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2025 年九年级学业水平第三次模拟考试数学试题（2025.5）
考试时间 120 分钟 满分 150 分
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.7 的算术平方根是（ ）
A. ±7 B. 7 C. ± D.
2.如图所示的几何体，其左视图是（ ）
3.2025 年 4 月 24 日，神舟二十号航天员乘组顺利入驻中国空间站，与神舟十九号航天员乘组完成我国航天史上第六次 “太空会师” 。中国空间站距离地球的高度约 418700 米，将数字 418700 用科学记数法表示为（ ）
A. 41.87×10 B. 0.4187×10 C. 4.187×10 D. 4.187×10
4.如图，将△ABC 沿边 BC 所在的直线向右平移得到△DEF，若∠A = 55°，∠F = 40°，则∠DEF 的度数是（ ）
A. 40° B. 55° C. 75° D. 85°
5.下列运算正确的是（ ）
A. x ÷x = x B. 5x 3x = 15x C. 5x - 2x = 3 D. (x + 3)(x - 3) = x - 3
6.将一副三角板和一张矩形纸片按如图所示的方式摆放，两个三角板的直角边重合，含 45° 角的直角三角板的斜边与纸片的边缘重合，含 30° 角的三角板的一个顶点在纸片的边缘上，则∠1 的度数是（ ）
A. 25° B. 20° C. 15° D. 10°
7.如图为某商场地下车库示意图，其中 A，D 为入口，B，C，E 为出口。若车辆随机从各口通过，则某车辆恰好从 A 入口进入，从 E 出口驶出的概率为（ ）
A. B. C. D.
8.已知点 A (x , y )，B (x , y ) 在反比例函数 y =的图象上，若当 x <0< x 时，有 y A. m < 0 B. m > 0 C. m < D. m >
9.如图，在△ABC 中，∠C = 90°，按以下步骤作图：①以点 A 为圆心，适当长为半径作弧，分别交 AB，AC 于点 M，N，再分别以点 M，N 为圆心，大于MN 的长为半径作弧，两弧在∠BAC 内交于点 P，作射线 AP 交 BC 于点 D；②作 DE 垂直 AB 于点 E；③以点 D 为圆心，以 CD 为半径作弧，交 AD 于点 F，再以点 A 为圆心，AF 为半径作弧，交 AC 于点 G。若 DE =BD，则 CG 与 CD 的比值为（ ）
A. B. 4 - C. 4 - 12 D. - 1
10.定义：已知二次函数 y = ax + bx + c，对于 m、n 为实数（m A. 或 3 + 2 B. 或 3 - 2 C.或 3 + 2 D. 3 - 2 或 3 + 2
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分。）
11. 计算：﹣= 。
12. 如图是由三个同心圆组成的游戏板，同心圆的半径从大到小分别为 15 cm，10 cm 和 5 cm。若将飞镖随机投掷到游戏板上，则飞镖落在黑色区域的概率是 。
13. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A 在 y 轴的正半轴上，OA = 1 + √3，∠AOB = 60°，∠OAB = 45°，若将△ABO 绕原点 O 顺时针旋转 75°，则点 B 的坐标变为 。
14. 小明和小红进行 8 千米跑步练习，两人沿同一条公路同时从甲地出发，到达乙地后折返甲地，两人全程保持匀速运动，若两人距离甲地的路程 s（米）与跑步时间 t（分钟）的函数图象如图所示，则小明比小红早 分钟完成练习。
15. 如图，在菱形 ABCD 中，AB = 4，∠B = 120°，点 E 是边 AD 上的动点（不与点 A 重合），连接 CE，以 CE 为边在 CE 的上方作矩形 CEFG，且 EF =CE，连接 AF，则△AEF 面积的最大值为 。
三、解答题（本大题共 10 个小题，共 90 分。请写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
16.（本小题满分 7 分）计算：(-1) + |- 2| + () + (- π) - 3tan30°。
17.（本小题满分 7 分）解不等式组：，并写出它的所有正整数解。
18.（本小题满分 7 分）已知：如图，在矩形ABCD 中，点 E，F 是对角线 BD 上两点，BF = DE。求证：AE = CF。
19.（本小题满分 8 分）2025 年 4 月 23 日是第 30 个世界读书日，主题为 “阅读：通往未来的桥梁” 。为推广读书活动，某校随机抽取部分九年级学生进行了一次问卷调查，并对获取的数据进行统计整理，下面给出了部分信息：
a：将周末读书时间进行排序处理，所得数据中的部分信息为：…80，90，90，90，100，100，100，110 …；
b：将周末读书时间的数据进行整理绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图如下：（分为 4 组：A：x≤60；B：60 < x≤90；C：90 < x≤120；D：x > 120）
c：不完整的读书活动打分统计表：
分数 1 分 2 分 3 分 4 分 5 分
人数 1 10 24
占比 6% 20% 48%
根据以上信息回答下列问题：
（1）请补全条形统计图，并判断本次调查属于 （填 “抽样调查” 或 “普查”）；
（2）扇形统计图中 D 组对应扇形的圆心角为 度；
（3）随机抽取学生的周末读书时间的中位数为 分钟；
（4）请计算随机抽取的学生对学校读书活动打分的平均分。
20.（本小题满分 8 分）
某校 “综合实践” 小组开展项目式学习活动，记录如下：
请根据记录表提供的信息完成下列问题：
（1）求空调出风口 A 到地面的距离；
（2）请通过计算说明空调出风口到书桌的直线送风距离 AI 是否在舒适范围内。
（结果精确到 0.1 m，参考数据 sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin24°≈0.40，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45，sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80 。）
21.（本小题满分 9 分）如图，AB 是⊙O 的直径，点 C，D 为圆上两点，AC = BC，连接 CD 交 AB 于点 E，过点 D 作⊙O 的切线，交 AB 的延长线于点 F。
（1）求证：DF = EF；
（2）若 DF = 4，tan∠BCD =，求 AB 的长。
22.（本小题满分 10 分）为培养学生的创新能力，某学校计划成立创客实验室，现需购买航拍无人机和编程机器人。已知航拍无人机的单价比编程机器人的单价多 150 元，用 7500 元购买航拍无人机的数量和用 6600 元购买编程机器人的数量相同。
（1）求航拍无人机和编程机器人的单价分别是多少元？
（2）该校计划再次购买航拍无人机和编程机器人共 15 台，购买编程机器人的数量不超过航拍无人机数量的 2 倍，且商家给出了航拍无人机和编程机器人均打八折的优惠。问购买航拍无人机和编程机器人各多少台时花费最少？最少花费是多少元？
23.（本小题满分 10 分）如图，正方形 OABC 的顶点 A，C 分别在 y 轴，x 轴的正半轴上，点 E (m, n) 为其对角线 AC 上一点，反比例函数 y =(x > 0) 的图象交 AB 于点 F (1, t)，交 BC于点 G (3, 1)，连接 EF，EG，FG。
（1）求t 的值和反比例函数的表达式；
（2）求△EFG 周长的最小值；
（3）当∠AEF + ∠GEC<90° 时，请直接写出 m 的取值范围。
24.（本小题满分 12 分）抛物线 L：y =ax + bx + 4 经过点 A (3, 0) 和点 B (-2, 0) 两点，与 y 轴交于点 C。
（1）求抛物线 L 的表达式；
（2）点 P 是第二象限内的抛物线上一动点，作直线 AP，连接 AC。
①如图 1，作 PE⊥x 轴，垂足为点 E，作 PD⊥AC，垂足为点 D，当 PE + PD =时，求出直线 AP 的表达式；
②如图 2，在①的条件下，设抛物线 L 在直线 PA 上方的部分为图象 G，点 F 是图象 G 上的一点，将图象 G 沿直线 PA 翻折，若点 F 恰好落在 x 轴上，求出点 F 的横坐标。
25.（本小题满分 12 分）在△ABC 中，∠ACB = 90°，BC = 2AC，点 E 在边 BC 上（点 E 不与点 B，点 C 重合），连接 AE。
（1）如图 1，作 ED⊥AB，垂足为点 D，若点 D 为 AB 中点，则= ，= ；
（2）如图 2，在（1）的条件下，点 F 在线段 AE 上，连接 BF，CF，若∠BCF = ∠BFE，BF = 4，求 BD 的长；
（3）如图 3，点 F 在线段 AE 上，连接 BF，∠AFB = α，将射线 BF 绕点 B 逆时针旋转 α - 90° 得到射线 BF'，点 H 在射线 BF' 上且 BH = 2AF，连接 CF 和 FH，求 CF 与 FH 的数量关系。
答案
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.7 的算术平方根是（ D ）
A. ±7 B. 7 C. ± D.
2.如图所示的几何体，其左视图是（ B ）
3.2025 年 4 月 24 日，神舟二十号航天员乘组顺利入驻中国空间站，与神舟十九号航天员乘组完成我国航天史上第六次 “太空会师” 。中国空间站距离地球的高度约 418700 米，将数字 418700 用科学记数法表示为（ C ）
A. 41.87×10 B. 0.4187×10 C. 4.187×10 D. 4.187×10
4.如图，将△ABC 沿边 BC 所在的直线向右平移得到△DEF，若∠A = 55°，∠F = 40°，则∠DEF 的度数是（ D ）
A. 40° B. 55° C. 75° D. 85°
5.下列运算正确的是（ B ）
A. x ÷x = x B. 5x 3x = 15x C. 5x - 2x = 3 D. (x + 3)(x - 3) = x - 3
6.将一副三角板和一张矩形纸片按如图所示的方式摆放，两个三角板的直角边重合，含 45° 角的直角三角板的斜边与纸片的边缘重合，含 30° 角的三角板的一个顶点在纸片的边缘上，则∠1 的度数是（ C ）
A. 25° B. 20° C. 15° D. 10°
7.如图为某商场地下车库示意图，其中 A，D 为入口，B，C，E 为出口。若车辆随机从各口通过，则某车辆恰好从 A 入口进入，从 E 出口驶出的概率为（ A ）
A. B. C. D.
8.已知点 A (x , y )，B (x , y ) 在反比例函数 y =的图象上，若当 x <0< x 时，有 y A. m < 0 B. m > 0 C. m < D. m >
9.如图，在△ABC 中，∠C = 90°，按以下步骤作图：①以点 A 为圆心，适当长为半径作弧，分别交 AB，AC 于点 M，N，再分别以点 M，N 为圆心，大于MN 的长为半径作弧，两弧在∠BAC 内交于点 P，作射线 AP 交 BC 于点 D；②作 DE 垂直 AB 于点 E；③以点 D 为圆心，以 CD 为半径作弧，交 AD 于点 F，再以点 A 为圆心，AF 为半径作弧，交 AC 于点 G。若 DE =BD，则 CG 与 CD 的比值为（ B ）
A. B. 4 - C. 4 - 12 D. - 1
10.定义：已知二次函数 y = ax + bx + c，对于 m、n 为实数（m A. 或 3 + 2 B. 或 3 - 2 C.或 3 + 2 D. 3 - 2 或 3 + 2
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分。）
11. 计算：﹣= ﹣2 。
12. 如图是由三个同心圆组成的游戏板，同心圆的半径从大到小分别为 15 cm，10 cm 和 5 cm。若将飞镖随机投掷到游戏板上，则飞镖落在黑色区域的概率是 。
13. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A 在 y 轴的正半轴上，OA = 1 + √3，∠AOB = 60°，∠OAB = 45°，若将△ABO 绕原点 O 顺时针旋转 75°，则点 B 的坐标变为 （，﹣） 。
14. 小明和小红进行 8 千米跑步练习，两人沿同一条公路同时从甲地出发，到达乙地后折返甲地，两人全程保持匀速运动，若两人距离甲地的路程 s（米）与跑步时间 t（分钟）的函数图象如图所示，则小明比小红早 分钟完成练习。
15. 如图，在菱形 ABCD 中，AB = 4，∠B = 120°，点 E 是边 AD 上的动点（不与点 A 重合），连接 CE，以 CE 为边在 CE 的上方作矩形 CEFG，且 EF =CE，连接 AF，则△AEF 面积的最大值为 。
三、解答题（本大题共 10 个小题，共 90 分。请写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
16.（本小题满分 7 分）计算：(-1) + |- 2| + () + (- π) - 3tan30°。
=﹣1+2-+2+1﹣
=4﹣2
17.（本小题满分 7 分）解不等式组：，并写出它的所有正整数解。
解：解不等式①，得 x <5
解不等式②，得： x ≤3
原不等式组的解为 x ≤3
正整数解 x =1,2,3
18.（本小题满分 7 分）已知：如图，在矩形ABCD 中，点 E，F 是对角线 BD 上两点，BF = DE。求证：AE = CF。
∵矩形 ABCD
∴AB∥CD , AB = CD
∴∠ABD =∠CDB
∵BF = DE
∴BF - EF = DE - EF
即 BE = DF
∴△ABE≌△CDF
∴AE =CF
19.（本小题满分 8 分）2025 年 4 月 23 日是第 30 个世界读书日，主题为 “阅读：通往未来的桥梁” 。为推广读书活动，某校随机抽取部分九年级学生进行了一次问卷调查，并对获取的数据进行统计整理，下面给出了部分信息：
a：将周末读书时间进行排序处理，所得数据中的部分信息为：…80，90，90，90，100，100，100，110 …；
b：将周末读书时间的数据进行整理绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图如下：（分为 4 组：A：x≤60；B：60 < x≤90；C：90 < x≤120；D：x > 120）
c：不完整的读书活动打分统计表：
分数 1 分 2 分 3 分 4 分 5 分
人数 1 10 24
占比 6% 20% 48%
根据以上信息回答下列问题：
（1）请补全条形统计图，并判断本次调查属于 （填 “抽样调查” 或 “普查”）；
（2）扇形统计图中 D 组对应扇形的圆心角为 度；
（3）随机抽取学生的周末读书时间的中位数为 分钟；
（4）请计算随机抽取的学生对学校读书活动打分的平均分。
(1）图略，请抽样调查；
(2)108;
(3)100;
(4）请计算随机抽取的学生对学校读书活动打分的平均分。
1450=2%,1-2%-6%-20%-48%=24%,
1x2%+2x6%+3x20%+4x48%+5x24%=3.86（分）
答：随机抽取的学生对学校读书活动打分的平均分为3.86
20.（本小题满分 8 分）
某校 “综合实践” 小组开展项目式学习活动，记录如下：
请根据记录表提供的信息完成下列问题：
（1）求空调出风口 A 到地面的距离；
（2）请通过计算说明空调出风口到书桌的直线送风距离 AI 是否在舒适范围内。
（结果精确到 0.1 m，参考数据 sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin24°≈0.40，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45，sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80 。）
解：过点 A 作 AK∥BC ，交 GN 于点 M ，交 FC 于点 K
由题意得四边形 GECN 是矩形
∴NC = GE =0.4m, GN = EC =2m, MN=AB=0.17m,
∴GM =2-0.17=1.83m.
在 Rt△AMG 中，∠GAM =37°·tan∠GAM=
∴AM ==2.44m.
∴BC = BN + NC = AM + NC =2.44+0.4=2.84m.
(2）解：过点 I作 IP∥HK ，交 AK于点P
在 Rt△ FGE 中， GE =0.4m,∠FGE =∠GAM =37, tan∠FGE=
∴FE =GE·tan37°=0.4x0.75=0.3( m )
由题知，四边形IHKP为矩形
∴IP = HK - HF + FE + EK -3.73( m )
在Rt △AIP 中， IP =3.73m,∠IAP =37°+24°=61°, sin∠IHP =
∴Al =3.73÷0.87≈4.3m
∴空调出风口到书桌的直线送风距离 AI 在舒适范围内。.
21.（本小题满分 9 分）如图，AB 是⊙O 的直径，点 C，D 为圆上两点，AC = BC，连接 CD 交 AB 于点 E，过点 D 作⊙O 的切线，交 AB 的延长线于点 F。
（1）求证：DF = EF；
（2）若 DF = 4，tan∠BCD =，求 AB 的长。
解：(1）连接 OC , OD
∵AB 为直径，
∴∠ACB =90°
∵AC = BC , O 为 AB 中点，
∴OC⊥AB
所以在 Rt △OCE 中，∠OCE +∠OEC=90°
∴DF 为⊙O 切线，
∴OD⊥DF
∴∠ODE+∠FDE =90°
∵OC=OD
∴∠OCE=∠ODE
∴∠OEC =∠EDF
又：∠OEC =∠DEF
∴∠DEF =∠EDF
∴DF = EF
(2）连接 AD , BD
∵弧BD
∴∠BCD =∠BAD
∵AB 为直径
∴∠ADB =90°
∴tan∠BAD ==
∵OA = OD
∴∠OAD =∠ODA
又∵∠ODA +∠ODB =∠ODB +∠BDE =90°
∴∠OAD =∠BDF
∵∠F =∠F
∴ FBD∽ FDA
∴==
∴FB =2, FA =8
∴AB = FA - FB =6-2-6
22.（本小题满分 10 分）为培养学生的创新能力，某学校计划成立创客实验室，现需购买航拍无人机和编程机器人。已知航拍无人机的单价比编程机器人的单价多 150 元，用 7500 元购买航拍无人机的数量和用 6600 元购买编程机器人的数量相同。
（1）求航拍无人机和编程机器人的单价分别是多少元？
（2）该校计划再次购买航拍无人机和编程机器人共 15 台，购买编程机器人的数量不超过航拍无人机数量的 2 倍，且商家给出了航拍无人机和编程机器人均打八折的优惠。问购买航拍无人机和编程机器人各多少台时花费最少？最少花费是多少元？
(1）解：设购买编程机器人的单价为 x 元，则购买航拍无人机的单价为（ x +150）元。
根据题意得：=
解得： x =1100
经检验 x =1100是所列分式方程的解，且符合题意
x +150=1250
答：航拍无人机单价是1250元，编程机器人的单价是1100元；
(2）解：设购买编程机器人 m 台，则购买航拍无人机（15- m ）台，总费用为 w 元
根据题意得： m ≤2(15- m )
解得： m ≤10
w =0.8x1100m+0.8x1250x(15- m )=-120m+15000
∵-120<0
∴w 随 m 的增大而减小
当 m =10时， W 有最小值，最小值为﹣120x10+15000=13800（元）
则航拍无人机为：15-10=5（台）
答：购买编程机器人10台，航拍无人机5台时，总花费最少，最少为13800元
23.（本小题满分 10 分）如图，正方形 OABC 的顶点 A，C 分别在 y 轴，x 轴的正半轴上，点 E (m, n) 为其对角线 AC 上一点，反比例函数 y =(x > 0) 的图象交 AB 于点 F (1, t)，交 BC于点 G (3, 1)，连接 EF，EG，FG。
（1）求t 的值和反比例函数的表达式；
（2）求△EFG 周长的最小值；
（3）当∠AEF + ∠GEC<90° 时，请直接写出 m 的取值范围。
(1)将 G (3,1）代入 y =( x >0）得 k =3
y =(x>0)
将 F (1,t）代入得t =3
(2)∵G (3,1)，且四边形 OABC 是正方形
∴B (3,3)
∴GB =3
同理 FB =3
FG=2
取 G关于AC 的对称点G ，连接GG , GE , GF
∵∠GCG =90°，且G’C = GC
∴G’ (2,0),
EF + FG = EF + G’F ≥ F G =
∴EF + FG 的最小值为
△ EFG 周长的最小值为2+
（3）＜m＜
24.（本小题满分 12 分）抛物线 L：y =ax + bx + 4 经过点 A (3, 0) 和点 B (-2, 0) 两点，与 y 轴交于点 C。
（1）求抛物线 L 的表达式；
（2）点 P 是第二象限内的抛物线上一动点，作直线 AP，连接 AC。
①如图 1，作 PE⊥x 轴，垂足为点 E，作 PD⊥AC，垂足为点 D，当 PE + PD =时，求出直线 AP 的表达式；
②如图 2，在①的条件下，设抛物线 L 在直线 PA 上方的部分为图象 G，点 F 是图象 G 上的一点，将图象 G 沿直线 PA 翻折，若点 F 恰好落在 x 轴上，求出点 F 的横坐标。
(1）解：因为 y =ax2+ bx +4过点 A (3,0）和点 B (-2,0),
联立
解得
∴二次函数的表达式是 y =x2+x +4
（2）①y=x+2
②F点的横坐标是
25.（本小题满分 12 分）在△ABC 中，∠ACB = 90°，BC = 2AC，点 E 在边 BC 上（点 E 不与点 B，点 C 重合），连接 AE。
（1）如图 1，作 ED⊥AB，垂足为点 D，若点 D 为 AB 中点，则= ，= ；
（2）如图 2，在（1）的条件下，点 F 在线段 AE 上，连接 BF，CF，若∠BCF = ∠BFE，BF = 4，求 BD 的长；
（3）如图 3，点 F 在线段 AE 上，连接 BF，∠AFB = α，将射线 BF 绕点 B 逆时针旋转 α - 90° 得到射线 BF'，点 H 在射线 BF' 上且 BH = 2AF，连接 CF 和 FH，求 CF 与 FH 的数量关系。
（1）
(2)以为内∠BCF = ∠BFE , ∠CBF =∠FBE
∴△BCF∽△BFE
∴=
∴BC·BE =BF2=16
∵ED⊥AB
∴∠BDE =90°=∠BCA
∵∠EBD =∠ABC
∴△BDE∽△BCA
∴=
∴BD·BA = BC·BE =16,
∵点 D 为 AB 中点，
∴BA=2BD
∴BD·2BD=16
∴BD =2
（3）FH=CF

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