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广东省潮洲市2023-2024学年高二下学期教学质量检测数学试题
1．（2024高二下·广东期末）函数在处的切线斜率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】解：函数定义域为，，且，
则函数在处的切线斜率为.
故答案为：B.
【分析】求导，根据导数的几何意义求解即可.
2．（2024高二下·广东期末）某校高二级学生参加某次考试，其数学成绩，试卷满分150分，统计结果显示，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解： 数学成绩，
因为，所以，
则，即．
故答案为：B.
【分析】根据正态分布的对称性求解即可.
3．（2024高二下·广东期末）已知随机变量的分布列为：
1 2 3 4 5
0.1 0.3 0.1 0.1
则（　　）．
A．0.4 B．1.2 C．1.6 D．2.8
【答案】D
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：根据概率的性质可得：，
则．
故答案为：D.
【分析】先根据概率之和等于1，求得，再根据期望的公式求解即可．
4．（2024高二下·广东期末）的展开式中的系数为（　　）．
A．60 B．120 C．15 D．30
【答案】A
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式的通项为：（且），
则的展开式中的系数为．
故答案为：A.
【分析】写出展开式的通项，利用通项计算即可.
5．（2024高二下·广东期末）已知函数，若在上单调递减．则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
因为函数在上单调递减，所以在上恒成立，
即，即在上恒成立，
令，易知函数在单调递增，
则，即，即．
故答案为：B.
【分析】求函数的定义域，再求导，由题意可得，分离常数，结合令在单调递增求解即可.
6．（2024高二下·广东期末）椭圆的左、右焦点分别为，，过点且与长轴垂直的直线交椭圆于，两点．若为等边三角形，则椭圆的离心率为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：如图所示：
设，若为等边三角形，则，，
由椭圆的定义可得：，则椭圆的离心率为．
故答案为：A.
【分析】根据等边三角形性质结合离心率定义计算即可.
7．（2024高二下·广东期末）近年来，潮州以其品种繁多的美味小吃、独特的文化魅力和民俗风情吸引八方游客.据统计，潮州古城区2019年至2023年（用表示年份）接待的游客人数（十万人）的数据如下表：
1 2 3 4 5
12 15 19 24 30
由此得到关于的回归直线方程为，则可以预测潮州古城区2024年接待的游客人数约为（　　）十万人
A．36.5 B．37 C．35.2 D．35.6
【答案】D
【知识点】线性回归方程；回归分析
【解析】【解答】解：易知，，
由回归直线方程必过样本点中心得，解得，
则关于的回归直线方程为，
当时，．
故答案为：D.
【分析】求出，然后代入回归方程可求出，再将代入回归方程求解即可.
8．（2024高二下·广东期末）把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个.其中，第一个盒子中有7个球标有字母A，3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个.试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球.如果第二次取出的是红球，则称试验成功，则试验成功的概率为（　　）
A．0.59 B．0.41 C．0.48 D．0.64
【答案】A
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：设事件A＝“从第一个盒子中取得标有字母A的球”，
事件B＝“从第一个盒子中取得标有字母B的球”，
事件R＝“第二次取出的球是红球”，
则，，P(R|A)＝，P(R|B)＝，
故P(R)＝P(R|A)P(A)＋P(R|B)P(B)＝×＋×＝0.59.
【分析】先记事件，根据全概率公式求解即可.
9．（2024高二下·广东期末）定义在上的函数，其导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．是的极小值，是的极大值
B．是的极大值，是的极小值
C．在上单调递增
D．在上单调递减
【答案】B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由图知，，，
当时，；当时，；
当时，；当时，.
则函数在，上单调递减，在，上单调递增，
即的极大值为，极小值为，．
故答案为：BD.
【分析】根据导函数图象可得导数的正负，求出函数的单调区间，进而求函数的极值判断即可.
10．（2024高二下·广东期末）某所高中的辩论队要从5名高一学生和4名高二学生中选出4人去参加一场辩论比赛．下列说法正确的是（　　）
A．被选中的4人中恰有1名高一学生的概率为
B．被选中的4人中恰有1名高二学生的概率为
C．如果高一学生中的甲和高二学生中的乙至多有1人入选，则有105种选法
D．如果高一学生中的甲和高二学生中的乙至多有1人入选，则有140种选法
【答案】A,C
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：A、由题意可得：被选中的4人中恰有1名高一学生的概率为，故A正确；
B、被选中的4人中恰有1名高二学生的概率为，故B错误；
C、如果高一学生中的甲和高二学生中的乙至多有1人入选，包含两种情况，第一种情况，甲和乙都不入选，有种；第二种情况，甲乙恰有1人入选，有种选法，则如果高一学生中的甲和高二学生中的乙至多有1人入选，共有种选法，故C正确，D错误．
故答案为：AC.
【分析】先求出从9人中任意选4人，共种，再分别求出被选中的4人中恰有1名高一学生和被选中的4人中恰有1名高二学生的方法数，利用古典概型概率公式求解即可判断AB；如果高一学生中的甲和高二学生中的乙至多有1人入选，分甲和乙都不入选，和甲乙恰有1人入选两种情况求解即可判断CD.
11．（2024高二下·广东期末）如图、在长方体中，，，，，分别是，，的中点．则下列说法正确的是（　　）
A．平面
B．
C．三棱锥的体积为
D．若点在平面内，且平面，则线段长度的最小值为
【答案】A,B,C
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题；直线与平面平行的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、连结，，如图所示：
因为，分别是，的中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
又因为，平面，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面，
又因为平面，所以平面，故A正确；
B、由题意知四边形为正方形，则，
又平面，平面，
故，平面，
所以平面．又因为平面，所以，故B正确；
C、，故C正确；
D、因为平面，而平面平面，且点在平面内，
则点的轨迹是平面与平面的交线，即直线，
所以的最小值，在时取到，
在中，，，，
上的高为，
因为，所以，故D错误．
故答案为：ABC.
【分析】证明平面平面即可判断A；证明平面即可判断B；根据棱锥的体积公式结合等体积法即可判断C；确定点的轨迹是平面与平面的交线，即直线，利用等面积法求得最小值即可判断D.
12．（2024高二下·广东期末）有2名老师和3名学生站成一排照相，若这2名老师都不站在两端，则不同的站法共有　 　种．（用数字作答）
【答案】
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：先排3名学生，有有种站法，
因为2名老师都不站在两端，所以2名老师插空，有种站法，
故不同的站法共有种．
故答案为：.
【分析】先计算3名学生的站法，再将2名老师插空，结合分步乘法计数原理计算即可.
13．（2024高二下·广东期末）已知函数的图象为曲线，若曲线存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
因为曲线存在与直线垂直的切线，所以有解，
则，即实数的取值范围是．
故答案为：.
【分析】求函数的定义域，再求导，利用曲线存在与直线垂直的切线，可得成立，求实数的取值范围即可．
14．（2024高二下·广东期末）“杨辉三角”最早出现在中国数学家杨辉所著的《详解九章算法》中，是中国古代数学文化的瑰宝之一.如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，记第2行的第3个数字为，第3行的第3个数字为、 ，第行的第3个数字为，则　 　，数列的前项和　 　．
【答案】；
【知识点】数列的求和；组合及组合数公式；二项式系数
【解析】【解答】解：由题意可得：，，
.
故答案为：，.
【分析】由题意，利用二项式系数，得，再进行组合数计算，利用裂项相消求得前项和即可.
15．（2024高二下·广东期末）在公差为3的等差数列中，，数列满足
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求的前项和．
【答案】（1）解： 公差为3的等差数列满足，则， 解得 ，
则 ，
故数列的通项公式为；
（2）解：由（1）知，，则，

，
则.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；等差数列的性质
【解析】【分析】（1）由题意，利用等差数列的性质求出数列的通项公式，从而得数列的通项公式；
（2）根据分组求和法求的前项和即可．
（1）∵等差数列满足，公差为3，
所以， 所以 ，
则 ，
∴数列的通项公式为；
（2）由（1）知，，
∴
所以
，
所以
16．（2024高二下·广东期末）已知函数在处取得极值．
（1）求实数的值；
（2）求函数在区间上的最小值．
【答案】（1）解：函数的定义域，，
由题意可得：，解得，
则，
令，解得或，令，解得，
则函数在，上单调递增，在上单调递减，
函数在处取极大值，在处取极小值，符合题意，
故；
（2）解：由（1）得函数，，，
令，得，函数在单调递增，
令，得，函数在单调递减，
函数在处取极小值，则当时，的最小值为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，求导根据函数在处取得极值，求出的值；再根据函数导数验证函数的极值即可；
（2）利用导数判断函数的单调性，求最值即可.
（1）由题意得的定义域，且
因为函数在处取值得极值，所以
解得
此时，，
令得或，令得，
故函数在，上单调递增，在上单调递减，
所以函数在处取极大值，在处取极小值，符合题意
所以．
（2）由（1）得，，
令，得，所以函数在单调递增，
令，得，所以函数在单调递减，
所以函数在处取极小值，
所以当时，的最小值为
17．（2024高二下·广东期末）致敬百年，读书筑梦，某学校组织全校学生参加“学党史颂党恩，党史网络知识竞赛”活动．并对某年级的100位学生竞赛成绩进行统计，得到如下人数分布表．规定：成绩在内，为成绩优秀．
成绩
人数 5 10 15 25 20 20 5
（1）根据以上数据完成列联表，并判断是否有90%的把握认为此次竞赛成绩与性别有关；
　 优秀 非优秀 合计
男 10 　 　
女 　 35 　
合计 　 　 　
（2）某班级实行学分制，为鼓励学生多读书，推出“读书抽奖额外赚学分”趣味活动方案：规定成绩达到优秀的同学，可抽奖2次，每次中奖概率为（每次抽奖互不影响，且的值等于成绩分布表中不低于80分的人数频率），中奖1次学分加5分，中奖2次学分加10分．若学生甲成绩在内，请列出其本次读书活动额外获得学分数的分布列并求其数学期望．
参考公式：，．
附表：
0.150 0.100 0.050 0.010 0.005
2.072 2.706 3.841 6.635 7.879
【答案】（1）解：完善列联表：
优秀 非优秀 合计
男 10 40 50
女 15 35 50
合计 25 75 100
零假设： 此次竞赛成绩与性别无关，
，
则没有90%的把握认为此次竞赛成绩与性别有关；
（2）解：由题意可知：p，
的可能取值为1，5，10，
，
，
，
X的分布列为：
X 0 5 10
P ，
E(X)=5×+10×=2.5（分）.
【知识点】独立性检验的应用；二项分布；2×2列联表
【解析】【分析】（1）先完善列联表，计算K2的观测值k0，与相应临界值比较即可；
（2）先根据成绩分段表求得p的值，然后利用二项分布列计算X的各个取值的概率，列出分布列，根据分布列计算期望即可.
（1）
　 优秀 非优秀 合计
男 10 40 50
女 15 35 50
合计 25 75 100
假设： 此次竞赛成绩与性别无关.
，
所以没有90%的把握认为此次竞赛成绩与性别有关；
（2）p，
P(X=0)=
P(X=5)=，
P(X=10)=，
X的分布列为：
X 0 5 10
P
期望值E(X)=5×+10×=2.5（分）
18．（2024高二下·广东期末）如图，在三棱柱中，侧棱底面，底面是正三角形，，点、分别在、上，且，．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的余弦值．
【答案】（1）证明：在线段上取一点，使，连结、，如图所示：
在中，因为，，所以，所以且，
因为，，且，所以，且，
所以且，
故四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面， 所以平面；
（2）解：以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示：
因为底面是正三角形，，所以点，点，
点，点，点，
因为，所以点，
则，，，
设平面的一个法向量为．由，令，
则平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角的大小为，则，
，
故直线与平面所成角的余弦值为
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）在线段上取一点，使，连结、，先证四边形为平行四边形，所以，从而可得平面；
（2）以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
（1）在线段上取一点，使，连结、，
在中，因为，，所以，
所以且，
因为，，且，
所以，且，
所以且，
故四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面， 所以平面．
（2）以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图空间直角坐标系，
因为底面是正三角形，，所以点，点，
点，点，点，
因为，所以点，
则，，，
设平面的一个法向量为．
由，令，
得平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角的大小为，
则，
所以，
所以直线与平面所成角的余弦值为
19．（2024高二下·广东期末）已知抛物线的焦点到点的距离为，，为抛物线上两个动点，且线段的中点在直线上．
（1）求抛物线的方程；
（2）求面积的取值范围．
【答案】（1）解：易知抛物线的焦点，，
由焦点到点的距离为，可得，解得，
则抛物线方程为；
（2）解：如图所示：
显然，直线的斜率不为0，设直线的方程为：，，，
联立方程组，消去整理可得，
由韦达定理可得，，且（*），
则线段的中点的纵坐标为，
因为点在直线上，所以，所以，
因为，，所以，
即，
将，代入上式，所以，
代入（*）得，化简得，所以，
点到的距离，
，
所以，
将代入上式，得，
因为，所以.
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）求出焦点坐标，利用两点间的距离公式列方程可求出，即可得抛物线的方程；
（2）设直线的方程为：，，，将直线方程代入抛物线方程化简利用根与系数的关系结合中点坐标公式表示出点的坐标，将两点的坐标代入抛物线方程，两式相加化简结合前面的式子可得，再结合判别式可得，利用弦长公式表示出，再表示出点到直线的距离，从而可表示出面积，化简后结合可求出其范围.
（1）焦点，，由焦点到点的距离为，
得，解得
所以抛物线方程为．
（2）如图所示，显然，直线的斜率不为0，
设直线的方程为：，，，
联立方程组，消去得，
所以，，且（*），
所以线段的中点的纵坐标为，
因为点在直线上，所以，所以，
因为，，所以，
即，
将，代入上式，所以，
代入（*）得，化简得，所以，
点到的距离，
，
所以，
将代入上式，得，
因为
所以.
1 / 1广东省潮洲市2023-2024学年高二下学期教学质量检测数学试题
1．（2024高二下·广东期末）函数在处的切线斜率为（　　）
A． B． C． D．
2．（2024高二下·广东期末）某校高二级学生参加某次考试，其数学成绩，试卷满分150分，统计结果显示，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2024高二下·广东期末）已知随机变量的分布列为：
1 2 3 4 5
0.1 0.3 0.1 0.1
则（　　）．
A．0.4 B．1.2 C．1.6 D．2.8
4．（2024高二下·广东期末）的展开式中的系数为（　　）．
A．60 B．120 C．15 D．30
5．（2024高二下·广东期末）已知函数，若在上单调递减．则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024高二下·广东期末）椭圆的左、右焦点分别为，，过点且与长轴垂直的直线交椭圆于，两点．若为等边三角形，则椭圆的离心率为（　　）．
A． B． C． D．
7．（2024高二下·广东期末）近年来，潮州以其品种繁多的美味小吃、独特的文化魅力和民俗风情吸引八方游客.据统计，潮州古城区2019年至2023年（用表示年份）接待的游客人数（十万人）的数据如下表：
1 2 3 4 5
12 15 19 24 30
由此得到关于的回归直线方程为，则可以预测潮州古城区2024年接待的游客人数约为（　　）十万人
A．36.5 B．37 C．35.2 D．35.6
8．（2024高二下·广东期末）把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个.其中，第一个盒子中有7个球标有字母A，3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个.试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球.如果第二次取出的是红球，则称试验成功，则试验成功的概率为（　　）
A．0.59 B．0.41 C．0.48 D．0.64
9．（2024高二下·广东期末）定义在上的函数，其导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．是的极小值，是的极大值
B．是的极大值，是的极小值
C．在上单调递增
D．在上单调递减
10．（2024高二下·广东期末）某所高中的辩论队要从5名高一学生和4名高二学生中选出4人去参加一场辩论比赛．下列说法正确的是（　　）
A．被选中的4人中恰有1名高一学生的概率为
B．被选中的4人中恰有1名高二学生的概率为
C．如果高一学生中的甲和高二学生中的乙至多有1人入选，则有105种选法
D．如果高一学生中的甲和高二学生中的乙至多有1人入选，则有140种选法
11．（2024高二下·广东期末）如图、在长方体中，，，，，分别是，，的中点．则下列说法正确的是（　　）
A．平面
B．
C．三棱锥的体积为
D．若点在平面内，且平面，则线段长度的最小值为
12．（2024高二下·广东期末）有2名老师和3名学生站成一排照相，若这2名老师都不站在两端，则不同的站法共有　 　种．（用数字作答）
13．（2024高二下·广东期末）已知函数的图象为曲线，若曲线存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围是　 　．
14．（2024高二下·广东期末）“杨辉三角”最早出现在中国数学家杨辉所著的《详解九章算法》中，是中国古代数学文化的瑰宝之一.如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，记第2行的第3个数字为，第3行的第3个数字为、 ，第行的第3个数字为，则　 　，数列的前项和　 　．
15．（2024高二下·广东期末）在公差为3的等差数列中，，数列满足
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求的前项和．
16．（2024高二下·广东期末）已知函数在处取得极值．
（1）求实数的值；
（2）求函数在区间上的最小值．
17．（2024高二下·广东期末）致敬百年，读书筑梦，某学校组织全校学生参加“学党史颂党恩，党史网络知识竞赛”活动．并对某年级的100位学生竞赛成绩进行统计，得到如下人数分布表．规定：成绩在内，为成绩优秀．
成绩
人数 5 10 15 25 20 20 5
（1）根据以上数据完成列联表，并判断是否有90%的把握认为此次竞赛成绩与性别有关；
　 优秀 非优秀 合计
男 10 　 　
女 　 35 　
合计 　 　 　
（2）某班级实行学分制，为鼓励学生多读书，推出“读书抽奖额外赚学分”趣味活动方案：规定成绩达到优秀的同学，可抽奖2次，每次中奖概率为（每次抽奖互不影响，且的值等于成绩分布表中不低于80分的人数频率），中奖1次学分加5分，中奖2次学分加10分．若学生甲成绩在内，请列出其本次读书活动额外获得学分数的分布列并求其数学期望．
参考公式：，．
附表：
0.150 0.100 0.050 0.010 0.005
2.072 2.706 3.841 6.635 7.879
18．（2024高二下·广东期末）如图，在三棱柱中，侧棱底面，底面是正三角形，，点、分别在、上，且，．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的余弦值．
19．（2024高二下·广东期末）已知抛物线的焦点到点的距离为，，为抛物线上两个动点，且线段的中点在直线上．
（1）求抛物线的方程；
（2）求面积的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】解：函数定义域为，，且，
则函数在处的切线斜率为.
故答案为：B.
【分析】求导，根据导数的几何意义求解即可.
2．【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解： 数学成绩，
因为，所以，
则，即．
故答案为：B.
【分析】根据正态分布的对称性求解即可.
3．【答案】D
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：根据概率的性质可得：，
则．
故答案为：D.
【分析】先根据概率之和等于1，求得，再根据期望的公式求解即可．
4．【答案】A
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式的通项为：（且），
则的展开式中的系数为．
故答案为：A.
【分析】写出展开式的通项，利用通项计算即可.
5．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
因为函数在上单调递减，所以在上恒成立，
即，即在上恒成立，
令，易知函数在单调递增，
则，即，即．
故答案为：B.
【分析】求函数的定义域，再求导，由题意可得，分离常数，结合令在单调递增求解即可.
6．【答案】A
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：如图所示：
设，若为等边三角形，则，，
由椭圆的定义可得：，则椭圆的离心率为．
故答案为：A.
【分析】根据等边三角形性质结合离心率定义计算即可.
7．【答案】D
【知识点】线性回归方程；回归分析
【解析】【解答】解：易知，，
由回归直线方程必过样本点中心得，解得，
则关于的回归直线方程为，
当时，．
故答案为：D.
【分析】求出，然后代入回归方程可求出，再将代入回归方程求解即可.
8．【答案】A
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：设事件A＝“从第一个盒子中取得标有字母A的球”，
事件B＝“从第一个盒子中取得标有字母B的球”，
事件R＝“第二次取出的球是红球”，
则，，P(R|A)＝，P(R|B)＝，
故P(R)＝P(R|A)P(A)＋P(R|B)P(B)＝×＋×＝0.59.
【分析】先记事件，根据全概率公式求解即可.
9．【答案】B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由图知，，，
当时，；当时，；
当时，；当时，.
则函数在，上单调递减，在，上单调递增，
即的极大值为，极小值为，．
故答案为：BD.
【分析】根据导函数图象可得导数的正负，求出函数的单调区间，进而求函数的极值判断即可.
10．【答案】A,C
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：A、由题意可得：被选中的4人中恰有1名高一学生的概率为，故A正确；
B、被选中的4人中恰有1名高二学生的概率为，故B错误；
C、如果高一学生中的甲和高二学生中的乙至多有1人入选，包含两种情况，第一种情况，甲和乙都不入选，有种；第二种情况，甲乙恰有1人入选，有种选法，则如果高一学生中的甲和高二学生中的乙至多有1人入选，共有种选法，故C正确，D错误．
故答案为：AC.
【分析】先求出从9人中任意选4人，共种，再分别求出被选中的4人中恰有1名高一学生和被选中的4人中恰有1名高二学生的方法数，利用古典概型概率公式求解即可判断AB；如果高一学生中的甲和高二学生中的乙至多有1人入选，分甲和乙都不入选，和甲乙恰有1人入选两种情况求解即可判断CD.
11．【答案】A,B,C
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题；直线与平面平行的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、连结，，如图所示：
因为，分别是，的中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
又因为，平面，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面，
又因为平面，所以平面，故A正确；
B、由题意知四边形为正方形，则，
又平面，平面，
故，平面，
所以平面．又因为平面，所以，故B正确；
C、，故C正确；
D、因为平面，而平面平面，且点在平面内，
则点的轨迹是平面与平面的交线，即直线，
所以的最小值，在时取到，
在中，，，，
上的高为，
因为，所以，故D错误．
故答案为：ABC.
【分析】证明平面平面即可判断A；证明平面即可判断B；根据棱锥的体积公式结合等体积法即可判断C；确定点的轨迹是平面与平面的交线，即直线，利用等面积法求得最小值即可判断D.
12．【答案】
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：先排3名学生，有有种站法，
因为2名老师都不站在两端，所以2名老师插空，有种站法，
故不同的站法共有种．
故答案为：.
【分析】先计算3名学生的站法，再将2名老师插空，结合分步乘法计数原理计算即可.
13．【答案】
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
因为曲线存在与直线垂直的切线，所以有解，
则，即实数的取值范围是．
故答案为：.
【分析】求函数的定义域，再求导，利用曲线存在与直线垂直的切线，可得成立，求实数的取值范围即可．
14．【答案】；
【知识点】数列的求和；组合及组合数公式；二项式系数
【解析】【解答】解：由题意可得：，，
.
故答案为：，.
【分析】由题意，利用二项式系数，得，再进行组合数计算，利用裂项相消求得前项和即可.
15．【答案】（1）解： 公差为3的等差数列满足，则， 解得 ，
则 ，
故数列的通项公式为；
（2）解：由（1）知，，则，

，
则.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；等差数列的性质
【解析】【分析】（1）由题意，利用等差数列的性质求出数列的通项公式，从而得数列的通项公式；
（2）根据分组求和法求的前项和即可．
（1）∵等差数列满足，公差为3，
所以， 所以 ，
则 ，
∴数列的通项公式为；
（2）由（1）知，，
∴
所以
，
所以
16．【答案】（1）解：函数的定义域，，
由题意可得：，解得，
则，
令，解得或，令，解得，
则函数在，上单调递增，在上单调递减，
函数在处取极大值，在处取极小值，符合题意，
故；
（2）解：由（1）得函数，，，
令，得，函数在单调递增，
令，得，函数在单调递减，
函数在处取极小值，则当时，的最小值为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，求导根据函数在处取得极值，求出的值；再根据函数导数验证函数的极值即可；
（2）利用导数判断函数的单调性，求最值即可.
（1）由题意得的定义域，且
因为函数在处取值得极值，所以
解得
此时，，
令得或，令得，
故函数在，上单调递增，在上单调递减，
所以函数在处取极大值，在处取极小值，符合题意
所以．
（2）由（1）得，，
令，得，所以函数在单调递增，
令，得，所以函数在单调递减，
所以函数在处取极小值，
所以当时，的最小值为
17．【答案】（1）解：完善列联表：
优秀 非优秀 合计
男 10 40 50
女 15 35 50
合计 25 75 100
零假设： 此次竞赛成绩与性别无关，
，
则没有90%的把握认为此次竞赛成绩与性别有关；
（2）解：由题意可知：p，
的可能取值为1，5，10，
，
，
，
X的分布列为：
X 0 5 10
P ，
E(X)=5×+10×=2.5（分）.
【知识点】独立性检验的应用；二项分布；2×2列联表
【解析】【分析】（1）先完善列联表，计算K2的观测值k0，与相应临界值比较即可；
（2）先根据成绩分段表求得p的值，然后利用二项分布列计算X的各个取值的概率，列出分布列，根据分布列计算期望即可.
（1）
　 优秀 非优秀 合计
男 10 40 50
女 15 35 50
合计 25 75 100
假设： 此次竞赛成绩与性别无关.
，
所以没有90%的把握认为此次竞赛成绩与性别有关；
（2）p，
P(X=0)=
P(X=5)=，
P(X=10)=，
X的分布列为：
X 0 5 10
P
期望值E(X)=5×+10×=2.5（分）
18．【答案】（1）证明：在线段上取一点，使，连结、，如图所示：
在中，因为，，所以，所以且，
因为，，且，所以，且，
所以且，
故四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面， 所以平面；
（2）解：以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示：
因为底面是正三角形，，所以点，点，
点，点，点，
因为，所以点，
则，，，
设平面的一个法向量为．由，令，
则平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角的大小为，则，
，
故直线与平面所成角的余弦值为
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）在线段上取一点，使，连结、，先证四边形为平行四边形，所以，从而可得平面；
（2）以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
（1）在线段上取一点，使，连结、，
在中，因为，，所以，
所以且，
因为，，且，
所以，且，
所以且，
故四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面， 所以平面．
（2）以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图空间直角坐标系，
因为底面是正三角形，，所以点，点，
点，点，点，
因为，所以点，
则，，，
设平面的一个法向量为．
由，令，
得平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角的大小为，
则，
所以，
所以直线与平面所成角的余弦值为
19．【答案】（1）解：易知抛物线的焦点，，
由焦点到点的距离为，可得，解得，
则抛物线方程为；
（2）解：如图所示：
显然，直线的斜率不为0，设直线的方程为：，，，
联立方程组，消去整理可得，
由韦达定理可得，，且（*），
则线段的中点的纵坐标为，
因为点在直线上，所以，所以，
因为，，所以，
即，
将，代入上式，所以，
代入（*）得，化简得，所以，
点到的距离，
，
所以，
将代入上式，得，
因为，所以.
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）求出焦点坐标，利用两点间的距离公式列方程可求出，即可得抛物线的方程；
（2）设直线的方程为：，，，将直线方程代入抛物线方程化简利用根与系数的关系结合中点坐标公式表示出点的坐标，将两点的坐标代入抛物线方程，两式相加化简结合前面的式子可得，再结合判别式可得，利用弦长公式表示出，再表示出点到直线的距离，从而可表示出面积，化简后结合可求出其范围.
（1）焦点，，由焦点到点的距离为，
得，解得
所以抛物线方程为．
（2）如图所示，显然，直线的斜率不为0，
设直线的方程为：，，，
联立方程组，消去得，
所以，，且（*），
所以线段的中点的纵坐标为，
因为点在直线上，所以，所以，
因为，，所以，
即，
将，代入上式，所以，
代入（*）得，化简得，所以，
点到的距离，
，
所以，
将代入上式，得，
因为
所以.
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