的整数解为，0，1．
故答案为：；0；1．
【分析】根据新定义运算法则列出常规的不等式组，然后根据解一元一次不等式的步骤，分别解出不等式组中每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，最后找出解集范围内的整数解即可．
16．【答案】解：（1）
；
（2），
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
则方程组的解为．
【知识点】实数的绝对值；加减消元法解二元一次方程组；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先利用二次根式的性质、立方根的性质及绝对值的性质化简，再计算即可；
（2）利用加减消元法的计算方法及步骤分析求解即可.
17．【答案】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
∴表示在数轴上为：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可.
18．【答案】（1）解：三角形即为所求作的三角形，如图所示：
（2）；；
（3）解：，
∴的面积为：5．
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（2）解：根据作图可知：，，；
故答案为：；；.
【分析】（1）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）根据平面直角坐标系直接求出点，，的坐标即可；
（3）利用三角形的面积公式及割补法求出的面积即可.
19．【答案】（1）解：（人），
答：这次抽查的学生有40人.
（2）解：（人），
补统计图如图所示：
（3）解：选课程的人数所对的圆心角的度数为，
答：选课程的人数所对的圆心角的度数．
（4）解：（人），
答：该校3600名学生中报课程B的学生约有1260人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）利用“A”的人数除以对应的百分比可得总人数即可；
（2）先求出“C”的人数，再作出条形统计图即可；
（3）先求出“D”的百分比，再乘以360°可得答案；
（4）先求出“B”的百分比，再乘以3600可得答案.
20．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴.
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可得，再结合，利用等量代换可得；
（2）先利用平行线的性质可得，再结合，利用三角形的内角和求出即可．
21．【答案】（1）解：设一个A型汽车模型为x元，一个B型汽车模型为y元，
依题意，得：，
解得：，
答：一个A型汽车模型为5元，一个B型汽车模型为20元.
（2）解：设可以购买m个A型汽车模型和n个B型汽车模型，
依题意，得：，
∴，
又∵，均为正整数，
∴或，
∴小明有2种不同的购买方案，方案1：购买5个A型汽车模型，4个B型汽车模型；方案2：购买10个A型汽车模型，2个B型汽车模型．
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设一个A型汽车模型为x元，一个B型汽车模型为y元，根据“ 买3个A型汽车模型和2个B型汽车模型共需55元，买6个A型汽车模型和5个B型汽车模型共需130元 ”列出方程组，再求解即可；
（2）设可以购买m个A型汽车模型和n个B型汽车模型，根据“ 小明打算用120元（全用完）购买A、B两种汽车模型（A、B均购买） ”列出方程，再求解即可.
22．【答案】（1）解：延长交于点，如图所示：
，
，
，
，
是的一个外角，
，
.
（2）解：过点作，过点E作，如图所示：
，
∵，平分，
∴，
，，
，
，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
（3）解：平分，平分，
，，
由（1）可得，
，
由（1）可得，
，
，
，
．
【知识点】角的运算；平行线的性质；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）延长交于点，根据平行线的性质可得，再利用三角形外角的性质可得，最后求出即可；
（2）过点作，过点E作，根据平行线的性质及角的运算求出，再利用角平分线的定义可得，最后利用角的运算求出即可；
（3）先利用角平分线的定义可得，，再利用角的运算和等量代换可得，再求出，最后可得．
23．【答案】（1）解：∵；，，
∴，
∴解方程组得：.
（2）解：∵，
，
，是非负数，
即，
，
∵，
∴
，
．
（3）解：∵，，而，
∴，
解得：，
∵，，都为非负数，
∴，
解得：，
∴
；
当时，，
当时，．
【知识点】解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组；三元一次方程组及其解法；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）根据提干中的定义及计算方法可得，再求出a、b的值即可；
（2）先求出，再结合，求出即可；
（3）先求出，再求出，再求出最大值和最小值即可.
1 / 1广东省江门市2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分．）
1．（2024七下·江门期末）9的平方根是（　　）
A．3 B．－3 C．±3 D．±
【答案】C
【知识点】平方根
【解析】【解答】一个正数有两个平方根，且他们互为相反数．因为 =9，则9的平方根为±3．
【分析】一个正数有两个平方根，且他们互为相反数，根据平方根的定义，如果一个数的平方等于9，则这个数就是9的平方根。
2．（2024七下·江门期末）下列各数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．3.14
【答案】B
【知识点】无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：A．是有理数，不符合题意；
B．是无理数，符合题意；
C．是有理数，不符合题意；
D.3.14是有理数，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用无理数的定义（无限不循环小数称为无理数）逐个分析判断求解即可.
3．（2024七下·江门期末）下列调查中，适合采用抽样调查的是（　　）．
A．了解全市中学生每周使用手机的时间
B．对乘坐飞机的乘客进行安全检查
C．调查我校初一某班的视力情况
D．检查“北斗”卫星重要零部件的质量
【答案】A
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、了解全市中学生每周使用手机的时间，适合采用抽样调查，符合题意；
B、对乘坐飞机的乘客进行安全检查，适合采用全面调查，不符合题意；
C、调查我校初一某班的视力情况，适合采用全面调查，不符合题意；
D、检查“北斗”卫星重要零部件的质量，适合采用全面调查，不符合题意，
故答案为：A．
【分析】利用抽样调查的定义及特征（一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查）逐项分析判断即可.
4．（2024七下·江门期末）如图各图中，∠1与∠2是对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：根据两条直线相交，才能构成对顶角进行判断，
A、C、D都不是由两条直线相交构成的图形，错误，
B是由两条直线相交构成的图形，正确，
故答案为：B.
【分析】如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角，据此判断.
5．（2024七下·江门期末） 若点在第二象限内，则在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在第二象限内
∴a<0，b>0
∴-b<0
∴则在三象限
故答案为：C
【分析】根据各象限内点的坐标特征即可求出答案.
6．（2024七下·江门期末）下列命题是真命题的是（　　）
A．内错角相等
B．若两个角互补，则这两个角的和为
C．相等的角是对顶角
D．两个锐角的和是锐角
【答案】B
【知识点】对顶角及其性质；内错角的概念；真命题与假命题；角的分类（直角、锐角和钝角）
7．（2024七下·江门期末）如果，c为任意实数，那么下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、，
当时，，当时，，故选项A不符合题意；
B、，
∴当时，，当时，，故选项B不符合题意；
C、，为任意实数，
，故选项C不符合题意；
D、，为任意实数，
，故选项D符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用一元一次不等式的性质（不等式的基本性质①：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质②：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质③：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）分析求解即可.
8．（2024七下·江门期末）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”意思是：一个笼中装有鸡和兔子，上面数共有35个头，下面数共有九十四只脚，问鸡兔各有几只？如果设鸡有x只、兔有y只，则列出正确的方程组是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设鸡有x只，兔有y只，
根据题意，得，
故选：B．
【分析】设鸡有x只，兔有y只，根据题意建立方程组即可求出答案.
9．（2024七下·江门期末）将一副直角三角尺（，）按如图所示位置摆放，使点D落在边上，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：B．
【分析】先利用平行线的性质可得，再利用角的运算求出，再结合，，最后利用角的运算求出即可.
10．（2024七下·江门期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断的移动，每次移动一个单位，得到点，，，……，那么点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：由图知，、横坐标为1，
、横坐标为2，
、横坐标为3，
……，依此类推，
点的横坐标为，
、、、、、、……，的纵坐标以1、1、0、0的规律循环出现，
且，
点的纵坐标为0，
则点的坐标为．
故选：A．
【分析】先求出前几个点的坐标，然后根据点的坐标找到规律，由此即可求得点的坐标．
二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分．）
11．（2024七下·江门期末）平面内点到原点的距离是　 　．
【答案】5
【知识点】数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：∵点在x轴上，
∴点到原点的距离为．
故答案为：．
【分析】利用两点之间的距离公式分析求解即可.
12．（2024七下·江门期末）如图，直线、相交于点，于，，＝　 　°．
【答案】60
【知识点】垂线的概念；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴．
∵，，
∴．
故答案为：60．
【分析】由垂直的定义得，再根据求出，再根据对顶角相等即可求出答案.
13．（2024七下·江门期末）设n为正整数，若后，则n的值为　 　．
【答案】2
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：根据题意可得，，
又∵，n为正整数，
∴，
故答案为：2．
【分析】先求出，，再结合，求出n的值即可.
14．（2024七下·江门期末）已知轴，点的坐标为，并且，则点的坐标为　 　．
【答案】或
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；平行线的性质
【解析】【解答】解：轴，点的坐标为，
点的纵坐标为，
，
点B的横坐标为或，
的坐标为或．
故答案为：或．
【分析】根据平行于x轴的直线上的点的坐标可得点的纵坐标为，再根据两点间距离即可求出答案.
15．（2024七下·江门期末）定义一种新运算：，例如：．根据上述定义，不等式组的整数解为　 　．
【答案】，0，1
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：由题意可将不等式组转化为，
解得．
所以不等式组的整数解为，0，1．
故答案为：；0；1．
【分析】根据新定义运算法则列出常规的不等式组，然后根据解一元一次不等式的步骤，分别解出不等式组中每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，最后找出解集范围内的整数解即可．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分．）
16．（2024七下·江门期末）（1）计算：
（2）解方程组：
【答案】解：（1）
；
（2），
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
则方程组的解为．
【知识点】实数的绝对值；加减消元法解二元一次方程组；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先利用二次根式的性质、立方根的性质及绝对值的性质化简，再计算即可；
（2）利用加减消元法的计算方法及步骤分析求解即可.
17．（2024七下·江门期末）解不等式组，并在数轴上表示解集．
【答案】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
∴表示在数轴上为：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可.
18．（2024七下·江门期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点都在网格点上．其中，C点坐标为，将三角形先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到三角形．
（1）请画出三角形；
（2）写出，，的坐标；
______，______，______；
（3）求的面积．
【答案】（1）解：三角形即为所求作的三角形，如图所示：
（2）；；
（3）解：，
∴的面积为：5．
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（2）解：根据作图可知：，，；
故答案为：；；.
【分析】（1）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）根据平面直角坐标系直接求出点，，的坐标即可；
（3）利用三角形的面积公式及割补法求出的面积即可.
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分．）
19．（2024七下·江门期末）为切实落实“双减”，丰富学生课余生活，遂宁市某学校开展了“第二课堂”活动，推出了以下四种选修课程：A、绘画；B、唱歌；C、演讲；D、书法．学校规定：每个学生都必须报名且只能选择其中的一个课程．学校随机抽查了部分学生，对他们选择的课程情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息解决下列问题：
（1）这次抽查的学生人数是多少人？
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在扇形统计图中，求选课程D的人数所对的圆心角的度数；
（4）如果该校共有3600名学生，请你估计该校报课程B的学生约有多少人？
【答案】（1）解：（人），
答：这次抽查的学生有40人.
（2）解：（人），
补统计图如图所示：
（3）解：选课程的人数所对的圆心角的度数为，
答：选课程的人数所对的圆心角的度数．
（4）解：（人），
答：该校3600名学生中报课程B的学生约有1260人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）利用“A”的人数除以对应的百分比可得总人数即可；
（2）先求出“C”的人数，再作出条形统计图即可；
（3）先求出“D”的百分比，再乘以360°可得答案；
（4）先求出“B”的百分比，再乘以3600可得答案.
20．（2024七下·江门期末）如图所示：D，E分别是、上的点，，．
（1）求证：；
（2）若，．求的度数．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴.
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可得，再结合，利用等量代换可得；
（2）先利用平行线的性质可得，再结合，利用三角形的内角和求出即可．
21．（2024七下·江门期末）某商家推出某种汽车模型，已知买3个A型汽车模型和2个B型汽车模型共需55元，买6个A型汽车模型和5个B型汽车模型共需130元，
（1）求A型汽车模型和B型汽车模型的单价．
（2）小明打算用120元（全用完）购买A、B两种汽车模型（A、B均购买），正好赶上商家对汽车模型价格进行调整，其中A型汽车模型上涨，B型汽车模型按原价出售，则小明有多少种不同的购买方案？
【答案】（1）解：设一个A型汽车模型为x元，一个B型汽车模型为y元，
依题意，得：，
解得：，
答：一个A型汽车模型为5元，一个B型汽车模型为20元.
（2）解：设可以购买m个A型汽车模型和n个B型汽车模型，
依题意，得：，
∴，
又∵，均为正整数，
∴或，
∴小明有2种不同的购买方案，方案1：购买5个A型汽车模型，4个B型汽车模型；方案2：购买10个A型汽车模型，2个B型汽车模型．
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设一个A型汽车模型为x元，一个B型汽车模型为y元，根据“ 买3个A型汽车模型和2个B型汽车模型共需55元，买6个A型汽车模型和5个B型汽车模型共需130元 ”列出方程组，再求解即可；
（2）设可以购买m个A型汽车模型和n个B型汽车模型，根据“ 小明打算用120元（全用完）购买A、B两种汽车模型（A、B均购买） ”列出方程，再求解即可.
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分．）
22．（2024七下·江门期末）已知平行，点P，Q分别在，上，点E在，之间．连接，，．
（1）如图1，求出与的数量关系；
（2）如图2，已知，的平分线和的平分线的反向延长线相交于点G，求的度数；
（3）如图3，M为线段上一点，连接，和的平分线相交于点N，求证：．
【答案】（1）解：延长交于点，如图所示：
，
，
，
，
是的一个外角，
，
.
（2）解：过点作，过点E作，如图所示：
，
∵，平分，
∴，
，，
，
，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
（3）解：平分，平分，
，，
由（1）可得，
，
由（1）可得，
，
，
，
．
【知识点】角的运算；平行线的性质；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）延长交于点，根据平行线的性质可得，再利用三角形外角的性质可得，最后求出即可；
（2）过点作，过点E作，根据平行线的性质及角的运算求出，再利用角平分线的定义可得，最后利用角的运算求出即可；
（3）先利用角平分线的定义可得，，再利用角的运算和等量代换可得，再求出，最后可得．
23．（2024七下·江门期末）【阅读材料】：
材料一：对于实数，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数），等式右边是通常的四则运算．比如：；．
已知：；
材料二：“已知，均为非负数，且满足，求的范围”，有如下解法：
，，
，是非负数，即，，
，，．
【回答问题】：
（1）求出，的值；
（2）已知，均为非负数，，求的取值范围；
（3）已知，，都为非负数，，，求的最大值和最小值．
【答案】（1）解：∵；，，
∴，
∴解方程组得：.
（2）解：∵，
，
，是非负数，
即，
，
∵，
∴
，
．
（3）解：∵，，而，
∴，
解得：，
∵，，都为非负数，
∴，
解得：，
∴
；
当时，，
当时，．
【知识点】解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组；三元一次方程组及其解法；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）根据提干中的定义及计算方法可得，再求出a、b的值即可；
（2）先求出，再结合，求出即可；
（3）先求出，再求出，再求出最大值和最小值即可.
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