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云南省昆明市西山区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·西山期末）如图，昆明地铁的标志“长”从形状上提取“昆明（）”汉语拼音中的首字母“K”为主体元素，并且也形似英文“（轨道）”的首字母“R”，旨在突出昆明的城市轨道交通．下列能通过平移“昆明地铁标志”得到的图形是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：∵平移只改变位置，不改变大小，方向和形状，
∴能通过平移“昆明地铁标志”得到的图形是C选项中的图形，
故答案为：C．
【分析】利用平移的特征（平移是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动 ）逐项分析判断即可.
2．（2024七下·西山期末）下列调查中，适合使用抽样调查的是（　　）
A．检查人造卫星重要零部件的质量
B．调查乘坐飞机的旅客携带违禁物品的情况
C．了解某校七年级（1）班学生的视力情况
D．调查昆明市市民进行垃圾分类的情况
【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、检查人造卫星重要零部件的质量，涉及安全性，事关重大，应采用普查，不符合题意；
B、调查乘坐飞机的旅客携带违禁物品的情况，涉及安全性，事关重大，应采用普查，不符合题意；
C、了解某校七年级（1）班学生的视力情况，人数不多，范围小，易调查，应采用普查，不符合题意；
D、调查昆明市市民进行垃圾分类的情况，范围广，人数众多，不易调查，应采用抽样调查，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用抽样调查的定义及特征（一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查）逐项分析判断即可.
3．（2024七下·西山期末）如图，直线、相交于点O，，，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；垂线的概念；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】先利用垂直的定义可得∠COB=90°，再利用角的运算求出∠BOE度数，最后利用对顶角的性质可得.
4．（2024七下·西山期末）下列实数，3.1415926，，，，中，无理数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】无理数的概念；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：，是无理数，
故答案为：B．
【分析】利用无理数的定义（无限不循环小数称为无理数）逐个分析判断求解即可.
5．（2024七下·西山期末）下列各点中，在第四象限的点是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：A．在第二象限，不符合题意；
B．在第一象限，不符合题意；
C．在第四象限，符合题意；
D．在第三象限，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用四个象限点坐标的符号特点（①第一象限（+，+）；②第二象限（-，+）；③第三象限（-，-）；④第四象限（+，-））分求解即可.
6．（2024七下·西山期末）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：，
解得：，
把解集在数轴上表示如图：
故答案为：A．
【分析】先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可.
7．（2024七下·西山期末）为了了解义乌市2017年数学学业考试各分数段成绩分布情况，从中抽取1500名考生的学业考试数学成绩进行统计分析. 在这个问题中，样本容量是指（　　）
A．1500
B．被抽取的1500名考生
C．被抽取的1500名考生的学业考试数学成绩
D．义乌市2017年学业考试数学成绩
【答案】A
【知识点】总体、个体、样本、样本容量
【解析】【解答】解：根据样本容量的概念可知，
在这个问题中，样本容量是1500．
故答案为：A．
【分析】利用样本容量的定义（ 样本容量是指一个样本中所包含的单位数，一般用n表示 ）分析求解即可.
8．（2024七下·西山期末）下列各式中，计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用二次根式的性质和立方根的计算方法逐项分析判断即可.
9．（2024七下·西山期末）若，下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、由，可得，原不等式成立，符合题意；
B、由，可得，原不等式不成立，不符合题意；
C、由，可得，原不等式不成立，不符合题意；
D、由，可得，原不等式不成立，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用一元一次不等式的性质（不等式的基本性质①：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质②：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质③：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）分析求解即可.
10．（2024七下·西山期末）下列说法正确的是（　　）
A．过一点，有且只有一条直线与已知直线平行
B．负数没有立方根
C．是方程的一组解
D．“品尝一勺汤，就知道一锅汤的味道”其蕴藏的数学知识是“通过样本可以估计总体”
【答案】D
【知识点】二元一次方程的解；平行公理及推论；立方根的概念与表示；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：A、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故不符合题意；
B、负数有立方根，故不符合题意；
C、不是方程的解，故不符合题意；
D、“品尝一勺汤，就知道一锅汤的味道”其蕴藏的数学知识是“通过样本可以估计总体”，故符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用平行线的公理、立方根的计算方法、二元一次方程的解及估计总体的计算方法逐项分析判断即可.
11．（2024七下·西山期末）“红军不怕远征难，万水千山只等闲”，为弘扬长征艰苦奋斗的精神，某公司接手了以红军长征路为主题的环湖健身步道的设计，设计方案如图所示，若在路线主要地点的大致分布图上分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，遵义的坐标为，腊子口的坐标为，则原点O所在地的名称是（　　）
A．湘江 B．瑞金 C．包座 D．泸定桥
【答案】A
【知识点】用坐标表示地理位置；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：如图，原点O所在地的名称是湘江，
故答案为：A．
【分析】先建立平面直角坐标系，再根据平面直角坐标系直接求出点O表示的地理位置即可.
12．（2024七下·西山期末）盘龙江是昆明的母亲河，记录着昆明悠久的历史，是昆明具有里程碑意义的宝贵资源．近年来，昆明市人民政府积极推进盘龙江综合整治，努力实现盘龙江及沿线水清、河畅、路通、景美、人和．现有一段长为289米的河道治理任务，分别由甲、乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天治理13米，乙工程队每天治理9米，共用时25天．设甲工程队用的时间为x天，乙工程队用的时间为y天．根据题意，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程组；二元一次方程组的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：由题意得，，
故答案为：B．
【分析】设甲工程队用的时间为x天，乙工程队用的时间为y天，根据“ 有一段长为289米的河道治理任务 ”和“ 甲工程队每天治理13米，乙工程队每天治理9米，共用时25天 ”列出方程组即可.
13．（2024七下·西山期末）已知方程组的解满足，则a的值为（　　）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】A
【知识点】解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：
得：，
∵，
∴，
故答案为：A．
【分析】先利用加减消元法可得，再结合，可得，从而得解.
14．（2024七下·西山期末）已知直线，嘉嘉和琪琪想画出的平行线，他们的方法如下：
下列说法正确的是（　　）
A．嘉嘉和琪琪的方法都正确
B．嘉嘉的方法不正确，琪琪的方法正确
C．嘉嘉的方法正确，琪琪的方法不正确
D．嘉嘉和琪琪的方法都不正确
【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：嘉嘉的做法是通过同位角相等，两直线平行，得出；
琪琪的做法是通过内错角相等，两直线平行，得出；
故选：A
【分析】根据直线平行判定定理即可求出答案.
15．（2024七下·西山期末）如图，在平面直角坐标系中，动点A从出发，向上运动1个单位长度到达点，分裂为两个点，分别沿向左、右分别运动到点、 点，此时称动点A完成第一次跳跃，再分别从C、D点出发，每个点重复上边的运动，到达点，此时称动点A完成第二次跳跃，依此规律跳跃下去，动点A完成第2024次跳跃时，从左往右数的第二个点的坐标是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：由题意可得：每完成一次跳跃，到达点的纵坐标增加2，到达最左边的点的横坐标减1，左右两个点的横坐标相差2，
∴动点A完成第2024次跳跃时，所到达点的纵坐标为，最左边的点的横坐标为：，
∴从左往右数的第二个点的坐标是，即，
故答案为：D．
【分析】先求出规律：每完成一次跳跃，到达点的纵坐标增加2，到达最左边的点的横坐标减1，左右两个点的横坐标相差2，再求解即可.
16．（2024七下·西山期末）4的算术平方根是　 　．
【答案】2
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵22=4，
∴4的算术平方根是2．
故答案为：2．
【分析】依据算术平方根的定义求解即可．
17．（2024七下·西山期末）如图，若，，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】先利用平行线的性质求出，再利用对顶角的性质可得．
18．（2024七下·西山期末）2024年4月23日至25日，第三届全民阅读大会在昆明举办，大会期间举办了全民阅读系列宣传推广活动．活动宣传期间，小明同学对《中文打字机：一个世纪的汉字突围史》这本书很感兴趣，他从图书馆借来这本共488页的书，计划在14天之内读完，如果前4天每天只读27页，若从第5天起平均每天至少读　 　页才能按计划完成．
【答案】38
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设从第5天起平均每天x页才能按计划完成，
由题意得，，
解得，
∴x的最小值为38，
∴从第5天起平均每天至少读38页才能按计划完成，
故答案为：38．
【分析】设从第5天起平均每天x页才能按计划完成，根据“ 这本共488页的书 ”列出不等式，再求解即可.
19．（2024七下·西山期末）已知点P的坐标为，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是　 　．
【答案】或
【知识点】点的坐标；点到直线的距离
【解析】【解答】解：∵点P到两坐标轴的距离相等，
∴，
∴或，
解得：或，
当时，，，
当时，，，
∴或，
故答案为：或．
【分析】利用“点P到两坐标轴的距离相等”列出方程，求出a的值，再分类讨论求出点P的坐标即可.
20．（2024七下·西山期末）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】二次根式的性质与化简；有理数的乘方法则；实数的混合运算（含开方）；开立方（求立方根）
【解析】【分析】先利用立方根、二次根式和有理数的乘方的计算方法化简，再去掉绝对值，最后合并同类项即可.
21．（2024七下·西山期末）解方程组： ．
【答案】解：
得：，
解得：，
把代入②得：，
解得：，
∴原方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用加减消元法的计算方法及步骤分析求解即可.
22．（2024七下·西山期末）解不等式组，把解集表示在数轴上并写出不等式组的整数解．
【答案】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
数轴表示如下所示：
∴不等式组的整数解为0，1，2，3．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可.
23．（2024七下·西山期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，将向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到（图中每个小方格边长均为1个单位长度），请完成下列问题：
（1）请作出平移之后的图形；
（2）请写出两点的坐标；
（3）求出的面积．
【答案】（1）解：如图，为所求．
（2），
（3）解：．
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（2）解：∵，，向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到，
∴，；
故答案为：，.
【分析】（1）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）根据平面直角坐标系直接求出点坐标即可；
（3）利用三角形的面积公式及割补法求解即可.
（1）解：如图，为所求．
（2）解：∵，，向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到，
∴，；
（3）解：．
24．（2024七下·西山期末）劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于树立正确的劳动价值观，为了培养大家的劳动习惯与劳动能力，某校学生发展中心在暑假期间开展了“家务劳动我最行”的实践活动，开学后从本校七至九年级各随机抽取30名学生，对他们的每日平均家务劳动时长（单位：min）进行了调查，并对数据进行了收集、整理和描述．下面是其中的部分信息：
90名学生每日平均家务劳动时长频数分布表
分组 合计
频数 9 m n 24 21 9 90
根据以上信息，回答下列问题：
（1）________；________；
（2）补全频数分布直方图；
（3）学生发展中心准备将每日平均家务劳动时长不少于的学生评为“家务小能手”，如果该校七至九年级共有 1500名学生，请估计获奖的学生人数．
【答案】（1）12，15
（2）解：补全频数分布直方图如图所示．
（3）解：（名），
答：估计获奖的学生有名．
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由频数分布直方图可得，的频数，
的频数，
故答案为：12，15．
【分析】（1）根据条形统计图求出m的值，再结合总人数求出n的值即可；
（2）利用n的值作出条形统计图即可；
（3）先求出“ 劳动时长不少于的学生 ”的百分比，再乘以1500可得答案.
（1）解：由频数分布直方图可得，的频数，
的频数，
故答案为：12，15．
（2）解：补全频数分布直方图如图所示．
（3）解：（名），
答：估计获奖的学生有名．
25．（2024七下·西山期末）如图，若，平分，且，求证：．
证明：∵平分（已知）
∴_______（_______）
∵（已知）
∴_______（_______）
∴（_______）
∵（已知）
∴_______（等量代换）
∴（_______）
∴（_______）
【答案】解：证明过程如下：∵平分（已知）
∴∠1=∠2（角平分线的定义），
∵（已知），
∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等），
∴（等量代换），
∵（已知），
∴∠E=∠1（等量代换），
∴（内错角相等，两条直线平行），
∴（两条直线平行，同旁内角互补）.
【知识点】平行线的判定与性质；推理与论证；角平分线的概念
【解析】【分析】利用角平分线的定义、平行线的判定方法和性质和推理的步骤分析求解即可.
26．（2024七下·西山期末）今年“五一”假期，盛开的蓝花楹成了昆明的人气“顶流”，为了吸引更多的游客前来打卡，某商家推出A、B两种关于春城蓝花楹的不同明信片套盒，已知1套A种明信片和1套B种明信片总价13元，2套A种明信片和3套B种明信片总价31元．
（1）请求出A、B两种明信片的单价各是多少元？
（2）某顾客计划购买A，B两种明信片共10套，其中A种明信片数量不低于B种数量，且总费用不超过72元，该顾客有哪几种购买方案？
【答案】（1）解：设A种明信片的单价是x元，B种明信片的单价是y元，
由题意得：，
解得，
答：A种明信片的单价是8元，B种明信片的单价是5元.
（2）解：设购买A种明信片m套，则购买B种明信片套，
由题意得，
解得：，
∵m为正整数，
∴m的值可以为5或6或7，
当时，，
当时，，
当时，，
∴一共有三种购买方案：购买A种明信片5套，则购买B种明信片5套；购买A种明信片6套，则购买B种明信片4套；购买A种明信片7套，则购买B种明信片3套．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设A种明信片的单价是x元，B种明信片的单价是y元，根据“ 1套A种明信片和1套B种明信片总价13元，2套A种明信片和3套B种明信片总价31元 ”列出方程组，再求解即可；
（2）设购买A种明信片m套，则购买B种明信片套，根据“ A种明信片数量不低于B种数量，且总费用不超过72元 ”列出不等式组，再求解即可.
（1）解：设A种明信片的单价是x元，B种明信片的单价是y元，
由题意得：，
解得，
答：A种明信片的单价是8元，B种明信片的单价是5元；
（2）解：设购买A种明信片m套，则购买B种明信片套，
由题意得，
解得：，
∵m为正整数，
∴m的值可以为5或6或7，
当时，，
当时，，
当时，，
∴一共有三种购买方案：购买A种明信片5套，则购买B种明信片5套；购买A种明信片6套，则购买B种明信片4套；购买A种明信片7套，则购买B种明信片3套．
27．（2024七下·西山期末）如图1，在平面直角坐标系中，的三个顶点为，，，且满足 ，线段交y轴于点D，点E为y轴上一动点（点E不与点O重合）．
（1）求点A、B、C的坐标．
（2）如图2，当点E在y轴负半轴上运动时，过点E作，分别作的平分线交于点M，试问在点E的运动过程中， 的度数是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出的值．
（3）在y轴上是否存在这样的E点，使 ，若存在，请求出点E坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：，，，，
，，，
解得：，，，
点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为.
（2）解：过点作，如图2，
∵，
，
，，，
，
，
、分别为，的平分线，
，，
.
（3）解：设，如图所示，当点E在x轴上方时，过点B作轴于H，
∵，
∴，，，，，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴；
如图所示，当点E在y轴下方时，过点B作轴于H，
同理可得，
，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述，点E的坐标为或．
【知识点】坐标与图形性质；平行线的判定与性质；三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先利用非负数之和为0的性质求出a、b、c的值，再求出点A、B、C的坐标即可；
（2）过点作，先利用平行线的性质可得，，，再结合角平分线的定义可得，，最后利用角的运算和等量代换求出即可；
（3）分类讨论：①当点E在x轴上方时，②当点E在y轴下方时，先分别画出图形再利用三角形的面积公式及割补法求解即可.
（1）解：，，，，
，，，
解得，，，
点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为；
（2）解：过点作，如图2，
∵，
，
，，，
，
，
、分别为，的平分线，
，，
；
（3）解：设
如图所示，当点E在x轴上方时，过点B作轴于H，
∵，
∴，，，，，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴；
如图所示，当点E在y轴下方时，过点B作轴于H，
同理可得，
，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述，点E的坐标为或．
1 / 1云南省昆明市西山区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·西山期末）如图，昆明地铁的标志“长”从形状上提取“昆明（）”汉语拼音中的首字母“K”为主体元素，并且也形似英文“（轨道）”的首字母“R”，旨在突出昆明的城市轨道交通．下列能通过平移“昆明地铁标志”得到的图形是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024七下·西山期末）下列调查中，适合使用抽样调查的是（　　）
A．检查人造卫星重要零部件的质量
B．调查乘坐飞机的旅客携带违禁物品的情况
C．了解某校七年级（1）班学生的视力情况
D．调查昆明市市民进行垃圾分类的情况
3．（2024七下·西山期末）如图，直线、相交于点O，，，则等于（　　）
A． B． C． D．
4．（2024七下·西山期末）下列实数，3.1415926，，，，中，无理数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2024七下·西山期末）下列各点中，在第四象限的点是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024七下·西山期末）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024七下·西山期末）为了了解义乌市2017年数学学业考试各分数段成绩分布情况，从中抽取1500名考生的学业考试数学成绩进行统计分析. 在这个问题中，样本容量是指（　　）
A．1500
B．被抽取的1500名考生
C．被抽取的1500名考生的学业考试数学成绩
D．义乌市2017年学业考试数学成绩
8．（2024七下·西山期末）下列各式中，计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．（2024七下·西山期末）若，下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
10．（2024七下·西山期末）下列说法正确的是（　　）
A．过一点，有且只有一条直线与已知直线平行
B．负数没有立方根
C．是方程的一组解
D．“品尝一勺汤，就知道一锅汤的味道”其蕴藏的数学知识是“通过样本可以估计总体”
11．（2024七下·西山期末）“红军不怕远征难，万水千山只等闲”，为弘扬长征艰苦奋斗的精神，某公司接手了以红军长征路为主题的环湖健身步道的设计，设计方案如图所示，若在路线主要地点的大致分布图上分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，遵义的坐标为，腊子口的坐标为，则原点O所在地的名称是（　　）
A．湘江 B．瑞金 C．包座 D．泸定桥
12．（2024七下·西山期末）盘龙江是昆明的母亲河，记录着昆明悠久的历史，是昆明具有里程碑意义的宝贵资源．近年来，昆明市人民政府积极推进盘龙江综合整治，努力实现盘龙江及沿线水清、河畅、路通、景美、人和．现有一段长为289米的河道治理任务，分别由甲、乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天治理13米，乙工程队每天治理9米，共用时25天．设甲工程队用的时间为x天，乙工程队用的时间为y天．根据题意，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
13．（2024七下·西山期末）已知方程组的解满足，则a的值为（　　）
A．0 B．1 C． D．2
14．（2024七下·西山期末）已知直线，嘉嘉和琪琪想画出的平行线，他们的方法如下：
下列说法正确的是（　　）
A．嘉嘉和琪琪的方法都正确
B．嘉嘉的方法不正确，琪琪的方法正确
C．嘉嘉的方法正确，琪琪的方法不正确
D．嘉嘉和琪琪的方法都不正确
15．（2024七下·西山期末）如图，在平面直角坐标系中，动点A从出发，向上运动1个单位长度到达点，分裂为两个点，分别沿向左、右分别运动到点、 点，此时称动点A完成第一次跳跃，再分别从C、D点出发，每个点重复上边的运动，到达点，此时称动点A完成第二次跳跃，依此规律跳跃下去，动点A完成第2024次跳跃时，从左往右数的第二个点的坐标是（　　）
A． B．
C． D．
16．（2024七下·西山期末）4的算术平方根是　 　．
17．（2024七下·西山期末）如图，若，，则的度数为　 　．
18．（2024七下·西山期末）2024年4月23日至25日，第三届全民阅读大会在昆明举办，大会期间举办了全民阅读系列宣传推广活动．活动宣传期间，小明同学对《中文打字机：一个世纪的汉字突围史》这本书很感兴趣，他从图书馆借来这本共488页的书，计划在14天之内读完，如果前4天每天只读27页，若从第5天起平均每天至少读　 　页才能按计划完成．
19．（2024七下·西山期末）已知点P的坐标为，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是　 　．
20．（2024七下·西山期末）计算：．
21．（2024七下·西山期末）解方程组： ．
22．（2024七下·西山期末）解不等式组，把解集表示在数轴上并写出不等式组的整数解．
23．（2024七下·西山期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，将向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到（图中每个小方格边长均为1个单位长度），请完成下列问题：
（1）请作出平移之后的图形；
（2）请写出两点的坐标；
（3）求出的面积．
24．（2024七下·西山期末）劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于树立正确的劳动价值观，为了培养大家的劳动习惯与劳动能力，某校学生发展中心在暑假期间开展了“家务劳动我最行”的实践活动，开学后从本校七至九年级各随机抽取30名学生，对他们的每日平均家务劳动时长（单位：min）进行了调查，并对数据进行了收集、整理和描述．下面是其中的部分信息：
90名学生每日平均家务劳动时长频数分布表
分组 合计
频数 9 m n 24 21 9 90
根据以上信息，回答下列问题：
（1）________；________；
（2）补全频数分布直方图；
（3）学生发展中心准备将每日平均家务劳动时长不少于的学生评为“家务小能手”，如果该校七至九年级共有 1500名学生，请估计获奖的学生人数．
25．（2024七下·西山期末）如图，若，平分，且，求证：．
证明：∵平分（已知）
∴_______（_______）
∵（已知）
∴_______（_______）
∴（_______）
∵（已知）
∴_______（等量代换）
∴（_______）
∴（_______）
26．（2024七下·西山期末）今年“五一”假期，盛开的蓝花楹成了昆明的人气“顶流”，为了吸引更多的游客前来打卡，某商家推出A、B两种关于春城蓝花楹的不同明信片套盒，已知1套A种明信片和1套B种明信片总价13元，2套A种明信片和3套B种明信片总价31元．
（1）请求出A、B两种明信片的单价各是多少元？
（2）某顾客计划购买A，B两种明信片共10套，其中A种明信片数量不低于B种数量，且总费用不超过72元，该顾客有哪几种购买方案？
27．（2024七下·西山期末）如图1，在平面直角坐标系中，的三个顶点为，，，且满足 ，线段交y轴于点D，点E为y轴上一动点（点E不与点O重合）．
（1）求点A、B、C的坐标．
（2）如图2，当点E在y轴负半轴上运动时，过点E作，分别作的平分线交于点M，试问在点E的运动过程中， 的度数是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出的值．
（3）在y轴上是否存在这样的E点，使 ，若存在，请求出点E坐标，若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：∵平移只改变位置，不改变大小，方向和形状，
∴能通过平移“昆明地铁标志”得到的图形是C选项中的图形，
故答案为：C．
【分析】利用平移的特征（平移是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动 ）逐项分析判断即可.
2．【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、检查人造卫星重要零部件的质量，涉及安全性，事关重大，应采用普查，不符合题意；
B、调查乘坐飞机的旅客携带违禁物品的情况，涉及安全性，事关重大，应采用普查，不符合题意；
C、了解某校七年级（1）班学生的视力情况，人数不多，范围小，易调查，应采用普查，不符合题意；
D、调查昆明市市民进行垃圾分类的情况，范围广，人数众多，不易调查，应采用抽样调查，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用抽样调查的定义及特征（一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查）逐项分析判断即可.
3．【答案】B
【知识点】角的运算；垂线的概念；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】先利用垂直的定义可得∠COB=90°，再利用角的运算求出∠BOE度数，最后利用对顶角的性质可得.
4．【答案】B
【知识点】无理数的概念；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：，是无理数，
故答案为：B．
【分析】利用无理数的定义（无限不循环小数称为无理数）逐个分析判断求解即可.
5．【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：A．在第二象限，不符合题意；
B．在第一象限，不符合题意；
C．在第四象限，符合题意；
D．在第三象限，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用四个象限点坐标的符号特点（①第一象限（+，+）；②第二象限（-，+）；③第三象限（-，-）；④第四象限（+，-））分求解即可.
6．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：，
解得：，
把解集在数轴上表示如图：
故答案为：A．
【分析】先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可.
7．【答案】A
【知识点】总体、个体、样本、样本容量
【解析】【解答】解：根据样本容量的概念可知，
在这个问题中，样本容量是1500．
故答案为：A．
【分析】利用样本容量的定义（ 样本容量是指一个样本中所包含的单位数，一般用n表示 ）分析求解即可.
8．【答案】D
【知识点】求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用二次根式的性质和立方根的计算方法逐项分析判断即可.
9．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、由，可得，原不等式成立，符合题意；
B、由，可得，原不等式不成立，不符合题意；
C、由，可得，原不等式不成立，不符合题意；
D、由，可得，原不等式不成立，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用一元一次不等式的性质（不等式的基本性质①：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质②：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质③：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）分析求解即可.
10．【答案】D
【知识点】二元一次方程的解；平行公理及推论；立方根的概念与表示；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：A、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故不符合题意；
B、负数有立方根，故不符合题意；
C、不是方程的解，故不符合题意；
D、“品尝一勺汤，就知道一锅汤的味道”其蕴藏的数学知识是“通过样本可以估计总体”，故符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用平行线的公理、立方根的计算方法、二元一次方程的解及估计总体的计算方法逐项分析判断即可.
11．【答案】A
【知识点】用坐标表示地理位置；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：如图，原点O所在地的名称是湘江，
故答案为：A．
【分析】先建立平面直角坐标系，再根据平面直角坐标系直接求出点O表示的地理位置即可.
12．【答案】B
【知识点】列二元一次方程组；二元一次方程组的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：由题意得，，
故答案为：B．
【分析】设甲工程队用的时间为x天，乙工程队用的时间为y天，根据“ 有一段长为289米的河道治理任务 ”和“ 甲工程队每天治理13米，乙工程队每天治理9米，共用时25天 ”列出方程组即可.
13．【答案】A
【知识点】解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：
得：，
∵，
∴，
故答案为：A．
【分析】先利用加减消元法可得，再结合，可得，从而得解.
14．【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：嘉嘉的做法是通过同位角相等，两直线平行，得出；
琪琪的做法是通过内错角相等，两直线平行，得出；
故选：A
【分析】根据直线平行判定定理即可求出答案.
15．【答案】D
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：由题意可得：每完成一次跳跃，到达点的纵坐标增加2，到达最左边的点的横坐标减1，左右两个点的横坐标相差2，
∴动点A完成第2024次跳跃时，所到达点的纵坐标为，最左边的点的横坐标为：，
∴从左往右数的第二个点的坐标是，即，
故答案为：D．
【分析】先求出规律：每完成一次跳跃，到达点的纵坐标增加2，到达最左边的点的横坐标减1，左右两个点的横坐标相差2，再求解即可.
16．【答案】2
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵22=4，
∴4的算术平方根是2．
故答案为：2．
【分析】依据算术平方根的定义求解即可．
17．【答案】
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】先利用平行线的性质求出，再利用对顶角的性质可得．
18．【答案】38
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设从第5天起平均每天x页才能按计划完成，
由题意得，，
解得，
∴x的最小值为38，
∴从第5天起平均每天至少读38页才能按计划完成，
故答案为：38．
【分析】设从第5天起平均每天x页才能按计划完成，根据“ 这本共488页的书 ”列出不等式，再求解即可.
19．【答案】或
【知识点】点的坐标；点到直线的距离
【解析】【解答】解：∵点P到两坐标轴的距离相等，
∴，
∴或，
解得：或，
当时，，，
当时，，，
∴或，
故答案为：或．
【分析】利用“点P到两坐标轴的距离相等”列出方程，求出a的值，再分类讨论求出点P的坐标即可.
20．【答案】解：原式
．
【知识点】二次根式的性质与化简；有理数的乘方法则；实数的混合运算（含开方）；开立方（求立方根）
【解析】【分析】先利用立方根、二次根式和有理数的乘方的计算方法化简，再去掉绝对值，最后合并同类项即可.
21．【答案】解：
得：，
解得：，
把代入②得：，
解得：，
∴原方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用加减消元法的计算方法及步骤分析求解即可.
22．【答案】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
数轴表示如下所示：
∴不等式组的整数解为0，1，2，3．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可.
23．【答案】（1）解：如图，为所求．
（2），
（3）解：．
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（2）解：∵，，向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到，
∴，；
故答案为：，.
【分析】（1）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）根据平面直角坐标系直接求出点坐标即可；
（3）利用三角形的面积公式及割补法求解即可.
（1）解：如图，为所求．
（2）解：∵，，向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到，
∴，；
（3）解：．
24．【答案】（1）12，15
（2）解：补全频数分布直方图如图所示．
（3）解：（名），
答：估计获奖的学生有名．
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由频数分布直方图可得，的频数，
的频数，
故答案为：12，15．
【分析】（1）根据条形统计图求出m的值，再结合总人数求出n的值即可；
（2）利用n的值作出条形统计图即可；
（3）先求出“ 劳动时长不少于的学生 ”的百分比，再乘以1500可得答案.
（1）解：由频数分布直方图可得，的频数，
的频数，
故答案为：12，15．
（2）解：补全频数分布直方图如图所示．
（3）解：（名），
答：估计获奖的学生有名．
25．【答案】解：证明过程如下：∵平分（已知）
∴∠1=∠2（角平分线的定义），
∵（已知），
∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等），
∴（等量代换），
∵（已知），
∴∠E=∠1（等量代换），
∴（内错角相等，两条直线平行），
∴（两条直线平行，同旁内角互补）.
【知识点】平行线的判定与性质；推理与论证；角平分线的概念
【解析】【分析】利用角平分线的定义、平行线的判定方法和性质和推理的步骤分析求解即可.
26．【答案】（1）解：设A种明信片的单价是x元，B种明信片的单价是y元，
由题意得：，
解得，
答：A种明信片的单价是8元，B种明信片的单价是5元.
（2）解：设购买A种明信片m套，则购买B种明信片套，
由题意得，
解得：，
∵m为正整数，
∴m的值可以为5或6或7，
当时，，
当时，，
当时，，
∴一共有三种购买方案：购买A种明信片5套，则购买B种明信片5套；购买A种明信片6套，则购买B种明信片4套；购买A种明信片7套，则购买B种明信片3套．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设A种明信片的单价是x元，B种明信片的单价是y元，根据“ 1套A种明信片和1套B种明信片总价13元，2套A种明信片和3套B种明信片总价31元 ”列出方程组，再求解即可；
（2）设购买A种明信片m套，则购买B种明信片套，根据“ A种明信片数量不低于B种数量，且总费用不超过72元 ”列出不等式组，再求解即可.
（1）解：设A种明信片的单价是x元，B种明信片的单价是y元，
由题意得：，
解得，
答：A种明信片的单价是8元，B种明信片的单价是5元；
（2）解：设购买A种明信片m套，则购买B种明信片套，
由题意得，
解得：，
∵m为正整数，
∴m的值可以为5或6或7，
当时，，
当时，，
当时，，
∴一共有三种购买方案：购买A种明信片5套，则购买B种明信片5套；购买A种明信片6套，则购买B种明信片4套；购买A种明信片7套，则购买B种明信片3套．
27．【答案】（1）解：，，，，
，，，
解得：，，，
点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为.
（2）解：过点作，如图2，
∵，
，
，，，
，
，
、分别为，的平分线，
，，
.
（3）解：设，如图所示，当点E在x轴上方时，过点B作轴于H，
∵，
∴，，，，，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴；
如图所示，当点E在y轴下方时，过点B作轴于H，
同理可得，
，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述，点E的坐标为或．
【知识点】坐标与图形性质；平行线的判定与性质；三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先利用非负数之和为0的性质求出a、b、c的值，再求出点A、B、C的坐标即可；
（2）过点作，先利用平行线的性质可得，，，再结合角平分线的定义可得，，最后利用角的运算和等量代换求出即可；
（3）分类讨论：①当点E在x轴上方时，②当点E在y轴下方时，先分别画出图形再利用三角形的面积公式及割补法求解即可.
（1）解：，，，，
，，，
解得，，，
点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为；
（2）解：过点作，如图2，
∵，
，
，，，
，
，
、分别为，的平分线，
，，
；
（3）解：设
如图所示，当点E在x轴上方时，过点B作轴于H，
∵，
∴，，，，，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴；
如图所示，当点E在y轴下方时，过点B作轴于H，
同理可得，
，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述，点E的坐标为或．
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