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广东省广州市荔湾区2023~2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·荔湾期末）下列各数，是无理数的是（　　）．
A． B． C． D．0
2．（2024七下·荔湾期末）下列图案中，可以通过其中一个基础图形平移得到的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024七下·荔湾期末）2022年10月16日是第42个世界粮食日，某校学生会开展了“光盘行动，从我做起”的活动，对随机抽取的100名学生的在校午餐剩余量进行调查，结果有86名学生做到“光盘”，那么下列说法不合理的是（　　）
A．此次调查是抽样调查
B．样本容量是100
C．全校只有14名学生没有做到“光盘”
D．全校约有86％的学生做到“光盘”
4．（2024七下·荔湾期末）如图，下列说法错误的是（　　）
A．与是同位角 B．与是内错角
C．与是同旁内角 D．与是同旁内角
5．（2024七下·荔湾期末）若是关于、的方程的一个解，则的值是（　　）
A．5 B． C．8 D．
6．（2024七下·荔湾期末）若，则下列不等式正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024七下·荔湾期末）点在第二、四象限的角平分线上，则点的坐标为（　　）．
A． B． C． D．
8．（2024七下·荔湾期末）如图，现有两束平行光从距离水面相同的高度斜射向水面发生折射，由于两束光的偏折程度一样，故射入水中的两束光仍为平行光．已知，，则等于（　　）．
A． B． C． D．
9．（2024七下·荔湾期末）在平面直角坐标系中，点，，，轴，则当线段的长度取最小值时，点的坐标为（　　）．
A． B． C． D．
10．（2024七下·荔湾期末）已知关于，的方程组，下列说法中正确的有（　　）个．
①当时，；②当时，的最小值为2；③取任意实数，的值始终不变；④不存在实数，使成立．
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（2024七下·荔湾期末） 的相反数是　 　.
12．（2024七下·荔湾期末）为了绘制频数分布直方图，要先对数据进行分组．若这组数据的最大值为144，最小值为50，取组距为10，则分成的组数为　 　．
13．（2024七下·荔湾期末）如图，，，且三角形的面积为9，则点到的距离是　 　．
14．（2024七下·荔湾期末）若把点沿着轴正方向平移3个单位长度后，得到的点在轴上，则点的坐标为　 　．
15．（2024七下·荔湾期末）若关于的不等式的正整数解是1，2，3，则整数的最小值是　 　．
16．（2024七下·荔湾期末）观察图中数的排列规律并回答问题：
如果一个数在第行第列，那么记它的位置为有序数对，例如数2在第2行第1列，记它的位置为有序数对．按照这种方式，数的位置为有序数对　 　．
17．（2024七下·荔湾期末）计算：．
18．（2024七下·荔湾期末）如图，直线，相交于点，过点作，，若，求的度数．
19．（2024七下·荔湾期末）解方程组：
（1）
（2）
20．（2024七下·荔湾期末）解不等式组，并在数轴上表示它的解集．
21．（2024七下·荔湾期末）已知点，，，其中点的位置如图所示．
（1）在图中建立平面直角坐标系，并画出三角形；
（2）平移三角形，使点，的对应点，均落在坐标轴上，求此时点的对应点的坐标．
22．（2024七下·荔湾期末）为了科普卫生防疫知识，某校组织了一次在线知识竞赛．小荔同学随机抽取了一部分学生，其中男女生人数相等．现对他们的答题成绩按照“优秀”“良好”“合格”“不合格”四个等级进行统计，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）小荔同学共调查了______名学生，扇形统计图中“不合格”等级对应的圆心角度数为______；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有1500名学生，请你估计这次知识竞赛为“优秀”等级的学生人数．
23．（2024七下·荔湾期末）如图，直线，点，分别在，上，连接，平分交于点，动点在线段上（不与点，点重合），连接．
（1）求的值；
（2）若，且，求的值．
24．（2024七下·荔湾期末）如图，某化工厂与，两地有公路、铁路相连，这家工厂从地购进一批每吨1600元的原料运回工厂，制成产品运到地销售．已知3吨产品的销售款比2吨原料的进货款多20800元．
（1）求每吨产品的销售款是多少元；
（2）已知公路运价为元，铁路运价为元，且这两次运输共支出公路运费16000元，铁路运费89100元，求这批原料比产品多多少吨；
（3）工厂原计划从地购进的原料和送往地的产品一共有20吨，若要增加吨的产品，就要再购进吨的原料，此时产品的销售款与原料的进货款之差不少于49600元，同时满足原料总重量是产品总重量的2倍，求至少需要再购进多少吨的原料．
25．（2024七下·荔湾期末）已知在平面直角坐标系中有三点，，，，，满足．
（1）若，将线段向右平移个单位，再向下平移2个单位得到线段，点的对应点为，点是线段上的一个动点，且三角形的面积等于6，求点的坐标；
（2）将线段向右平移个单位得到线段，点的对应点为．
①若三角形的面积小于4，求的取值范围；
②已知点，连接，若线段与线段有公共点，请直接写出的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】最简二次根式；无理数的概念
【解析】【解答】解：为有理数，故A不符合题意；
为有理数，故B不符合题意；
，为无理数，故C符合题意；
0为有理数，故D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用无理数的定义（无限不循环小数称为无理数）逐个分析判断求解即可.
2．【答案】C
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：A．可以由一个“基本图形”旋转得到，故此选项不符合题意；B．可以由一个“基本图形”旋转得到，故此选项不符合题意；
C．可以由一个“基本图形”平移得到，故此选项符合题意；
D．可以由一个“基本图形”旋转得到，故此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用平移的特征（平移是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动 ）逐项分析判断即可.
3．【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：A、此次调查是抽样调查，故A不合题意；
B、样本容量是100，故B不合题意；
C、样本中有14名学生没有做到“光盘”，故C符合题意；
D、全校约有86%的学生做到“光盘”，故D不合题意；
故答案为：C．
【分析】利用样本的定义（ 样本是从总体中抽取的一部分元素构成的集合）、总体的定义（总体 是包含所研究的全部个体或数据的集合）、个体的定义（个体是指总体中的每一个成员。总体表示考察对象的全体，而总体中的每一个成员就被称为个体）和样本容量的定义（ 样本容量是指一个样本中所包含的单位数，一般用n表示 ）分析求解即可.
4．【答案】D
【知识点】同位角的概念；内错角的概念；同旁内角的概念
【解析】【解答】解：∠1不与∠2、∠3、∠4成一组同旁内角，D错误，其余选项正确.
故答案为：D.
【分析】 两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角. 明显地，∠1与∠3不符合该定义.
5．【答案】A
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：是关于、的方程的一个解，
解得：
故选：A.
【分析】本题考查的是二元一次方程的解，把代入方程，得到求得m的值，即可得到答案.
6．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、不等式两边同时，不等号的方向不变，，该选项不符合题意；
B、不等式两边同时除以，不等号的方向改变，成立，该选项符合题意；
C、不等式两边同时乘以，不等号的方向不变，，该选项不符合题意；
D、不等式两边乘的数字不一样，无法判断，该选项不符合题意．
故选：B．
【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在第二、四象限的角平分线上，
∴，
解得：，
∴，即．
故答案为：C．
【分析】利用第二、四象限的角平分线上点坐标的特征可得，求出a的值，从而可得点P的坐标.
8．【答案】D
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
由题意可知，，，，
∴，，，，
∴，，
∴．
故答案为：D．
【分析】用平行线的性质可得，，，，再利用角的运算和等量代换求出即可．
9．【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：∵轴，
∴．
如图，
当时，的长度取最小值，
∴，即．
故答案为：A．
【分析】利用轴，求出，再结合，求出，从而可得点C的坐标即可.
10．【答案】B
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程组；代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：①当时，原方程组为，
解得：，故该项正确；
②，
由，得：．
∵，即，
∴，
解得：，即的最大值为2，故该项错误；
③，
由，得：，
∴取任意实数，的值始终不变，故该项正确；
④原方程组可改为：，
∴，
整理，得：．
∵，即，
∴，
解得：，
，
∴，即存在实数，使成立，故该项错误．
综上可知正确的有2个．
故答案为：B．
【分析】利用加减消元法的计算方法求出方程组的解，再逐项分析求解判断即可.
11．【答案】2-
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】解： 的相反数是-（ ）=2- ；
故答案为：2- .
【分析】求一个无理数的相反数，将这个无理数整体放到一个带负号的括号里，再去括号即可.
12．【答案】10
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：最大值与最小值的差是，
则可以分成的组数为组．
故答案为：10．
【分析】利用“组数=（最大值-最小值）÷组距”列出算式求解即可.
13．【答案】3
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积
【解析】【解答】解：如图，过A作AE⊥BC于E
∵△ABC的面积为9，BC=6，
∴BC AE=9，
∴AE=3，
过C作CF⊥AD于F，
∵AD∥BC，
∴CF=AE=3，
∴点C到AD的距离是3，
故答案为3．
【分析】过A作AE⊥BC于E，根据三角形面积可得AE=3，过C作CF⊥AD于F，再根据直线平行性质即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：把点沿着轴正方向平移3个单位长度后，得到的点的坐标为，即．
∵平移后得到的点在轴上，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：．
【分析】利用点坐标平移的特征及y轴上点坐标的特征可得，求出m的值，再求出点A的坐标即可.
15．【答案】10
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：不等式的解集是：，
∵不等式的正整数解恰是1，2，3，
∴，
∴a的取值范围是．
∴整数a的最小值是10．
故答案为：10．
【分析】先求出不等式的解集，再结合“不等式的正整数解恰是1，2，3”可得，求出a的取值范围，最后求出整数a的最小值即可.
16．【答案】
【知识点】探索数与式的规律；有序数对；探索规律-点的坐标规律
17．【答案】解：
．
【知识点】二次根式的混合运算；开立方（求立方根）
【解析】【分析】先利用立方根的性质化简，再利用二次根式的混合运算的计算方法分析求解即可.
18．【答案】解：∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；垂线的概念；对顶角及其性质
【解析】【分析】先利用角的运算求出，再结合，利用角的运算求出即可．
19．【答案】（1）解：，
得，，
解得，，
把代入②得，，
解得，，
所以，方程组的解为.
（2）解：
把①代入②，得：，
解得，，
把代入①得，
解得，，
所以，方程组的解为.

【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用加减消元法的计算方法及步骤分析求解即可；
（2）利用代入消元法的计算方法及步骤分析求解即可.
（1）解：，
得，，
解得，，
把代入②得，，
解得，，
所以，方程组的解为；
（2）解：
把①代入②，得：，
解得，，
把代入①得，
解得，，
所以，方程组的解为
20．【答案】解：
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
所以原不等式组的解集为，
在数轴上表示如图，
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可.
21．【答案】（1）解：如图，平面直角坐标系和即为所作；
（2）解：如图，即为所作；
点的坐标为或.
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）根据点A、B、C的坐标建立平面直角坐标系即可；
（2）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接即可.
（1）解：如图，平面直角坐标系和即为所作；
（2）解：如图，即为所作；
点的坐标为或
22．【答案】（1）120，
（2）解：男生“优秀”等级的人数为名，
女生“合格”等级的人数为名，
∴补全统计图如图．
（3）解：小荔同学调查的人中“优秀”等级的学生占总人数的百分比为，
∴估计这次知识竞赛为“优秀”等级的学生人数为名．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：小荔同学调查的男同学为名学生，
∴小荔同学共调查了名学生．
扇形统计图中“不合格”等级所占百分比为，
∴扇形统计图中“不合格”等级对应的圆心角度数为；
故答案为：120；54°.
【分析】（1）利用条形统计图和扇形统计图求出男生和女生的总人数，再求解总人数；最后利用“不合格”的百分比乘以360°可得答案；（2）先分别求出男生“优秀”的人数和女生“合格”的人数，再作出条形统计图即可；（3）先求出“优秀”的百分比，再乘以1500可得答案.
（1）解：小荔同学调查的男同学为名学生，
∴小荔同学共调查了名学生．
扇形统计图中“不合格”等级所占百分比为，
∴扇形统计图中“不合格”等级对应的圆心角度数为；
（2）解：男生“优秀”等级的人数为名，
女生“合格”等级的人数为名，
∴补全统计图如图．
（3）解：小荔同学调查的人中“优秀”等级的学生占总人数的百分比为，
∴估计这次知识竞赛为“优秀”等级的学生人数为名．
23．【答案】（1）证明：∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴.
（2）解：∵，
∴，
∴．
∵，
∴，即，
∴．
∵，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；平行线的性质；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先利用角平分线的定义可得，再利用平行线的性质及等量代换可得，再利用角的运算和等量代换可得；
（2）先利用角的运算求出，再利用平行线的性质可得，即，再结合，可得，最后求出即可．
（1）证明：∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴．
∵，
∴，即，
∴．
∵，
∴，
∴．
24．【答案】（1）解：设每吨产品的销售款是m元，
根据题意有：，
解得：，
答：每吨产品的销售款是8000元.
（2）解：设这批原料x吨，产品y吨，
根据题意有：，
解得：．
吨，
答：这批原料比产品多100吨.
（3）解：设原计划从地购进的原料为t吨，则原计划送往地的产品为吨．
∵原料总重量是产品总重量的2倍，
∴，
∴．
∵此时产品的销售款与原料的进货款之差不少于49600元，
∴
解得：，
答：至少需要再购进6.875吨的原料.
【知识点】一元一次方程的其他应用；二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设每吨产品的销售款是m元，根据“ 已知3吨产品的销售款比2吨原料的进货款多20800元 ”列出方程，再求解即可；
（2）设这批原料x吨，产品y吨，根据“ 这两次运输共支出公路运费16000元，铁路运费89100元 ”列出方程组，再求解即可；
（3）设原计划从地购进的原料为t吨，则原计划送往地的产品为吨，根据“ 同时满足原料总重量是产品总重量的2倍 ”列出方程，求出，再结合“ 销售款与原料的进货款之差不少于49600元 ”列出不等式，再求解即可.
（1）解：设每吨产品的销售款是m元，
根据题意有：，
解得：，
答：每吨产品的销售款是8000元；
（2）解：设这批原料x吨，产品y吨，
根据题意有：，
解得：．
吨，
答：这批原料比产品多100吨；
（3）解：设原计划从地购进的原料为t吨，则原计划送往地的产品为吨．
∵原料总重量是产品总重量的2倍，
∴，
∴．
∵此时产品的销售款与原料的进货款之差不少于49600元，
∴
解得：，
答：至少需要再购进6.875吨的原料．
25．【答案】（1）解：∵，，且，
∴，，
∴．
当时，，，
则，，，
∵将线段向右平移个单位，再向下平移2个单位得到线段，
∴，，，
如图，连接，，
∴，
过点作轴于点G，
∵，，，
∴，，，，，
∵
，
∴，
解得：，
∴．
（2）解：由（1）可得，
∴，，，
如图，延长交x轴于H，
∵，，
∴点B向下平移4个单位，再向左平移2个单位到点C，
又∵点C平移到x轴需要向下平移2个单位，
∴为保证点B到点C与点C到点H的方向一致，点C需要在向下平移2个单位的基础上再向左平移1个单位到点H，
∴，
∵，，，
且线段向右平移个单位得到线段，
则，，
当点N在点G左边时，作图，
，
∵三角形的面积小于4，
∴，
解得：，
当点N在点G右边时，
，
∵三角形的面积小于4，
∴，
∴，
综上所述：n的取值范围是；
②
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；平移的性质；偶次方的非负性
【解析】【解答】（2）②如图，若线段与线段有公共点，则当点C平移后得点N在线段上时，平移距离最小，
∵，，
∴点A向上平移7个单位，再向右平移7个单位到点F，
又∵点A平移到直线需要向上平移2个单位，
∴为保证点A到点F与点A到点N的方向一致，点A需要在向上平移2个单位的基础上再向右平移2个单位到点N，
∴，
又∵，
∴线段向右平移4个单位，即；
如图，当点B平移后的对应点M在线段上时，平移距离最大，
∵点A向上平移7个单位，再向右平移7个单位到点F，
又∵点A平移到直线需要向上平移6个单位，
∴为保证点A到点F与点A到点M的方向一致，点A需要在向上平移6个单位的基础上再向右平移6个单位到点M，
∴，
又∵，
∴线段向右平移6个单位，即；
综上所述，线段与线段有公共点，则．
故答案为：．
【分析】（1）先求出点A、B、C的坐标，再求出，，过点作轴于点G，连接，，先求出，可得，求出m的值，可得点D的坐标；
（2）①分类讨论：当点N在点G左边时，求出；当点N在点G右边时，求出，最后求出n的取值范围是；
②分类讨论： 当点C平移后得点N在线段上时，平移距离最小， 当点B平移后的对应点M在线段上时，平移距离最大， 再分别画出图形并列出方程求解即可.
（1）解：∵，，
且，
∴，，
∴．
当时，，，
则，，，
∵将线段向右平移个单位，再向下平移2个单位得到线段，
∴，，，
如图，连接，，
∴，
过点作轴于点G，
∵，，，
∴，，，，，
∵
，
∴，解得，
∴．
（2）解：由（1）有，
∴，，，
如图，延长交x轴于H，
∵，，
∴点B向下平移4个单位，再向左平移2个单位到点C，
又∵点C平移到x轴需要向下平移2个单位，
∴为保证点B到点C与点C到点H的方向一致，点C需要在向下平移2个单位的基础上再向左平移1个单位到点H，
∴，
∵，，，
且线段向右平移个单位得到线段，
则，，
当点N在点G左边时，作图，
，
∵三角形的面积小于4，
∴，
解得：，
当点N在点G右边时，
，
∵三角形的面积小于4，
∴，
∴，
综上所述：n的取值范围是；
②如图，若线段与线段有公共点，则当点C平移后得点N在线段上时，平移距离最小，
∵，，
∴点A向上平移7个单位，再向右平移7个单位到点F，
又∵点A平移到直线需要向上平移2个单位，
∴为保证点A到点F与点A到点N的方向一致，点A需要在向上平移2个单位的基础上再向右平移2个单位到点N，
∴，
又∵，
∴线段向右平移4个单位，即；
如图，当点B平移后的对应点M在线段上时，平移距离最大，
∵点A向上平移7个单位，再向右平移7个单位到点F，
又∵点A平移到直线需要向上平移6个单位，
∴为保证点A到点F与点A到点M的方向一致，点A需要在向上平移6个单位的基础上再向右平移6个单位到点M，
∴，
又∵，
∴线段向右平移6个单位，即；
综上所述，线段与线段有公共点，则．
1 / 1广东省广州市荔湾区2023~2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·荔湾期末）下列各数，是无理数的是（　　）．
A． B． C． D．0
【答案】C
【知识点】最简二次根式；无理数的概念
【解析】【解答】解：为有理数，故A不符合题意；
为有理数，故B不符合题意；
，为无理数，故C符合题意；
0为有理数，故D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用无理数的定义（无限不循环小数称为无理数）逐个分析判断求解即可.
2．（2024七下·荔湾期末）下列图案中，可以通过其中一个基础图形平移得到的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：A．可以由一个“基本图形”旋转得到，故此选项不符合题意；B．可以由一个“基本图形”旋转得到，故此选项不符合题意；
C．可以由一个“基本图形”平移得到，故此选项符合题意；
D．可以由一个“基本图形”旋转得到，故此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用平移的特征（平移是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动 ）逐项分析判断即可.
3．（2024七下·荔湾期末）2022年10月16日是第42个世界粮食日，某校学生会开展了“光盘行动，从我做起”的活动，对随机抽取的100名学生的在校午餐剩余量进行调查，结果有86名学生做到“光盘”，那么下列说法不合理的是（　　）
A．此次调查是抽样调查
B．样本容量是100
C．全校只有14名学生没有做到“光盘”
D．全校约有86％的学生做到“光盘”
【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：A、此次调查是抽样调查，故A不合题意；
B、样本容量是100，故B不合题意；
C、样本中有14名学生没有做到“光盘”，故C符合题意；
D、全校约有86%的学生做到“光盘”，故D不合题意；
故答案为：C．
【分析】利用样本的定义（ 样本是从总体中抽取的一部分元素构成的集合）、总体的定义（总体 是包含所研究的全部个体或数据的集合）、个体的定义（个体是指总体中的每一个成员。总体表示考察对象的全体，而总体中的每一个成员就被称为个体）和样本容量的定义（ 样本容量是指一个样本中所包含的单位数，一般用n表示 ）分析求解即可.
4．（2024七下·荔湾期末）如图，下列说法错误的是（　　）
A．与是同位角 B．与是内错角
C．与是同旁内角 D．与是同旁内角
【答案】D
【知识点】同位角的概念；内错角的概念；同旁内角的概念
【解析】【解答】解：∠1不与∠2、∠3、∠4成一组同旁内角，D错误，其余选项正确.
故答案为：D.
【分析】 两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角. 明显地，∠1与∠3不符合该定义.
5．（2024七下·荔湾期末）若是关于、的方程的一个解，则的值是（　　）
A．5 B． C．8 D．
【答案】A
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：是关于、的方程的一个解，
解得：
故选：A.
【分析】本题考查的是二元一次方程的解，把代入方程，得到求得m的值，即可得到答案.
6．（2024七下·荔湾期末）若，则下列不等式正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、不等式两边同时，不等号的方向不变，，该选项不符合题意；
B、不等式两边同时除以，不等号的方向改变，成立，该选项符合题意；
C、不等式两边同时乘以，不等号的方向不变，，该选项不符合题意；
D、不等式两边乘的数字不一样，无法判断，该选项不符合题意．
故选：B．
【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可求出答案.
7．（2024七下·荔湾期末）点在第二、四象限的角平分线上，则点的坐标为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在第二、四象限的角平分线上，
∴，
解得：，
∴，即．
故答案为：C．
【分析】利用第二、四象限的角平分线上点坐标的特征可得，求出a的值，从而可得点P的坐标.
8．（2024七下·荔湾期末）如图，现有两束平行光从距离水面相同的高度斜射向水面发生折射，由于两束光的偏折程度一样，故射入水中的两束光仍为平行光．已知，，则等于（　　）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
由题意可知，，，，
∴，，，，
∴，，
∴．
故答案为：D．
【分析】用平行线的性质可得，，，，再利用角的运算和等量代换求出即可．
9．（2024七下·荔湾期末）在平面直角坐标系中，点，，，轴，则当线段的长度取最小值时，点的坐标为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：∵轴，
∴．
如图，
当时，的长度取最小值，
∴，即．
故答案为：A．
【分析】利用轴，求出，再结合，求出，从而可得点C的坐标即可.
10．（2024七下·荔湾期末）已知关于，的方程组，下列说法中正确的有（　　）个．
①当时，；②当时，的最小值为2；③取任意实数，的值始终不变；④不存在实数，使成立．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程组；代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：①当时，原方程组为，
解得：，故该项正确；
②，
由，得：．
∵，即，
∴，
解得：，即的最大值为2，故该项错误；
③，
由，得：，
∴取任意实数，的值始终不变，故该项正确；
④原方程组可改为：，
∴，
整理，得：．
∵，即，
∴，
解得：，
，
∴，即存在实数，使成立，故该项错误．
综上可知正确的有2个．
故答案为：B．
【分析】利用加减消元法的计算方法求出方程组的解，再逐项分析求解判断即可.
11．（2024七下·荔湾期末） 的相反数是　 　.
【答案】2-
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】解： 的相反数是-（ ）=2- ；
故答案为：2- .
【分析】求一个无理数的相反数，将这个无理数整体放到一个带负号的括号里，再去括号即可.
12．（2024七下·荔湾期末）为了绘制频数分布直方图，要先对数据进行分组．若这组数据的最大值为144，最小值为50，取组距为10，则分成的组数为　 　．
【答案】10
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：最大值与最小值的差是，
则可以分成的组数为组．
故答案为：10．
【分析】利用“组数=（最大值-最小值）÷组距”列出算式求解即可.
13．（2024七下·荔湾期末）如图，，，且三角形的面积为9，则点到的距离是　 　．
【答案】3
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积
【解析】【解答】解：如图，过A作AE⊥BC于E
∵△ABC的面积为9，BC=6，
∴BC AE=9，
∴AE=3，
过C作CF⊥AD于F，
∵AD∥BC，
∴CF=AE=3，
∴点C到AD的距离是3，
故答案为3．
【分析】过A作AE⊥BC于E，根据三角形面积可得AE=3，过C作CF⊥AD于F，再根据直线平行性质即可求出答案.
14．（2024七下·荔湾期末）若把点沿着轴正方向平移3个单位长度后，得到的点在轴上，则点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：把点沿着轴正方向平移3个单位长度后，得到的点的坐标为，即．
∵平移后得到的点在轴上，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：．
【分析】利用点坐标平移的特征及y轴上点坐标的特征可得，求出m的值，再求出点A的坐标即可.
15．（2024七下·荔湾期末）若关于的不等式的正整数解是1，2，3，则整数的最小值是　 　．
【答案】10
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：不等式的解集是：，
∵不等式的正整数解恰是1，2，3，
∴，
∴a的取值范围是．
∴整数a的最小值是10．
故答案为：10．
【分析】先求出不等式的解集，再结合“不等式的正整数解恰是1，2，3”可得，求出a的取值范围，最后求出整数a的最小值即可.
16．（2024七下·荔湾期末）观察图中数的排列规律并回答问题：
如果一个数在第行第列，那么记它的位置为有序数对，例如数2在第2行第1列，记它的位置为有序数对．按照这种方式，数的位置为有序数对　 　．
【答案】
【知识点】探索数与式的规律；有序数对；探索规律-点的坐标规律
17．（2024七下·荔湾期末）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】二次根式的混合运算；开立方（求立方根）
【解析】【分析】先利用立方根的性质化简，再利用二次根式的混合运算的计算方法分析求解即可.
18．（2024七下·荔湾期末）如图，直线，相交于点，过点作，，若，求的度数．
【答案】解：∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；垂线的概念；对顶角及其性质
【解析】【分析】先利用角的运算求出，再结合，利用角的运算求出即可．
19．（2024七下·荔湾期末）解方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
得，，
解得，，
把代入②得，，
解得，，
所以，方程组的解为.
（2）解：
把①代入②，得：，
解得，，
把代入①得，
解得，，
所以，方程组的解为.

【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用加减消元法的计算方法及步骤分析求解即可；
（2）利用代入消元法的计算方法及步骤分析求解即可.
（1）解：，
得，，
解得，，
把代入②得，，
解得，，
所以，方程组的解为；
（2）解：
把①代入②，得：，
解得，，
把代入①得，
解得，，
所以，方程组的解为
20．（2024七下·荔湾期末）解不等式组，并在数轴上表示它的解集．
【答案】解：
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
所以原不等式组的解集为，
在数轴上表示如图，
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可.
21．（2024七下·荔湾期末）已知点，，，其中点的位置如图所示．
（1）在图中建立平面直角坐标系，并画出三角形；
（2）平移三角形，使点，的对应点，均落在坐标轴上，求此时点的对应点的坐标．
【答案】（1）解：如图，平面直角坐标系和即为所作；
（2）解：如图，即为所作；
点的坐标为或.
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）根据点A、B、C的坐标建立平面直角坐标系即可；
（2）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接即可.
（1）解：如图，平面直角坐标系和即为所作；
（2）解：如图，即为所作；
点的坐标为或
22．（2024七下·荔湾期末）为了科普卫生防疫知识，某校组织了一次在线知识竞赛．小荔同学随机抽取了一部分学生，其中男女生人数相等．现对他们的答题成绩按照“优秀”“良好”“合格”“不合格”四个等级进行统计，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）小荔同学共调查了______名学生，扇形统计图中“不合格”等级对应的圆心角度数为______；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有1500名学生，请你估计这次知识竞赛为“优秀”等级的学生人数．
【答案】（1）120，
（2）解：男生“优秀”等级的人数为名，
女生“合格”等级的人数为名，
∴补全统计图如图．
（3）解：小荔同学调查的人中“优秀”等级的学生占总人数的百分比为，
∴估计这次知识竞赛为“优秀”等级的学生人数为名．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：小荔同学调查的男同学为名学生，
∴小荔同学共调查了名学生．
扇形统计图中“不合格”等级所占百分比为，
∴扇形统计图中“不合格”等级对应的圆心角度数为；
故答案为：120；54°.
【分析】（1）利用条形统计图和扇形统计图求出男生和女生的总人数，再求解总人数；最后利用“不合格”的百分比乘以360°可得答案；（2）先分别求出男生“优秀”的人数和女生“合格”的人数，再作出条形统计图即可；（3）先求出“优秀”的百分比，再乘以1500可得答案.
（1）解：小荔同学调查的男同学为名学生，
∴小荔同学共调查了名学生．
扇形统计图中“不合格”等级所占百分比为，
∴扇形统计图中“不合格”等级对应的圆心角度数为；
（2）解：男生“优秀”等级的人数为名，
女生“合格”等级的人数为名，
∴补全统计图如图．
（3）解：小荔同学调查的人中“优秀”等级的学生占总人数的百分比为，
∴估计这次知识竞赛为“优秀”等级的学生人数为名．
23．（2024七下·荔湾期末）如图，直线，点，分别在，上，连接，平分交于点，动点在线段上（不与点，点重合），连接．
（1）求的值；
（2）若，且，求的值．
【答案】（1）证明：∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴.
（2）解：∵，
∴，
∴．
∵，
∴，即，
∴．
∵，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；平行线的性质；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先利用角平分线的定义可得，再利用平行线的性质及等量代换可得，再利用角的运算和等量代换可得；
（2）先利用角的运算求出，再利用平行线的性质可得，即，再结合，可得，最后求出即可．
（1）证明：∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴．
∵，
∴，即，
∴．
∵，
∴，
∴．
24．（2024七下·荔湾期末）如图，某化工厂与，两地有公路、铁路相连，这家工厂从地购进一批每吨1600元的原料运回工厂，制成产品运到地销售．已知3吨产品的销售款比2吨原料的进货款多20800元．
（1）求每吨产品的销售款是多少元；
（2）已知公路运价为元，铁路运价为元，且这两次运输共支出公路运费16000元，铁路运费89100元，求这批原料比产品多多少吨；
（3）工厂原计划从地购进的原料和送往地的产品一共有20吨，若要增加吨的产品，就要再购进吨的原料，此时产品的销售款与原料的进货款之差不少于49600元，同时满足原料总重量是产品总重量的2倍，求至少需要再购进多少吨的原料．
【答案】（1）解：设每吨产品的销售款是m元，
根据题意有：，
解得：，
答：每吨产品的销售款是8000元.
（2）解：设这批原料x吨，产品y吨，
根据题意有：，
解得：．
吨，
答：这批原料比产品多100吨.
（3）解：设原计划从地购进的原料为t吨，则原计划送往地的产品为吨．
∵原料总重量是产品总重量的2倍，
∴，
∴．
∵此时产品的销售款与原料的进货款之差不少于49600元，
∴
解得：，
答：至少需要再购进6.875吨的原料.
【知识点】一元一次方程的其他应用；二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设每吨产品的销售款是m元，根据“ 已知3吨产品的销售款比2吨原料的进货款多20800元 ”列出方程，再求解即可；
（2）设这批原料x吨，产品y吨，根据“ 这两次运输共支出公路运费16000元，铁路运费89100元 ”列出方程组，再求解即可；
（3）设原计划从地购进的原料为t吨，则原计划送往地的产品为吨，根据“ 同时满足原料总重量是产品总重量的2倍 ”列出方程，求出，再结合“ 销售款与原料的进货款之差不少于49600元 ”列出不等式，再求解即可.
（1）解：设每吨产品的销售款是m元，
根据题意有：，
解得：，
答：每吨产品的销售款是8000元；
（2）解：设这批原料x吨，产品y吨，
根据题意有：，
解得：．
吨，
答：这批原料比产品多100吨；
（3）解：设原计划从地购进的原料为t吨，则原计划送往地的产品为吨．
∵原料总重量是产品总重量的2倍，
∴，
∴．
∵此时产品的销售款与原料的进货款之差不少于49600元，
∴
解得：，
答：至少需要再购进6.875吨的原料．
25．（2024七下·荔湾期末）已知在平面直角坐标系中有三点，，，，，满足．
（1）若，将线段向右平移个单位，再向下平移2个单位得到线段，点的对应点为，点是线段上的一个动点，且三角形的面积等于6，求点的坐标；
（2）将线段向右平移个单位得到线段，点的对应点为．
①若三角形的面积小于4，求的取值范围；
②已知点，连接，若线段与线段有公共点，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：∵，，且，
∴，，
∴．
当时，，，
则，，，
∵将线段向右平移个单位，再向下平移2个单位得到线段，
∴，，，
如图，连接，，
∴，
过点作轴于点G，
∵，，，
∴，，，，，
∵
，
∴，
解得：，
∴．
（2）解：由（1）可得，
∴，，，
如图，延长交x轴于H，
∵，，
∴点B向下平移4个单位，再向左平移2个单位到点C，
又∵点C平移到x轴需要向下平移2个单位，
∴为保证点B到点C与点C到点H的方向一致，点C需要在向下平移2个单位的基础上再向左平移1个单位到点H，
∴，
∵，，，
且线段向右平移个单位得到线段，
则，，
当点N在点G左边时，作图，
，
∵三角形的面积小于4，
∴，
解得：，
当点N在点G右边时，
，
∵三角形的面积小于4，
∴，
∴，
综上所述：n的取值范围是；
②
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；平移的性质；偶次方的非负性
【解析】【解答】（2）②如图，若线段与线段有公共点，则当点C平移后得点N在线段上时，平移距离最小，
∵，，
∴点A向上平移7个单位，再向右平移7个单位到点F，
又∵点A平移到直线需要向上平移2个单位，
∴为保证点A到点F与点A到点N的方向一致，点A需要在向上平移2个单位的基础上再向右平移2个单位到点N，
∴，
又∵，
∴线段向右平移4个单位，即；
如图，当点B平移后的对应点M在线段上时，平移距离最大，
∵点A向上平移7个单位，再向右平移7个单位到点F，
又∵点A平移到直线需要向上平移6个单位，
∴为保证点A到点F与点A到点M的方向一致，点A需要在向上平移6个单位的基础上再向右平移6个单位到点M，
∴，
又∵，
∴线段向右平移6个单位，即；
综上所述，线段与线段有公共点，则．
故答案为：．
【分析】（1）先求出点A、B、C的坐标，再求出，，过点作轴于点G，连接，，先求出，可得，求出m的值，可得点D的坐标；
（2）①分类讨论：当点N在点G左边时，求出；当点N在点G右边时，求出，最后求出n的取值范围是；
②分类讨论： 当点C平移后得点N在线段上时，平移距离最小， 当点B平移后的对应点M在线段上时，平移距离最大， 再分别画出图形并列出方程求解即可.
（1）解：∵，，
且，
∴，，
∴．
当时，，，
则，，，
∵将线段向右平移个单位，再向下平移2个单位得到线段，
∴，，，
如图，连接，，
∴，
过点作轴于点G，
∵，，，
∴，，，，，
∵
，
∴，解得，
∴．
（2）解：由（1）有，
∴，，，
如图，延长交x轴于H，
∵，，
∴点B向下平移4个单位，再向左平移2个单位到点C，
又∵点C平移到x轴需要向下平移2个单位，
∴为保证点B到点C与点C到点H的方向一致，点C需要在向下平移2个单位的基础上再向左平移1个单位到点H，
∴，
∵，，，
且线段向右平移个单位得到线段，
则，，
当点N在点G左边时，作图，
，
∵三角形的面积小于4，
∴，
解得：，
当点N在点G右边时，
，
∵三角形的面积小于4，
∴，
∴，
综上所述：n的取值范围是；
②如图，若线段与线段有公共点，则当点C平移后得点N在线段上时，平移距离最小，
∵，，
∴点A向上平移7个单位，再向右平移7个单位到点F，
又∵点A平移到直线需要向上平移2个单位，
∴为保证点A到点F与点A到点N的方向一致，点A需要在向上平移2个单位的基础上再向右平移2个单位到点N，
∴，
又∵，
∴线段向右平移4个单位，即；
如图，当点B平移后的对应点M在线段上时，平移距离最大，
∵点A向上平移7个单位，再向右平移7个单位到点F，
又∵点A平移到直线需要向上平移6个单位，
∴为保证点A到点F与点A到点M的方向一致，点A需要在向上平移6个单位的基础上再向右平移6个单位到点M，
∴，
又∵，
∴线段向右平移6个单位，即；
综上所述，线段与线段有公共点，则．
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