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广东省广州市番禺区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·番禺期末）下列各式中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024七下·番禺期末）下列各图中，和是对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024七下·番禺期末）下列实数中是无理数的是(　　)
A． B． C． D．
4．（2024七下·番禺期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024七下·番禺期末）如果，那么下列各式中错误的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024七下·番禺期末）如图所示，下列条件中能说明的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024七下·番禺期末）如图所示是某校举行学生“环保知识”竞赛成绩的频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值），其中成绩在80分以下的学生有（　　）人．
A．140 B．120 C．70 D．60
8．（2024七下·番禺期末）下列命题是真命题的是（　　）
A．若，则 B．相等的角是对顶角
C．同旁内角互补 D．如果直线，，那么
9．（2024七下·番禺期末）若点在轴上，则点的坐标为(　　)
A． B． C． D．
10．（2024七下·番禺期末）如图，把一个含角的直角三角尺的一个顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
11．（2024七下·番禺期末） 的相反数是　 　．
12．（2024七下·番禺期末）不等式的解集为　 　．
13．（2024七下·番禺期末）方程组的解是　 　．
14．（2024七下·番禺期末）若，则　 　．
15．（2024七下·番禺期末）如图，点在的延长线上，请添加一个恰当的条件　 　，使．
16．（2024七下·番禺期末）点A(5，-3)向左平移3个单位，再向下平移2个单位后的坐标是　 　
17．（2024七下·番禺期末）已知，、是方程组的解，则　 　．
18．（2024七下·番禺期末）如图，，平分，且，下列结论：①平分；②；③；④．其中正确结论为　 　（只填写序号）．
19．（2024七下·番禺期末）计算：
（1）；
（2）；
（3）．
20．（2024七下·番禺期末）解方程组：
21．（2024七下·番禺期末）解不等式组： 并把解集在数轴上表示出来．
22．（2024七下·番禺期末）如图，平面直角坐标系中，的顶点都在网格点上．
（1）写出点A、B的坐标；
（2）将平移后得到，点A的对应点为，画出，并写出点C的对应点的坐标；
（3）设的面积为，的面积为，求．
23．（2024七下·番禺期末）某校为了提高学生参加大课间活动的积极性，丰富大课间活动项目，对“学生体育活动兴趣爱好”问题进行了一次随机抽样调查，并根据调查结果绘制成如下的不完整的条形统计图和扇形统计图：
试根据统计图信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，调查的总人数是多少？喜欢篮球项目的同学有多少人？
（2）请将条形统计图补充完整．
（3）如果该校有1600名学生，估计全校学生中有多少人喜欢“乒乓球”项目？
24．（2024七下·番禺期末）填空完成推理过程：
如图，，，求证：．
证明：∵（已知），（_______________）
∴（等量代换）
∴__________（_______________）
∴（_______________）
∵（已知），
∴（_______________）
∴__________（_______________）
∴（_______________）
25．（2024七下·番禺期末）某养牛场原有头大牛和头小牛，一天约用饲料；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时一天约用饲料．饲养员张大叔估计每头大牛一天约需饲料，每头小牛一天约需饲料，请通过计算来检验他的估计是否准确．
26．（2024七下·番禺期末）如图，已知直线平分交于点E，且．
（1）判断直线与是否平行？并说明你的理由；
（2）若于D，，求的度数（用含α的代数式表示）．
（3）连接，以点D为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B、C的坐标分别为、，且的面积等于的面积与的面积之和，求点A的坐标．
27．（2024七下·番禺期末）某书店用3000元首次购进了甲、乙两种图书，甲种图书每本进价为18元，乙种图书每本进价为15元，书店在销售时甲种图书每本售价为26元，乙种图书每本售价为20元，全部售完后共获利润1200元．
（1）求书店购进甲、乙两种图书各多少本？
（2）若书店以原进价再次购进甲、乙两种图书，购进甲种图书的数量是第一次的2倍，而购进乙种图书的数量比第一次增加了50%．现在甲种图书降价出售，而乙种图书按原售价打九折出售．当两种图书销售完毕时，要使再次获利不少于1560元，求甲种图书每本最低售价应为多少元？
（3）某活动中心计划用300元购买甲、乙两种图书，购买单价是（2）的条件下的最低售价，在300元恰好用完的条件下，有哪些可行的购买方案？哪种方案书店获利较少？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】A. 原式=4，所以A选项不符合题意；
B. 原式=±4，所以B选项不符合题意；
C. 原式= 3，所以C选项符合题意；
D. 原式=| 4|=4，所以D选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据算术平方根的定义对A进行判断；根据平方根的定义对B进行判断；根据立方根的定义对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．
2．【答案】D
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：由对顶角的定义可知，下图与是对顶角，
故选：．
【分析】根据对顶角的定义即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、是分数，属于有理数，因此选项不符合题意；
B、是有限小数，属于有理数，因此选项不符合题意；
C、是无理数，因此选项符合题意；
D、，是整数，属于有理数，因此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】无限不循环小数叫做无理数，据此进行解答即可．
4．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：不等式，
移项得，
解得：，
故答案为：B．
【分析】先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可.
5．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解： ，
∴，，，
∴A，B不符合题意，选项C符合题意，
，
∴D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用不等式的性质逐项判断即可。
6．【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A．当时，不能判定，故选项不符合题意；
B．当时，与属于同位角，能判定，故选项符合题意；
C．当时，与属于同旁内角，能判定，故选项不符合题意；
D．当时，不能判定，故选项不符合题意；
故选：B．
【分析】根据直线平行判定定理逐项进行判断即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：其中成绩在80分以下的学生有：（人）．
故答案为：D．
【分析】根据条形统计图中的数据列出算式求解即可.
8．【答案】D
【知识点】对顶角及其性质；同旁内角的概念；真命题与假命题；不等式的性质
【解析】【解答】解：如，但，故是假命题，不符合题意；
相等的角不一定是对顶角，故是假命题，不符合题意；
两直线平行，同旁内角互补，故是假命题，不符合题意；
如果直线，，那么，故是真命题，符合题意．
故答案为：．
【分析】利用不等式的性质、对顶角的定义、平行线的性质及真命题的定义逐项分析判断即可.
9．【答案】A
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：点在轴上，
，
解得：，
，
点的坐标为，
故答案为：A．
【分析】根据x轴上点的纵坐标为0可得：3-a=0，从而可得：a=3，然后进行计算即可．
10．【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，，，，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B．
【分析】先利用平行线的性质可得，再结合利用角的运算求出∠2的度数即可.
11．【答案】
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解： 的相反数是
故答案为：
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数解答即可．
12．【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：，
故答案为：．
【分析】直接根据不等式的解法进行求解即可．
13．【答案】
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：将①代入②得，
，
解得：，
将代入①得，
，
∴，
故答案为：．
【分析】用代入消元法解二元一次方程组，将①代入②计算即可。
14．【答案】
【知识点】化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：∵，
∴．
故答案为：．
【分析】根据绝对值的性质求解．
15．【答案】（答案不唯一）
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：当时，；
当时，；
当时，．
故答案为：或或（任填一个即可）．
【分析】利用同位角相等的两条直线平行、同位角相等的两条直线平行或同旁内角互补的两条直线平行的判定方法分析求解即可.
16．【答案】（2，-5）
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解： 点A(5，-3)向左平移3个单位，再向下平移2个单位后的坐标是（5-2，-3-2） ，
即（2，-5）.
故答案为： （2，-5） .
【分析】根据平移变化与坐标变化规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减，即得答案.
17．【答案】-1
【知识点】二元一次方程组的解；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：把、代入得：
，
解得：，
∴，
故答案是：．
【分析】把x与y的值代入方程组建立关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值，再代入计算即可．
18．【答案】①③④
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：平分，
，
，
，，
，
平分，故①正确；
，
，
，
，
，
，故③正确；
是的外角，
，
，
，故④正确；
，
，
∴与不能判定平行，故②错误．
综上可得：正确的结论是①③④．
故答案为：①③④．
【分析】根据角平分线定义可得，再根据角之间的关系，再根据角平分线判定定理可判断①；根据直线平行性质可得，再根据角之间的关系可判断③，再根据三角形外角性质可得，再根据角之间的关系可判断②，④，即可求出答案
19．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
（3）解：原式
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）利用立方根的定义，绝对值的性质计算即可；
（2）利用绝对值的性质化简，再合并同类二次根式即可；
（3）利用立方根的定义，有理数的乘方及乘法法则计算即可．
20．【答案】解：将①得：③
得：
将代入①得：
所以是原方程组的解．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用加减消元法的计算方法及步骤分析求解即可.
21．【答案】解：∵由①得：x＞﹣2.5，
由②得x≤4，
∴不等式组的解集为﹣2.5＜x≤4，
在数轴表示为：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示即可.
22．【答案】（1）解：A、B的坐标分别为；；
（2）解：如图，即为所求；
点的坐标为；
（3）解：∵，，
∴．
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）根据平面直角坐标系直接求出点A、B的坐标即可；
（2）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（3）利用三角形的面积公式及割补法求出的面积为，的面积为，再求解即可.
（1）解：A、B的坐标分别为；；
（2）解：如图，即为所求；
点的坐标为；
（3）解：∵
∴．
23．【答案】（1）解：在这次调查中，调查的总人数是（人），
喜欢篮球项目的同学有（人）.
（2）解：补全图形如下：
；
（3）解：（人），
答：估计全校学生中有320人喜欢“乒乓球”项目．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）利用“跳绳”的人数除以对应的百分比，可得总人数，再求出“篮球”的人数即可；
（2）利用“篮球”的人数直接作出条形统计图即可；
（3）先求出“乒乓球”的百分比，再乘以总人数即可.
（1）解：在这次调查中，调查的总人数是（人），
喜欢篮球项目的同学有（人）；
（2）解：补全图形如下：
；
（3）解：（人），
答：估计全校学生中有320人喜欢“乒乓球”项目．
24．【答案】如图，，，求证：．
证明：∵（已知），（对顶角相等）
∴（等量代换）
∴（同位角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）
∵（已知），
∴（等量代换）
∴（内错角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，内错角相等）
【知识点】平行线的判定与性质的应用-证明问题
【解析】【分析】利用平行线的判定方法和性质及推理方法分析求解即可.
25．【答案】解：设每头大牛1天约需饲料，每头小牛1天约需饲料，
根据题意得：，
解得：，
∴每头大牛1天约需饲料，每头小牛1天约需饲料，
∴每头大牛需要的饲料估计不正确，每头小牛需要的饲料估计正确．
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】设每头大牛1天约需饲料，每头小牛1天约需饲料，根据“ 某养牛场原有头大牛和头小牛，一天约用饲料；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时一天约用饲料 ”列出方程组，再求解并比较即可.
26．【答案】（1）证明：，
理由如下：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴.
（2）解：由（1）可知：，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴.
（3）解：依题意建立直角坐标，过点B作轴于F，设交y轴于H，如图所示：
∵点B、C的坐标分别为、，
∴，，，
∴，
由（1）可知：，
∴，
∴，
∵的面积等于的面积与的面积之和，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴点A的坐标为．
【知识点】坐标与图形性质；角的运算；平行线的判定与性质；三角形的面积；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先利用角平分线的定义可得，再结合，利用等量代换可得，从而可证出；
（2）先利用角的运算求出，再利用平行线的性质可得；
（3）过点B作轴于F，设交y轴于H，先结合的面积等于的面积与的面积之和，求出，再利用三角形的面积公式可得，求出AB的长，再利用线段的和差求出AH的长，从而可得点A的坐标.
（1），理由如下：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）由（1）可知：，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴；
（3）依题意建立直角坐标，过点B作轴于F，设交y轴于H，如图所示：
∵点B、C的坐标分别为、，
∴，，，
∴，
由（1）可知：，
∴，
∴，
∵的面积等于的面积与的面积之和，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴点A的坐标为．
27．【答案】（1）解：设书店购进本甲种图书，本乙种图书，
根据题意得：，
解得：．
答：书店购进100本甲种图书，80本乙种图书.
（2）解：设甲种图书每本售价为元，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为24．
答：甲种图书每本最低售价应为24元.
（3）解：设购进本甲种图书，本乙种图书，
根据题意得：，
．
又，均为正整数，
或或或，
共有4种可行的购买方案，
方案1：购进11本甲种图书，2本乙种图书；
方案2：购进8本甲种图书，6本乙种图书；
方案3：购进5本甲种图书，10本乙种图书；
方案4：购进2本甲种图书，14本乙种图书．
方案1书店可获利（元；
方案2书店可获利（元；
方案3书店可获利（元；
方案4书店可获利（元．
，
方案4：购进2本甲种图书，14本乙种图书，书店获利最少．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）设书店购进本甲种图书，本乙种图书，根据“ 某书店用3000元首次购进了甲、乙两种图书 ”和“ 全部售完后共获利润1200元 ”列出方程组，再求解即可；
（2）设甲种图书每本售价为元，根据“ 要使再次获利不少于1560元 ”列出不等式，再求解即可；
（3）设购进本甲种图书，本乙种图书，根据“ 在300元恰好用完的条件下 ”列出方程，再求解即可.
（1）解：设书店购进本甲种图书，本乙种图书，
根据题意得：，
解得：．
答：书店购进100本甲种图书，80本乙种图书；
（2）解：设甲种图书每本售价为元，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为24．
答：甲种图书每本最低售价应为24元；
（3）解：设购进本甲种图书，本乙种图书，
根据题意得：，
．
又，均为正整数，
或或或，
共有4种可行的购买方案，
方案1：购进11本甲种图书，2本乙种图书；
方案2：购进8本甲种图书，6本乙种图书；
方案3：购进5本甲种图书，10本乙种图书；
方案4：购进2本甲种图书，14本乙种图书．
方案1书店可获利（元；
方案2书店可获利（元；
方案3书店可获利（元；
方案4书店可获利（元．
，
方案4：购进2本甲种图书，14本乙种图书，书店获利最少．
1 / 1广东省广州市番禺区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·番禺期末）下列各式中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】A. 原式=4，所以A选项不符合题意；
B. 原式=±4，所以B选项不符合题意；
C. 原式= 3，所以C选项符合题意；
D. 原式=| 4|=4，所以D选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据算术平方根的定义对A进行判断；根据平方根的定义对B进行判断；根据立方根的定义对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．
2．（2024七下·番禺期末）下列各图中，和是对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：由对顶角的定义可知，下图与是对顶角，
故选：．
【分析】根据对顶角的定义即可求出答案.
3．（2024七下·番禺期末）下列实数中是无理数的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、是分数，属于有理数，因此选项不符合题意；
B、是有限小数，属于有理数，因此选项不符合题意；
C、是无理数，因此选项符合题意；
D、，是整数，属于有理数，因此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】无限不循环小数叫做无理数，据此进行解答即可．
4．（2024七下·番禺期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：不等式，
移项得，
解得：，
故答案为：B．
【分析】先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可.
5．（2024七下·番禺期末）如果，那么下列各式中错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解： ，
∴，，，
∴A，B不符合题意，选项C符合题意，
，
∴D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用不等式的性质逐项判断即可。
6．（2024七下·番禺期末）如图所示，下列条件中能说明的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A．当时，不能判定，故选项不符合题意；
B．当时，与属于同位角，能判定，故选项符合题意；
C．当时，与属于同旁内角，能判定，故选项不符合题意；
D．当时，不能判定，故选项不符合题意；
故选：B．
【分析】根据直线平行判定定理逐项进行判断即可求出答案.
7．（2024七下·番禺期末）如图所示是某校举行学生“环保知识”竞赛成绩的频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值），其中成绩在80分以下的学生有（　　）人．
A．140 B．120 C．70 D．60
【答案】D
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：其中成绩在80分以下的学生有：（人）．
故答案为：D．
【分析】根据条形统计图中的数据列出算式求解即可.
8．（2024七下·番禺期末）下列命题是真命题的是（　　）
A．若，则 B．相等的角是对顶角
C．同旁内角互补 D．如果直线，，那么
【答案】D
【知识点】对顶角及其性质；同旁内角的概念；真命题与假命题；不等式的性质
【解析】【解答】解：如，但，故是假命题，不符合题意；
相等的角不一定是对顶角，故是假命题，不符合题意；
两直线平行，同旁内角互补，故是假命题，不符合题意；
如果直线，，那么，故是真命题，符合题意．
故答案为：．
【分析】利用不等式的性质、对顶角的定义、平行线的性质及真命题的定义逐项分析判断即可.
9．（2024七下·番禺期末）若点在轴上，则点的坐标为(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：点在轴上，
，
解得：，
，
点的坐标为，
故答案为：A．
【分析】根据x轴上点的纵坐标为0可得：3-a=0，从而可得：a=3，然后进行计算即可．
10．（2024七下·番禺期末）如图，把一个含角的直角三角尺的一个顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，，，，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B．
【分析】先利用平行线的性质可得，再结合利用角的运算求出∠2的度数即可.
11．（2024七下·番禺期末） 的相反数是　 　．
【答案】
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解： 的相反数是
故答案为：
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数解答即可．
12．（2024七下·番禺期末）不等式的解集为　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：，
故答案为：．
【分析】直接根据不等式的解法进行求解即可．
13．（2024七下·番禺期末）方程组的解是　 　．
【答案】
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：将①代入②得，
，
解得：，
将代入①得，
，
∴，
故答案为：．
【分析】用代入消元法解二元一次方程组，将①代入②计算即可。
14．（2024七下·番禺期末）若，则　 　．
【答案】
【知识点】化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：∵，
∴．
故答案为：．
【分析】根据绝对值的性质求解．
15．（2024七下·番禺期末）如图，点在的延长线上，请添加一个恰当的条件　 　，使．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：当时，；
当时，；
当时，．
故答案为：或或（任填一个即可）．
【分析】利用同位角相等的两条直线平行、同位角相等的两条直线平行或同旁内角互补的两条直线平行的判定方法分析求解即可.
16．（2024七下·番禺期末）点A(5，-3)向左平移3个单位，再向下平移2个单位后的坐标是　 　
【答案】（2，-5）
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解： 点A(5，-3)向左平移3个单位，再向下平移2个单位后的坐标是（5-2，-3-2） ，
即（2，-5）.
故答案为： （2，-5） .
【分析】根据平移变化与坐标变化规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减，即得答案.
17．（2024七下·番禺期末）已知，、是方程组的解，则　 　．
【答案】-1
【知识点】二元一次方程组的解；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：把、代入得：
，
解得：，
∴，
故答案是：．
【分析】把x与y的值代入方程组建立关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值，再代入计算即可．
18．（2024七下·番禺期末）如图，，平分，且，下列结论：①平分；②；③；④．其中正确结论为　 　（只填写序号）．
【答案】①③④
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：平分，
，
，
，，
，
平分，故①正确；
，
，
，
，
，
，故③正确；
是的外角，
，
，
，故④正确；
，
，
∴与不能判定平行，故②错误．
综上可得：正确的结论是①③④．
故答案为：①③④．
【分析】根据角平分线定义可得，再根据角之间的关系，再根据角平分线判定定理可判断①；根据直线平行性质可得，再根据角之间的关系可判断③，再根据三角形外角性质可得，再根据角之间的关系可判断②，④，即可求出答案
19．（2024七下·番禺期末）计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
（3）解：原式
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）利用立方根的定义，绝对值的性质计算即可；
（2）利用绝对值的性质化简，再合并同类二次根式即可；
（3）利用立方根的定义，有理数的乘方及乘法法则计算即可．
20．（2024七下·番禺期末）解方程组：
【答案】解：将①得：③
得：
将代入①得：
所以是原方程组的解．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用加减消元法的计算方法及步骤分析求解即可.
21．（2024七下·番禺期末）解不等式组： 并把解集在数轴上表示出来．
【答案】解：∵由①得：x＞﹣2.5，
由②得x≤4，
∴不等式组的解集为﹣2.5＜x≤4，
在数轴表示为：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示即可.
22．（2024七下·番禺期末）如图，平面直角坐标系中，的顶点都在网格点上．
（1）写出点A、B的坐标；
（2）将平移后得到，点A的对应点为，画出，并写出点C的对应点的坐标；
（3）设的面积为，的面积为，求．
【答案】（1）解：A、B的坐标分别为；；
（2）解：如图，即为所求；
点的坐标为；
（3）解：∵，，
∴．
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）根据平面直角坐标系直接求出点A、B的坐标即可；
（2）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（3）利用三角形的面积公式及割补法求出的面积为，的面积为，再求解即可.
（1）解：A、B的坐标分别为；；
（2）解：如图，即为所求；
点的坐标为；
（3）解：∵
∴．
23．（2024七下·番禺期末）某校为了提高学生参加大课间活动的积极性，丰富大课间活动项目，对“学生体育活动兴趣爱好”问题进行了一次随机抽样调查，并根据调查结果绘制成如下的不完整的条形统计图和扇形统计图：
试根据统计图信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，调查的总人数是多少？喜欢篮球项目的同学有多少人？
（2）请将条形统计图补充完整．
（3）如果该校有1600名学生，估计全校学生中有多少人喜欢“乒乓球”项目？
【答案】（1）解：在这次调查中，调查的总人数是（人），
喜欢篮球项目的同学有（人）.
（2）解：补全图形如下：
；
（3）解：（人），
答：估计全校学生中有320人喜欢“乒乓球”项目．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）利用“跳绳”的人数除以对应的百分比，可得总人数，再求出“篮球”的人数即可；
（2）利用“篮球”的人数直接作出条形统计图即可；
（3）先求出“乒乓球”的百分比，再乘以总人数即可.
（1）解：在这次调查中，调查的总人数是（人），
喜欢篮球项目的同学有（人）；
（2）解：补全图形如下：
；
（3）解：（人），
答：估计全校学生中有320人喜欢“乒乓球”项目．
24．（2024七下·番禺期末）填空完成推理过程：
如图，，，求证：．
证明：∵（已知），（_______________）
∴（等量代换）
∴__________（_______________）
∴（_______________）
∵（已知），
∴（_______________）
∴__________（_______________）
∴（_______________）
【答案】如图，，，求证：．
证明：∵（已知），（对顶角相等）
∴（等量代换）
∴（同位角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）
∵（已知），
∴（等量代换）
∴（内错角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，内错角相等）
【知识点】平行线的判定与性质的应用-证明问题
【解析】【分析】利用平行线的判定方法和性质及推理方法分析求解即可.
25．（2024七下·番禺期末）某养牛场原有头大牛和头小牛，一天约用饲料；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时一天约用饲料．饲养员张大叔估计每头大牛一天约需饲料，每头小牛一天约需饲料，请通过计算来检验他的估计是否准确．
【答案】解：设每头大牛1天约需饲料，每头小牛1天约需饲料，
根据题意得：，
解得：，
∴每头大牛1天约需饲料，每头小牛1天约需饲料，
∴每头大牛需要的饲料估计不正确，每头小牛需要的饲料估计正确．
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】设每头大牛1天约需饲料，每头小牛1天约需饲料，根据“ 某养牛场原有头大牛和头小牛，一天约用饲料；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时一天约用饲料 ”列出方程组，再求解并比较即可.
26．（2024七下·番禺期末）如图，已知直线平分交于点E，且．
（1）判断直线与是否平行？并说明你的理由；
（2）若于D，，求的度数（用含α的代数式表示）．
（3）连接，以点D为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B、C的坐标分别为、，且的面积等于的面积与的面积之和，求点A的坐标．
【答案】（1）证明：，
理由如下：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴.
（2）解：由（1）可知：，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴.
（3）解：依题意建立直角坐标，过点B作轴于F，设交y轴于H，如图所示：
∵点B、C的坐标分别为、，
∴，，，
∴，
由（1）可知：，
∴，
∴，
∵的面积等于的面积与的面积之和，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴点A的坐标为．
【知识点】坐标与图形性质；角的运算；平行线的判定与性质；三角形的面积；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先利用角平分线的定义可得，再结合，利用等量代换可得，从而可证出；
（2）先利用角的运算求出，再利用平行线的性质可得；
（3）过点B作轴于F，设交y轴于H，先结合的面积等于的面积与的面积之和，求出，再利用三角形的面积公式可得，求出AB的长，再利用线段的和差求出AH的长，从而可得点A的坐标.
（1），理由如下：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）由（1）可知：，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴；
（3）依题意建立直角坐标，过点B作轴于F，设交y轴于H，如图所示：
∵点B、C的坐标分别为、，
∴，，，
∴，
由（1）可知：，
∴，
∴，
∵的面积等于的面积与的面积之和，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴点A的坐标为．
27．（2024七下·番禺期末）某书店用3000元首次购进了甲、乙两种图书，甲种图书每本进价为18元，乙种图书每本进价为15元，书店在销售时甲种图书每本售价为26元，乙种图书每本售价为20元，全部售完后共获利润1200元．
（1）求书店购进甲、乙两种图书各多少本？
（2）若书店以原进价再次购进甲、乙两种图书，购进甲种图书的数量是第一次的2倍，而购进乙种图书的数量比第一次增加了50%．现在甲种图书降价出售，而乙种图书按原售价打九折出售．当两种图书销售完毕时，要使再次获利不少于1560元，求甲种图书每本最低售价应为多少元？
（3）某活动中心计划用300元购买甲、乙两种图书，购买单价是（2）的条件下的最低售价，在300元恰好用完的条件下，有哪些可行的购买方案？哪种方案书店获利较少？
【答案】（1）解：设书店购进本甲种图书，本乙种图书，
根据题意得：，
解得：．
答：书店购进100本甲种图书，80本乙种图书.
（2）解：设甲种图书每本售价为元，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为24．
答：甲种图书每本最低售价应为24元.
（3）解：设购进本甲种图书，本乙种图书，
根据题意得：，
．
又，均为正整数，
或或或，
共有4种可行的购买方案，
方案1：购进11本甲种图书，2本乙种图书；
方案2：购进8本甲种图书，6本乙种图书；
方案3：购进5本甲种图书，10本乙种图书；
方案4：购进2本甲种图书，14本乙种图书．
方案1书店可获利（元；
方案2书店可获利（元；
方案3书店可获利（元；
方案4书店可获利（元．
，
方案4：购进2本甲种图书，14本乙种图书，书店获利最少．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）设书店购进本甲种图书，本乙种图书，根据“ 某书店用3000元首次购进了甲、乙两种图书 ”和“ 全部售完后共获利润1200元 ”列出方程组，再求解即可；
（2）设甲种图书每本售价为元，根据“ 要使再次获利不少于1560元 ”列出不等式，再求解即可；
（3）设购进本甲种图书，本乙种图书，根据“ 在300元恰好用完的条件下 ”列出方程，再求解即可.
（1）解：设书店购进本甲种图书，本乙种图书，
根据题意得：，
解得：．
答：书店购进100本甲种图书，80本乙种图书；
（2）解：设甲种图书每本售价为元，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为24．
答：甲种图书每本最低售价应为24元；
（3）解：设购进本甲种图书，本乙种图书，
根据题意得：，
．
又，均为正整数，
或或或，
共有4种可行的购买方案，
方案1：购进11本甲种图书，2本乙种图书；
方案2：购进8本甲种图书，6本乙种图书；
方案3：购进5本甲种图书，10本乙种图书；
方案4：购进2本甲种图书，14本乙种图书．
方案1书店可获利（元；
方案2书店可获利（元；
方案3书店可获利（元；
方案4书店可获利（元．
，
方案4：购进2本甲种图书，14本乙种图书，书店获利最少．
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