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云南省昆明市官渡区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·官渡期末）下列四个数中：，，0，，其中无理数的是（　　）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A中，由是无理数，所以A符合题意；
B中，由是负整数，属于有理数，所以B不符合题意；
C中，由0是有理数，属于有理数，所以C不符合题意；
D中，由是分数，属于有理数，所以D不符合题意.
故选：A．
【分析】本题主要考查了无理数的定义，无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。 常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等，据此逐项分析判断，即可求解.
2．（2024七下·官渡期末）下列调查中，不适合用全面调查的是（　　）
A．检查一高铁的各零部件 B．检查滇池的水质
C．调查某班的男女生比例 D．面试学校的应聘教师
【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、检查一高铁的各零部件，适合进行全面调查，故本选项不合题意；
B、检查滇池的水质，范围广，适合进行抽样调查，故本选项符合题意；
C、调查调查某班的男女生比例，适合进行全面调查，故本选项不合题意；
D、调查面试学校的应聘教师，适合进行全面调查，故本选项不合题意．
故答案为：B．
【分析】利用全面调查的定义及特征（对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查）逐项分析判断即可.
3．（2024七下·官渡期末）官渡古镇是云南特色景观旅游景点．古镇周边部分景点分布如下图，若云南省文学艺术馆的坐标为，云南省大剧院的坐标为，则金刚塔的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点的坐标；用坐标表示地理位置；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：根据云南省文学艺术馆的坐标为，云南省大剧院的坐标为可以确定直角坐标系中原点，
金刚塔的坐标为，
故答案为： D．
【分析】先建立平面直角坐标系，再根据平面直角坐标系直接求出金刚塔的坐标即可.
4．（2024七下·官渡期末）不等式x﹣2≥0的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：解不等式x﹣2≥0，
得：x≥2，
则解集用数轴表示为：
故答案为：D．
【分析】先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可.
5．（2024七下·官渡期末）下列命题是真命题的是（　　）
A．任何实数都有算术平方根
B．负数没有立方根
C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．是不等式的一个解
【答案】C
【知识点】不等式的解及解集；平行公理及推论；真命题与假命题；求算术平方根；立方根的概念与表示
【解析】【解答】解：A．正数都有算术平方根，负数没有算术平方根，0算术平方根是0，故选项错误，不符合题意；
B．任何实数都有立方根，故选项错误，不符合题意；
C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故选项正确，符合题意；
D．不等式的解集是，则不是不等式的一个解，则故选项错误，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用算术平方根的定义及计算方法、立方根的定义及计算方法、平行线的公理及不等式的解法逐项分析判断即可.
6．（2024七下·官渡期末）为了减少碳排放，国家提倡绿牌电动车出行．绿牌电动车的国家标准如下表：
执行标准
最高车速
电池电压 不超过48伏
能否载入 可载一名16周岁以下未成年人
车辆属性 非机动车
是否需要驾驶证 不需要
如果电动车的车速是，电池电压是m伏，可搭载一名x周岁的未成年人．下列不等式正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列一元一次不等式；不等式的概念
【解析】【解答】解：根据题意得：，，，
观察各选项，正确的是A，
故答案为：A．
【分析】根据题干中的的数据及生活常识及不等式的表示方法逐项分析判断即可.
7．（2024七下·官渡期末）解方程组时，把①代入②，得（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：把①代入②得：，
故选：D．
【分析】根据加减消元法解方程组即可求出答案.
8．（2024七下·官渡期末）为了解官渡区七年级学生的体质健康情况，从官渡区13000名七年级学生中随机抽取了1000名学生进行体质健康情况调查，这次调查中的样本是（　　）
A．被抽取的1000名学生的体质健康情况
B．被抽取的1000名学生
C．官渡区13000名七年级学生
D．13000名七年级学生的体质健康情况
【答案】A
【知识点】总体、个体、样本、样本容量
【解析】【解答】解：根据样本的定义可得，被抽取的1000名学生的体质健康情况是样本，
故答案为：A.
【分析】利用样本的定义（ 样本是从总体中抽取的一部分元素构成的集合）、总体的定义（总体 是包含所研究的全部个体或数据的集合）、个体的定义（个体是指总体中的每一个成员。总体表示考察对象的全体，而总体中的每一个成员就被称为个体）和样本容量的定义（ 样本容量是指一个样本中所包含的单位数，一般用n表示 ）分析求解即可.
9．（2024七下·官渡期末）若，则下列各式中不成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、由，可以得到，原式成立，不符合题意；
B、由，可以得到，原式成立，不符合题意；
C、由，可以得到，原式成立，不符合题意；
D、由，可以得到，原式不成立，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用一元一次不等式的性质（不等式的基本性质①：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质②：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质③：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）分析求解即可.
10．（2024七下·官渡期末）估计的值（　　）
A．在2和3之间 B．在3和4之间 C．在4和5之间 D．在5和6之间
【答案】D
【知识点】无理数的估值；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
故选D．
【分析】首先求出的估算值，从而得出的估算值，得出答案．
11．（2024七下·官渡期末）从甲地到乙地有一段上坡与一段平路，如果保持上坡每小时走 ，平路每小时走 .下坡每小时走 ，那么从甲地到乙地需 ，从乙地到甲地需 .设从甲地到乙地的上坡路程长 ，平路路程长为 ，依题意列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设从甲地到乙地上坡与平路分别为xkm，ykm，
由题意得：
故答案为：C.
【分析】去乙地时的路程和回来时是相同的，不过去时的上坡路和下坡路和回来时恰好相反，平路不变，已知上下坡的速度和平路速度，根据去时和回来时的时间关系，可列出方程组.
12．（2024七下·官渡期末）关于x的不等式组无解，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组无解，
∴，
故答案为：C．
【分析】先利用一元一次不等式组的计算方法求出解集，再根据“不等式组无解”求出m的取值范围即可.
13．（2024七下·官渡期末）地球仪的主体结构是球体，根据球体体积公式（R为球体半径），计算得到下表数据：
地球仪的体积V（单位：） 地球仪的半径R（单位：）
地球仪A
地球仪B
已知地球仪C的体积为，则它的半径约为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】立方根的实际应用
【解析】【解答】解：设地球仪的半径为，
则，
，
∵，
∴，
∴它的半径约为，
故答案为：B．
【分析】先根据球体体积公式，列出方程求出r，再查表求解．
14．（2024七下·官渡期末）李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用2个碗叠放时总高度为，用4个碗叠放时总高度为．若将6个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设一个碗的高度为，增加一个碗高度增加，
由题意得：，
解得：，
个碗叠成一列高度为，
即将8个碗叠成一列正好能放入消毒柜，则这个消毒柜的高度至少有，
故答案为：A．
【分析】设一个碗的高度为，增加一个碗高度增加，根据“ 用2个碗叠放时总高度为，用4个碗叠放时总高度为 ”列出方程组，再求解即可.
15．（2024七下·官渡期末）如图，小明编了一个“步步高升”程序，已知点A在平面直角坐标系中按的规律跳动．已知，，，，，，…，按此规律，的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：观察偶数项的坐标规律：，，，……，
可得，奇数项的横坐标为n，纵坐标为前一个偶数的纵坐标加2，
∵2024为偶数，
∴的坐标为，
故答案为：C．
【分析】先求出规律，奇数项的横坐标为n，纵坐标为前一个偶数的纵坐标加2，再求解即可.
16．（2024七下·官渡期末）若x是4的算术平方根，y是的立方根，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】求算术平方根；开立方（求立方根）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵x是4的算术平方根，
∴，
∵y是的立方根，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据算术平方根的运算求得；根据立方根运算求得，代入xy进而得出结果．
17．（2024七下·官渡期末）若点在第二象限内，则m的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在第二象限内，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】利用点坐标与象限的关系可得，再求出m的取值范围即可.
18．（2024七下·官渡期末）把一根筷子一端放在水里，一端露出水面，看起来筷子变弯了，这是光的折射现象，光从空气射入水中，光的传播方向发生了改变．如图，从水面上看斜插入水中的筷子变成了，若测得，，则水下部分向上弯折的　 　°．
【答案】30
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：，，
，
，，
，
，
故答案为：30．
【分析】先利用角的运算求出∠AOM的度数，再利用平行线的性质可得，最后利用角的运算求出∠MOE的度数即可.
19．（2024七下·官渡期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，则k的值为　 　．
【答案】13
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，
∴，
解得，
∴，
∴，
故答案为：13．
【分析】根据题意重新联立方程组，求出x、y的值，再将其代入3x+4y=3k-14可得，最后求出k的值即可.
20．（2024七下·官渡期末）（1）计算：；
（2）解不等式组：
【答案】解：（1）原式．
（2）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先利用有理数的乘方、算术平方根的计算方法和绝对值的性质化简，再计算即可；
（2）利用一元一次不等式组的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求解即可.
21．（2024七下·官渡期末）如图，直线，相交于点O，，平分．若，求的度数．
【答案】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴．
【知识点】垂线的概念；邻补角；角平分线的概念
【解析】【分析】先利用角的运算求出，再求出，最后利用角平分线的定义可得．
22．（2024七下·官渡期末）平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的位置如图所示．现将三角形先向上平移4个单位，再向右平移5个单位，得到三角形
（1）请在图中画出三角形，并写出点的坐标；
（2）点M是x轴上一动点，连接．当线段长度最小时，点M的坐标（_____，____），理由是_________________；
（3）求三角形的面积．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求，
∴；
（2）；；垂线段最短；
（3）解：．
【知识点】坐标与图形性质；垂线段最短及其应用；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（2）解：由垂线段最短可知，当轴，长度最小，
∵，
∴，
故答案为：；；垂线段最短.
【分析】（1）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接并直接求出点A1的坐标即可；
（2）利用垂线段最短的性质分析求解即可；
（3）利用三角形的面积公式及割补法求出△ABC的面积即可.
（1）解：如图所示，即为所求，
∴；
（2）解：由垂线段最短可知，当轴，长度最小，
∵，
∴，
故答案为：；；垂线段最短；
（3）解：．
23．（2024七下·官渡期末）2024年3月5日，在政府工作报告中李强总理强调了深化全民阅读活动的重要性．某校为了解全校学生每周课外阅读时间情况，随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．
组别 每周课外阅读的时间 频数 频率
第一组 4 0.1
第二组 7 0.175
第三组 a 0.35
第四组 9 0.225
第五组 6 0.15
请根据图表中的信息解答下列问题：
（1）本次共调查学生______人，频数分布表中的______，补全频数分布直方图；
（2）若该校共有1800名学生，试估计该校学生每周课外阅读时间不少于的学生人数．
【答案】（1）解：40；14；
补全频数分布直方图：
（2）解：（人），
答：估计该校学生每周课外阅读时间不少于的学生有675人．
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次共随机调查了学生：（人），
，
故答案为：40；14.
【分析】（1）利用“”的频数除以对应的频率求出总人数，再求出a的值并作出条形统计图即可；
（2）先求出“ 每周课外阅读时间不少于 ”的频率，再乘以1800可得答案.
（1）解：本次共随机调查了学生：（人），
，
补全频数分布直方图：
（2）解：（人），
答：估计该校学生每周课外阅读时间不少于的学生有675人．
24．（2024七下·官渡期末）如图，已知，射线交于点F，过点D作射线，使得．
求证：．请补全证明过程．
证明：∵（已知）
_______（ ），
∵（已知）
且（ ）
_______（等量代换），
_______（ ）
_______（ ）
（等量代换）．
【答案】证明：∵（已知）
（两直线平行，内错角相等），
∵（已知）
且（对顶角相等）
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行 ）
（两直线平行，同旁内角互补）
（等量代换）．
【知识点】平行线的判定与性质；推理与论证
【解析】【分析】利用平行线的性质和判定方法及推理步骤分析求解即可.
25．（2024七下·官渡期末）官渡饵块、米线、粑粑并称“官渡三宝”，是昆明小吃的重要组成部分，深受当地人和游客的喜爱．已知3个饵块和4个粑粑共48元，2个饵块和6个粑粑共42元．
（1）求一个饵块和一个粑粑分别是多少元？
（2）某班参加学校组织劳动实践竞技，准备购进饵块和粑粑共50个，若资金不超过440元，该班级最多可买多少个饵块？
【答案】（1）解：设一个饵块x元，一个粑粑y元，
由题意得，，
解得，
答：一个饵块12元，一个粑粑3元.
（2）解：设该班级购买m个饵块，则购买粑粑个，
由题意得，，
解得：，
∵m为正整数，
∴m的最大值为32，
答：该班级最多可买32个饵块.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设一个饵块x元，一个粑粑y元，根据“ 已知3个饵块和4个粑粑共48元，2个饵块和6个粑粑共42元 ”列出方程组，再求解即可；
（2）设该班级购买m个饵块，则购买粑粑个，根据“ 资金不超过440元 ”列出不等式，再求解即可.
（1）解：设一个饵块x元，一个粑粑y元，
由题意得，，
解得，
答：一个饵块12元，一个粑粑3元；
（2）解：设该班级购买m个饵块，则购买粑粑个，
由题意得，，
解得，
∵m为正整数，
∴m的最大值为32，
答：该班级最多可买32个饵块．
26．（2024七下·官渡期末）阅读下列材料，解答下面的问题．
我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如，，，…，都是方程的解，在解决实际问题中只需求出符合条件的解即可．
例：求这个二元一次方程的正整数解．
解：，得：，根据x，y为正整数，运用尝试法可以知道，
方程的正整数解为或．
问题：
（1）求方程的正整数解；
（2）七年级地理科学兴趣小组共16人（男生9人，女生7人），前往云南普者黑对喀斯特岩溶地貌进行观测研究．活动期间入住当地民宿，已知民宿有两人间和三人间两种房间可供选择，其中两人间140元一天，三人间180元一天．请你运用所学知识设计出最为合理的住宿方案，并进行简要说明．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵x、y都是正整数，
∴是正整数，
∴y一定是偶数，
∴当时，，
当时，，
∴方程的正整数解为或．
（2）解：∵，
∴三人间的人均费用比两人间的人均费用低，
∴9名男生应该都入住三人间，
设7名女生入住m间三人间，n间两人间，
由题意得，，
∴，
∵m、n为非负整数，
∴当时，，
综上所述，最为合理的住宿方案为入住4间三人间，2间两人间．
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程；二元一次方程的应用
【解析】【分析】（1）先求出，再结合是正整数，y一定是偶数，求出x、y的值即可；
（2）设7名女生入住m间三人间，n间两人间，根据题意列出方法，再结合m、n为非负整数，求出m、n的值即可.
（1）解：∵，
∴，
∵x、y都是正整数，
∴是正整数，
∴y一定是偶数，
∴当时，，
当时，，
∴方程的正整数解为或．
（2）解：∵，
∴三人间的人均费用比两人间的人均费用低，
∴9名男生应该都入住三人间，
设7名女生入住m间三人间，n间两人间，
由题意得，，
∴，
∵m、n为非负整数，
∴当时，，
综上所述，最为合理的住宿方案为入住4间三人间，2间两人间．
27．（2024七下·官渡期末）平面直角坐标系中，存在，，三点，且，．
（1）求出a，b，c的值；
（2）如图，连接，，过点C作射线轴于点D．点P在射线上运动（不与C，D重合），连接，，猜想，，之间的等量关系，并说明理由；
（3）在（2）条件下，设点P的纵坐标为t，三角形的面积为s，试探究s与t的等量关系．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴.
（2）解：当点P在x轴的下方，；
当点P在x轴的上方，．
理由如下：由（1）得：，，，
∴，
如图，当点P在x轴的下方，过点P作，
∴，
∴，
∵，
∴；
如图，当点P在x轴的下方，过点P作，
∴，
∴，
∵，
∴.
（3）解：∵，，，点P的纵坐标为t，
∴，
当点P在x轴的下方，即时，
∵，
∴
；
当点P在x轴的上方上，即时，
；
终上所述，s与t的等量关系为．
【知识点】坐标与图形性质；平行线的判定与性质；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）先利用非负数之和为0的性质求出a、b、c的值即可；
（2）分类讨论：①当点P在x轴的下方，过点P作，②当点P在x轴的下方，过点P作，先画出图形并利用平行线的性质及角的运算求解即可；
（3）分类讨论：①当点P在x轴的下方，即时，②当点P在x轴的上方上，即时，再利用割补法列出函数解析式即可.
（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：当点P在x轴的下方，；当点P在x轴的上方，．理由如下：
由（1）得：，，，
∴，
如图，当点P在x轴的下方，过点P作，
∴，
∴，
∵，
∴；
如图，当点P在x轴的下方，过点P作，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：∵，，，点P的纵坐标为t，
∴，
当点P在x轴的下方，即时，
∵，
∴
；
当点P在x轴的上方上，即时，
；
终上所述，s与t的等量关系为．
1 / 1云南省昆明市官渡区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·官渡期末）下列四个数中：，，0，，其中无理数的是（　　）
A． B． C．0 D．
2．（2024七下·官渡期末）下列调查中，不适合用全面调查的是（　　）
A．检查一高铁的各零部件 B．检查滇池的水质
C．调查某班的男女生比例 D．面试学校的应聘教师
3．（2024七下·官渡期末）官渡古镇是云南特色景观旅游景点．古镇周边部分景点分布如下图，若云南省文学艺术馆的坐标为，云南省大剧院的坐标为，则金刚塔的坐标为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024七下·官渡期末）不等式x﹣2≥0的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024七下·官渡期末）下列命题是真命题的是（　　）
A．任何实数都有算术平方根
B．负数没有立方根
C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．是不等式的一个解
6．（2024七下·官渡期末）为了减少碳排放，国家提倡绿牌电动车出行．绿牌电动车的国家标准如下表：
执行标准
最高车速
电池电压 不超过48伏
能否载入 可载一名16周岁以下未成年人
车辆属性 非机动车
是否需要驾驶证 不需要
如果电动车的车速是，电池电压是m伏，可搭载一名x周岁的未成年人．下列不等式正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024七下·官渡期末）解方程组时，把①代入②，得（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024七下·官渡期末）为了解官渡区七年级学生的体质健康情况，从官渡区13000名七年级学生中随机抽取了1000名学生进行体质健康情况调查，这次调查中的样本是（　　）
A．被抽取的1000名学生的体质健康情况
B．被抽取的1000名学生
C．官渡区13000名七年级学生
D．13000名七年级学生的体质健康情况
9．（2024七下·官渡期末）若，则下列各式中不成立的是（　　）
A． B． C． D．
10．（2024七下·官渡期末）估计的值（　　）
A．在2和3之间 B．在3和4之间 C．在4和5之间 D．在5和6之间
11．（2024七下·官渡期末）从甲地到乙地有一段上坡与一段平路，如果保持上坡每小时走 ，平路每小时走 .下坡每小时走 ，那么从甲地到乙地需 ，从乙地到甲地需 .设从甲地到乙地的上坡路程长 ，平路路程长为 ，依题意列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
12．（2024七下·官渡期末）关于x的不等式组无解，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
13．（2024七下·官渡期末）地球仪的主体结构是球体，根据球体体积公式（R为球体半径），计算得到下表数据：
地球仪的体积V（单位：） 地球仪的半径R（单位：）
地球仪A
地球仪B
已知地球仪C的体积为，则它的半径约为（　　）
A． B． C． D．
14．（2024七下·官渡期末）李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用2个碗叠放时总高度为，用4个碗叠放时总高度为．若将6个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有（　　）
A． B． C． D．
15．（2024七下·官渡期末）如图，小明编了一个“步步高升”程序，已知点A在平面直角坐标系中按的规律跳动．已知，，，，，，…，按此规律，的坐标为（　　）
A． B． C． D．
16．（2024七下·官渡期末）若x是4的算术平方根，y是的立方根，则的值为　 　．
17．（2024七下·官渡期末）若点在第二象限内，则m的取值范围是　 　．
18．（2024七下·官渡期末）把一根筷子一端放在水里，一端露出水面，看起来筷子变弯了，这是光的折射现象，光从空气射入水中，光的传播方向发生了改变．如图，从水面上看斜插入水中的筷子变成了，若测得，，则水下部分向上弯折的　 　°．
19．（2024七下·官渡期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，则k的值为　 　．
20．（2024七下·官渡期末）（1）计算：；
（2）解不等式组：
21．（2024七下·官渡期末）如图，直线，相交于点O，，平分．若，求的度数．
22．（2024七下·官渡期末）平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的位置如图所示．现将三角形先向上平移4个单位，再向右平移5个单位，得到三角形
（1）请在图中画出三角形，并写出点的坐标；
（2）点M是x轴上一动点，连接．当线段长度最小时，点M的坐标（_____，____），理由是_________________；
（3）求三角形的面积．
23．（2024七下·官渡期末）2024年3月5日，在政府工作报告中李强总理强调了深化全民阅读活动的重要性．某校为了解全校学生每周课外阅读时间情况，随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．
组别 每周课外阅读的时间 频数 频率
第一组 4 0.1
第二组 7 0.175
第三组 a 0.35
第四组 9 0.225
第五组 6 0.15
请根据图表中的信息解答下列问题：
（1）本次共调查学生______人，频数分布表中的______，补全频数分布直方图；
（2）若该校共有1800名学生，试估计该校学生每周课外阅读时间不少于的学生人数．
24．（2024七下·官渡期末）如图，已知，射线交于点F，过点D作射线，使得．
求证：．请补全证明过程．
证明：∵（已知）
_______（ ），
∵（已知）
且（ ）
_______（等量代换），
_______（ ）
_______（ ）
（等量代换）．
25．（2024七下·官渡期末）官渡饵块、米线、粑粑并称“官渡三宝”，是昆明小吃的重要组成部分，深受当地人和游客的喜爱．已知3个饵块和4个粑粑共48元，2个饵块和6个粑粑共42元．
（1）求一个饵块和一个粑粑分别是多少元？
（2）某班参加学校组织劳动实践竞技，准备购进饵块和粑粑共50个，若资金不超过440元，该班级最多可买多少个饵块？
26．（2024七下·官渡期末）阅读下列材料，解答下面的问题．
我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如，，，…，都是方程的解，在解决实际问题中只需求出符合条件的解即可．
例：求这个二元一次方程的正整数解．
解：，得：，根据x，y为正整数，运用尝试法可以知道，
方程的正整数解为或．
问题：
（1）求方程的正整数解；
（2）七年级地理科学兴趣小组共16人（男生9人，女生7人），前往云南普者黑对喀斯特岩溶地貌进行观测研究．活动期间入住当地民宿，已知民宿有两人间和三人间两种房间可供选择，其中两人间140元一天，三人间180元一天．请你运用所学知识设计出最为合理的住宿方案，并进行简要说明．
27．（2024七下·官渡期末）平面直角坐标系中，存在，，三点，且，．
（1）求出a，b，c的值；
（2）如图，连接，，过点C作射线轴于点D．点P在射线上运动（不与C，D重合），连接，，猜想，，之间的等量关系，并说明理由；
（3）在（2）条件下，设点P的纵坐标为t，三角形的面积为s，试探究s与t的等量关系．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A中，由是无理数，所以A符合题意；
B中，由是负整数，属于有理数，所以B不符合题意；
C中，由0是有理数，属于有理数，所以C不符合题意；
D中，由是分数，属于有理数，所以D不符合题意.
故选：A．
【分析】本题主要考查了无理数的定义，无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。 常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等，据此逐项分析判断，即可求解.
2．【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、检查一高铁的各零部件，适合进行全面调查，故本选项不合题意；
B、检查滇池的水质，范围广，适合进行抽样调查，故本选项符合题意；
C、调查调查某班的男女生比例，适合进行全面调查，故本选项不合题意；
D、调查面试学校的应聘教师，适合进行全面调查，故本选项不合题意．
故答案为：B．
【分析】利用全面调查的定义及特征（对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查）逐项分析判断即可.
3．【答案】D
【知识点】点的坐标；用坐标表示地理位置；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：根据云南省文学艺术馆的坐标为，云南省大剧院的坐标为可以确定直角坐标系中原点，
金刚塔的坐标为，
故答案为： D．
【分析】先建立平面直角坐标系，再根据平面直角坐标系直接求出金刚塔的坐标即可.
4．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：解不等式x﹣2≥0，
得：x≥2，
则解集用数轴表示为：
故答案为：D．
【分析】先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可.
5．【答案】C
【知识点】不等式的解及解集；平行公理及推论；真命题与假命题；求算术平方根；立方根的概念与表示
【解析】【解答】解：A．正数都有算术平方根，负数没有算术平方根，0算术平方根是0，故选项错误，不符合题意；
B．任何实数都有立方根，故选项错误，不符合题意；
C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故选项正确，符合题意；
D．不等式的解集是，则不是不等式的一个解，则故选项错误，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用算术平方根的定义及计算方法、立方根的定义及计算方法、平行线的公理及不等式的解法逐项分析判断即可.
6．【答案】A
【知识点】列一元一次不等式；不等式的概念
【解析】【解答】解：根据题意得：，，，
观察各选项，正确的是A，
故答案为：A．
【分析】根据题干中的的数据及生活常识及不等式的表示方法逐项分析判断即可.
7．【答案】D
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：把①代入②得：，
故选：D．
【分析】根据加减消元法解方程组即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】总体、个体、样本、样本容量
【解析】【解答】解：根据样本的定义可得，被抽取的1000名学生的体质健康情况是样本，
故答案为：A.
【分析】利用样本的定义（ 样本是从总体中抽取的一部分元素构成的集合）、总体的定义（总体 是包含所研究的全部个体或数据的集合）、个体的定义（个体是指总体中的每一个成员。总体表示考察对象的全体，而总体中的每一个成员就被称为个体）和样本容量的定义（ 样本容量是指一个样本中所包含的单位数，一般用n表示 ）分析求解即可.
9．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、由，可以得到，原式成立，不符合题意；
B、由，可以得到，原式成立，不符合题意；
C、由，可以得到，原式成立，不符合题意；
D、由，可以得到，原式不成立，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用一元一次不等式的性质（不等式的基本性质①：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质②：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质③：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）分析求解即可.
10．【答案】D
【知识点】无理数的估值；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
故选D．
【分析】首先求出的估算值，从而得出的估算值，得出答案．
11．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设从甲地到乙地上坡与平路分别为xkm，ykm，
由题意得：
故答案为：C.
【分析】去乙地时的路程和回来时是相同的，不过去时的上坡路和下坡路和回来时恰好相反，平路不变，已知上下坡的速度和平路速度，根据去时和回来时的时间关系，可列出方程组.
12．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组无解，
∴，
故答案为：C．
【分析】先利用一元一次不等式组的计算方法求出解集，再根据“不等式组无解”求出m的取值范围即可.
13．【答案】B
【知识点】立方根的实际应用
【解析】【解答】解：设地球仪的半径为，
则，
，
∵，
∴，
∴它的半径约为，
故答案为：B．
【分析】先根据球体体积公式，列出方程求出r，再查表求解．
14．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设一个碗的高度为，增加一个碗高度增加，
由题意得：，
解得：，
个碗叠成一列高度为，
即将8个碗叠成一列正好能放入消毒柜，则这个消毒柜的高度至少有，
故答案为：A．
【分析】设一个碗的高度为，增加一个碗高度增加，根据“ 用2个碗叠放时总高度为，用4个碗叠放时总高度为 ”列出方程组，再求解即可.
15．【答案】C
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：观察偶数项的坐标规律：，，，……，
可得，奇数项的横坐标为n，纵坐标为前一个偶数的纵坐标加2，
∵2024为偶数，
∴的坐标为，
故答案为：C．
【分析】先求出规律，奇数项的横坐标为n，纵坐标为前一个偶数的纵坐标加2，再求解即可.
16．【答案】
【知识点】求算术平方根；开立方（求立方根）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵x是4的算术平方根，
∴，
∵y是的立方根，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据算术平方根的运算求得；根据立方根运算求得，代入xy进而得出结果．
17．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在第二象限内，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】利用点坐标与象限的关系可得，再求出m的取值范围即可.
18．【答案】30
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：，，
，
，，
，
，
故答案为：30．
【分析】先利用角的运算求出∠AOM的度数，再利用平行线的性质可得，最后利用角的运算求出∠MOE的度数即可.
19．【答案】13
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，
∴，
解得，
∴，
∴，
故答案为：13．
【分析】根据题意重新联立方程组，求出x、y的值，再将其代入3x+4y=3k-14可得，最后求出k的值即可.
20．【答案】解：（1）原式．
（2）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先利用有理数的乘方、算术平方根的计算方法和绝对值的性质化简，再计算即可；
（2）利用一元一次不等式组的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求解即可.
21．【答案】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴．
【知识点】垂线的概念；邻补角；角平分线的概念
【解析】【分析】先利用角的运算求出，再求出，最后利用角平分线的定义可得．
22．【答案】（1）解：如图所示，即为所求，
∴；
（2）；；垂线段最短；
（3）解：．
【知识点】坐标与图形性质；垂线段最短及其应用；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（2）解：由垂线段最短可知，当轴，长度最小，
∵，
∴，
故答案为：；；垂线段最短.
【分析】（1）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接并直接求出点A1的坐标即可；
（2）利用垂线段最短的性质分析求解即可；
（3）利用三角形的面积公式及割补法求出△ABC的面积即可.
（1）解：如图所示，即为所求，
∴；
（2）解：由垂线段最短可知，当轴，长度最小，
∵，
∴，
故答案为：；；垂线段最短；
（3）解：．
23．【答案】（1）解：40；14；
补全频数分布直方图：
（2）解：（人），
答：估计该校学生每周课外阅读时间不少于的学生有675人．
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次共随机调查了学生：（人），
，
故答案为：40；14.
【分析】（1）利用“”的频数除以对应的频率求出总人数，再求出a的值并作出条形统计图即可；
（2）先求出“ 每周课外阅读时间不少于 ”的频率，再乘以1800可得答案.
（1）解：本次共随机调查了学生：（人），
，
补全频数分布直方图：
（2）解：（人），
答：估计该校学生每周课外阅读时间不少于的学生有675人．
24．【答案】证明：∵（已知）
（两直线平行，内错角相等），
∵（已知）
且（对顶角相等）
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行 ）
（两直线平行，同旁内角互补）
（等量代换）．
【知识点】平行线的判定与性质；推理与论证
【解析】【分析】利用平行线的性质和判定方法及推理步骤分析求解即可.
25．【答案】（1）解：设一个饵块x元，一个粑粑y元，
由题意得，，
解得，
答：一个饵块12元，一个粑粑3元.
（2）解：设该班级购买m个饵块，则购买粑粑个，
由题意得，，
解得：，
∵m为正整数，
∴m的最大值为32，
答：该班级最多可买32个饵块.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设一个饵块x元，一个粑粑y元，根据“ 已知3个饵块和4个粑粑共48元，2个饵块和6个粑粑共42元 ”列出方程组，再求解即可；
（2）设该班级购买m个饵块，则购买粑粑个，根据“ 资金不超过440元 ”列出不等式，再求解即可.
（1）解：设一个饵块x元，一个粑粑y元，
由题意得，，
解得，
答：一个饵块12元，一个粑粑3元；
（2）解：设该班级购买m个饵块，则购买粑粑个，
由题意得，，
解得，
∵m为正整数，
∴m的最大值为32，
答：该班级最多可买32个饵块．
26．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵x、y都是正整数，
∴是正整数，
∴y一定是偶数，
∴当时，，
当时，，
∴方程的正整数解为或．
（2）解：∵，
∴三人间的人均费用比两人间的人均费用低，
∴9名男生应该都入住三人间，
设7名女生入住m间三人间，n间两人间，
由题意得，，
∴，
∵m、n为非负整数，
∴当时，，
综上所述，最为合理的住宿方案为入住4间三人间，2间两人间．
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程；二元一次方程的应用
【解析】【分析】（1）先求出，再结合是正整数，y一定是偶数，求出x、y的值即可；
（2）设7名女生入住m间三人间，n间两人间，根据题意列出方法，再结合m、n为非负整数，求出m、n的值即可.
（1）解：∵，
∴，
∵x、y都是正整数，
∴是正整数，
∴y一定是偶数，
∴当时，，
当时，，
∴方程的正整数解为或．
（2）解：∵，
∴三人间的人均费用比两人间的人均费用低，
∴9名男生应该都入住三人间，
设7名女生入住m间三人间，n间两人间，
由题意得，，
∴，
∵m、n为非负整数，
∴当时，，
综上所述，最为合理的住宿方案为入住4间三人间，2间两人间．
27．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴.
（2）解：当点P在x轴的下方，；
当点P在x轴的上方，．
理由如下：由（1）得：，，，
∴，
如图，当点P在x轴的下方，过点P作，
∴，
∴，
∵，
∴；
如图，当点P在x轴的下方，过点P作，
∴，
∴，
∵，
∴.
（3）解：∵，，，点P的纵坐标为t，
∴，
当点P在x轴的下方，即时，
∵，
∴
；
当点P在x轴的上方上，即时，
；
终上所述，s与t的等量关系为．
【知识点】坐标与图形性质；平行线的判定与性质；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）先利用非负数之和为0的性质求出a、b、c的值即可；
（2）分类讨论：①当点P在x轴的下方，过点P作，②当点P在x轴的下方，过点P作，先画出图形并利用平行线的性质及角的运算求解即可；
（3）分类讨论：①当点P在x轴的下方，即时，②当点P在x轴的上方上，即时，再利用割补法列出函数解析式即可.
（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：当点P在x轴的下方，；当点P在x轴的上方，．理由如下：
由（1）得：，，，
∴，
如图，当点P在x轴的下方，过点P作，
∴，
∴，
∵，
∴；
如图，当点P在x轴的下方，过点P作，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：∵，，，点P的纵坐标为t，
∴，
当点P在x轴的下方，即时，
∵，
∴
；
当点P在x轴的上方上，即时，
；
终上所述，s与t的等量关系为．
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