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圆综合复习（中考真题）
一．解答题（共26小题）
1．如图，直线l与⊙O相切于点A，AB是⊙O的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接BC，BD，分别与⊙O交于点E，F，连接EF，AF．
（1）求证：∠BAF＝∠CDB；
（2）若⊙O的半径r＝6，AD＝9，AC＝12，求EF的长．
2．如图，△ACD内接于⊙O，直径AB交CD于点G，过点D作射线DF，使得∠ADF＝∠ACD，延长DC交过点B的切线于点E，连接BC．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若CDCG，BE＝3CE＝3．
①求DE的长；
②求⊙O的半径．
3．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．⊙O的两条弦FB，FD相交于点F，∠DAE＝∠BFD．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠C＝30°，CD＝2，求扇形OBD的面积．
4．如图，在⊙O中，AB是直径，AE是弦，点F是上一点，，AE，BF交于点C，点D为BF延长线上一点，且∠CAD＝∠CDA．
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若BE＝4，AD＝2，求⊙O的半径长．
5．如图，△ABC中，AB＝4，D为AB中点，∠BAC＝∠BCD，cos∠ADC，⊙O是△ACD的外接圆．
（1）求BC的长；
（2）求⊙O的半径．
6．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，点P是BA延长线上的一点，连接AC，∠PCA＝∠B．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若sin∠B，求证：AC＝AP；
（3）若CD⊥AB于D，PA＝4，BD＝6，求AD的长．
7．如图，BE是⊙O的直径，点A在⊙O上，点C在BE的延长线上，∠EAC＝∠ABC，AD平分∠BAE交⊙O于点D，连结DE．
（1）求证：CA是⊙O的切线；
（2）当AC＝8，CE＝4时，求DE的长．
8．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，将△ABC沿直线AB翻折到△ABD，点D在⊙O上．连接CD，交AB于点E，延长BD，CA，两线相交于点P，过点A作⊙O的切线交BP于点G．
（1）求证：AG∥CD；
（2）求证：PA2＝PG PB；
（3）若sin∠APD，PG＝6．求tan∠AGB的值．
9．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D在BA的延长线上，∠DCA＝∠CBA．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）点G是半径OB上的点，过点G作OB的垂线与BC交于点F，与DC的延长线交于点E，若sinD，DA＝FG＝2，求CE的长．
10．如图，直线l与⊙O相切于点D，AB为⊙O的直径，过点A作AE⊥l于点E，延长AB交直线l于点C．
（1）求证：AD平分∠CAE；
（2）如果BC＝1，DC＝3，求⊙O的半径．
11．如图，AB，CD为⊙O的直径，点E在上，连接AE，DE，点G在BD的延长线上，AB＝AG，∠EAD+∠EDB＝45°．
（1）求证：AG与⊙O相切；
（2）若，，求DE的长．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC上，以CE为直径的⊙O经过AB上的点D，与OB交于点F，且BD＝BC．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若AD，AE＝1，求的长．
13．如图，在圆内接四边形ABCD中，AD＜AC，∠ADC＜∠BAD，延长AD至点E，使AE＝AC，延长BA至点F，连结EF，使∠AFE＝∠ADC．
（1）若∠AFE＝60°，CD为直径，求∠ABD的度数．
（2）求证：①EF∥BC；
②EF＝BD．
14．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，连接AC，BC，CO平分∠ACD，CE⊥DB，交DB延长线于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，sinD，求BD的长．
15．如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CD⊥AB，垂足为E，直径BF交CD于点G，连接AF，AD．若AB＝AC＝5，．
（1）证明：四边形ADGF为平行四边形；
（2）求的值；
（3）求sin∠CAD的值．
16．如图，△ABC中．∠ACB＝90°，点O为AC边上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆与AB相切于点D，连接CD．
（1）求证：∠ABC＝2∠ACD；
（2）若AC＝8，BC＝6，求⊙O的半径．
17．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，过点C作AD的垂线，垂足为点E．
（1）求证：△ACE∽△ABC；
（2）求证：CE是⊙O的切线；
（3）若AD＝2CE，OA，求阴影部分的面积．
18．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，⊙O经过A、C两点，交AB于点D，CO的延长线交AB于点F，DE∥CF交BC于点E．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若AC＝4，tan∠CFD＝2，求⊙O的半径．
19．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，BC＝BD，延长BA至E，使得∠ADE＝∠CBA．
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）若BO＝4，，求ED的长．
20．如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD＝36°．
（1）求证：AE⊥DE；
（2）若AB＝2，求扇形BOD的面积．
21．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，点C是的中点，AE⊥CD，垂足为点D，DC的延长线交AB的延长线于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD，∠ABC＝60°，求线段AF的长．
22．如图，△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥BC，交AB的延长线于点E，垂足为点F．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝18，，求BE的长．
23．如图，AB是半圆O的直径，点D是弦AC延长线上一点，连接BD，BC，∠D＝∠ABC＝60°．
（1）求证：BD是半圆O的切线；
（2）当BC＝3时，求的长．
24．如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BD是边AC上的中线，过点C作AB的平行线交BD的延长线于点E，BE交⊙O于点F，连接AE，FC．
（1）求证：AE为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，BC＝6，求FC的长．
25．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是直径，C是的中点，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若BC＝6，AC＝8，求CE，DE的长．
26．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BD是⊙O的直径，AB＝AC，AE∥BC，E为BD的延长线与AE的交点．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若∠ABC＝75°，BC＝2，求的长．
圆（综合）
参考答案与试题解析
一．解答题（共26小题）
1．如图，直线l与⊙O相切于点A，AB是⊙O的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接BC，BD，分别与⊙O交于点E，F，连接EF，AF．
（1）求证：∠BAF＝∠CDB；
（2）若⊙O的半径r＝6，AD＝9，AC＝12，求EF的长．
【分析】（1）先根据切线的性质得到∠BAC＝∠BAD＝90°，再根据圆周角定理得到∠AFB＝90°，然后根据等角的余角相等得到∠BAF＝∠CDB；
（2）先利用勾股定理计算出BD＝15，BC＝12，再证明△BAF∽△BDA，利用相似比求出BF，接着证明△BEF∽△BDC，然后利用相似比求出EF的长．
【解答】（1）证明：∵直线l与⊙O相切于点A，AB是⊙O的直径，
∴AB⊥CD，
∴∠BAC＝∠BAD＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∵∠BAF+∠ABD＝90°，∠CDB+∠ABD＝90°，
∴∠BAF＝∠CDB；
（2）解：在Rt△ABD中，
∵AB＝2r＝12，AD＝9，
∴BD15，
在Rt△ABC中，
∵AB＝12，AC＝12，
∴BC12，
∵∠ABF＝∠DBA，∠AFB＝∠BAD，
∴△BAF∽△BDA，
∴BF：BA＝BA：BD，即BF：12＝12：15，
解得BF，
∵∠BEF＝∠BAF，∠BAF＝∠CDB，
∴∠BEF＝∠CDB，
∵∠EBF＝∠DBC，
∴△BEF∽△BDC，
∴EF：CD＝BF：BC，即EF：21：12，
解得EF，
即EF的长为．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
2．如图，△ACD内接于⊙O，直径AB交CD于点G，过点D作射线DF，使得∠ADF＝∠ACD，延长DC交过点B的切线于点E，连接BC．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若CDCG，BE＝3CE＝3．
①求DE的长；
②求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OD，证明∠ODF＝90°，即可得出DF是⊙O的切线；
（2）①连接BD，证明△BCE∽△DBE，得出DE的长；②通过勾股定理得出BG的长，再利用△ADG∽△CBG，得出AG的长，从而得出直径AB的长度，由此得出⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵∠ADF＝∠ACD，∠AOD＝2∠ACD，
∴2∠ADF＝∠AOD，
设∠ADF＝x，则∠AOD＝2x，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠ODF＝∠ODA+∠ADF＝90°﹣x+x＝90°，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：①连接BD，
∵BE＝3CE＝3，
∴CE＝1，
∵BE是切线，
∴∠ABE＝90°＝∠CBE+∠ABC，
∵∠ABC+∠BAC＝90°，∠BAC＝∠BDC，
∴∠CBE＝∠BDC，
∵∠E＝∠E，
∴△BCE∽△DBE，
∴，
∴，
∴DE＝9；
②∵DE＝9，
∵CD＝DE﹣CE＝8，
∵CDCG，
∴CG＝3，DG＝5，
∴GE＝CG+CE＝4，
在Rt△BGE中，BG，
∵∠BCG＝∠DAG，∠BGC＝∠DGA，
∴△ADG∽△CBG，
∴，
∴，
∴AG，
∴AB＝AG+BG，
∴⊙O的半径．
【点评】本题是圆的综合题，主要考查了圆的基本性质，切线的性质，圆周角定理，相似三角形的性质与判定等，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
3．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．⊙O的两条弦FB，FD相交于点F，∠DAE＝∠BFD．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠C＝30°，CD＝2，求扇形OBD的面积．
【分析】（1）连接OD，则∠ODB＝∠ABC，由∠DAE＝∠BFD，∠DAB＝∠BFD，得∠DAE＝∠DAB，由AB是⊙O的直径，得∠ADC＝∠ADB＝90°，则cos∠DAE＝cos∠DAB，所以AC＝AB，则∠C＝∠ABC，所以∠ODB＝∠C，则OD∥AC，所以∠ODE＝∠DEC＝90°，即可证明DE是⊙O的切线；
（2）由AC＝AB，AD⊥BC，得BD＝CD＝2，可求得∠BAD＝60°，则∠BOD＝2∠BAD＝120°，由sin60°，求得AB＝4，则OBAB＝2，即可根据扇形的面积公式求得S扇形OBD．
【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OB，
∴∠ODB＝∠ABC，
∵∠DAE＝∠BFD，∠DAB＝∠BFD，
∴∠DAE＝∠DAB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∴cos∠DAE＝cos∠DAB，
∴AC＝AB，
∴∠C＝∠ABC，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC于点E，
∴∠ODE＝∠DEC＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：∵AC＝AB，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝2，
∵∠ADB＝90°，∠ABD＝∠C＝30°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝60°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝120°，
∵sinBAD＝sin60°，
∴AB＝4，
∴OBAB＝2，
∴S扇形OBD，
∴扇形OBD的面积为．
【点评】此题重点考查圆周角定理、锐角三角函数与解直角三角形、等腰三角形的判定与性质、切线的判定定理、扇形的面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
4．如图，在⊙O中，AB是直径，AE是弦，点F是上一点，，AE，BF交于点C，点D为BF延长线上一点，且∠CAD＝∠CDA．
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若BE＝4，AD＝2，求⊙O的半径长．
【分析】（1）由，得∠ABF＝∠BAE，而∠CAD＝∠CDA，则∠OAD＝∠CAD+∠BAE＝90°，即可证明AD是⊙O的切线；
（2）连接AF，则AF＝BE＝4，因为AB是⊙O的直径，所以∠AFD＝∠AFB＝90°，求得DF2，由tanD＝2，得ADAB，所以OAAB＝AD＝2，则⊙O的半径长为2．
【解答】（1）证明：∵，
∴∠ABF＝∠BAE，
∵∠CAD+∠BAE+∠CDA+∠ABF＝180°，且∠CAD＝∠CDA，
∴∠CAD+∠BAE+∠CAD+∠BAE＝180°，
∴∠OAD＝∠CAD+∠BAE＝90°，
∵OA是⊙O的半径，且AD⊥OA，
∴AD是⊙O的切线．
（2）解：连接AF，
∵，BE＝4，AD＝2，
∴AF＝BE＝4，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFD＝∠AFB＝90°，
∴DF2，
∵∠BAD＝∠AFD＝90°，
∴tanD2，
∴ADAB，
∴OAAB＝AD＝2，
∴⊙O的半径长为2．
【点评】此题重点考查圆周角定理、三角形内角和定理、切线的判定定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
5．如图，△ABC中，AB＝4，D为AB中点，∠BAC＝∠BCD，cos∠ADC，⊙O是△ACD的外接圆．
（1）求BC的长；
（2）求⊙O的半径．
【分析】（1）先证明△BAC∽△BCD，得到，即可解答；
（2）过点A作AE⊥CD于点E，连接CO，并延长交⊙O于F，连接AF，在Rt△AED中，通过解直角三角形得到DE＝1，，由△BAC∽△BCD得到，设CD＝x，则，CE＝x﹣1，在Rt△ACE中，根据勾股定理构造方程，求得CD＝2，，由∠AFC＝∠ADC得到sin∠AFC＝sin∠ADC，根据正弦的定义即可求解．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝∠BCD，∠B＝∠B，
∴△BAC∽△BCD，
∴，
∵，D为AB中点，
∴，
∴BC2＝16，
∴BC＝4；
（2）过点A作AE⊥CD于点E，连接CO，并延长交⊙O于F，连接AF，
∵在Rt△AED中，，，
∴DE＝1，
∴，
∵△BAC∽△BCD，
∴，
设CD＝x，则ACx，CE＝x﹣1，
∵在Rt△ACE中，AC2＝CE2+AE2，
∴，即x2+2x﹣8＝0，
解得x＝2，x＝﹣4（舍去），
∴CD＝2，AC，
∵∠AFC与∠ADC都是所对的圆周角，
∴∠AFC＝∠ADC，
∵CF为⊙O的直径，
∴∠CAF＝90°，
∴，
∴，即⊙O的半径为．
【点评】本题考查相似三角形的判定及性质，解直角三角形，圆周角定理，掌握各种定理和判定方法是解题的关键．
6．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，点P是BA延长线上的一点，连接AC，∠PCA＝∠B．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若sin∠B，求证：AC＝AP；
（3）若CD⊥AB于D，PA＝4，BD＝6，求AD的长．
【分析】（1）如图，连接OC，根据AB是⊙O的直径，可知∠ACB＝90°，根据OB＝OC，可得∠B＝∠BCO，再根据∠PCA＝∠B，可知OC⊥PC，故PC是⊙O的切线；
（2）根据sin∠B，可知∠B＝30°，则∠PCA＝30°，根据∠ACB＝90°，则∠CAB＝60°，可得∠P＝30°，故∠PCA＝∠P，可证AC＝AP；
（3）设AD＝x，在Rt△ACB中，CD⊥AB，可得CD2＝AD×BD＝6x，易证△PAC∽△PCB，故PC2＝PA PB＝4（6+4+x）＝4（10+x），在Rt△PCD中，由勾股定理得PD2+CD2＝PC2，即（4+x）2+6x＝4（10+x），求解即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCO+∠OCA＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠BCO，
∵∠PCA＝∠B，
∴∠PCA＝∠BCO，
∴∠PCA+∠OCA＝90°，
∴OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线；
（2）证明：∵sin∠B，
∴∠B＝30°，
∴∠PCA＝∠B＝30°，
由（1）知∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝60°，
∴∠P＝∠CAB﹣∠PCA＝30°，
∴∠PCA＝∠P，
∴AC＝AP；
（3）设AD＝x，
在Rt△ACB中，CD⊥AB，
∴CD2＝AD×BD＝6x，
∵∠P＝∠P，∠PCA＝∠B，
∴△PAC∽△PCB，
∴，
∴PC2＝PA PB＝4（6+4+x）＝4（10+x），
在Rt△PCD中，由勾股定理得PD2+CD2＝PC2，
即（4+x）2+6x＝4（10+x），
整理得x2+10x﹣24＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣12（舍去），
故AD＝2．
【点评】本题考查切线的判定，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的性质与判定，三角函数等知识，熟练掌握这些数学知识进行分析是解题的关键．
7．如图，BE是⊙O的直径，点A在⊙O上，点C在BE的延长线上，∠EAC＝∠ABC，AD平分∠BAE交⊙O于点D，连结DE．
（1）求证：CA是⊙O的切线；
（2）当AC＝8，CE＝4时，求DE的长．
【分析】（1）连接OA，根据圆周角定理得到∠BAE＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠BAO，求得∠OAC＝90°，根据切线的判定定理得到结论；
（2）根据相似三角形的判定和性质定理得到BC＝16，求得BE＝BC﹣CE＝12，连接BD，根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠EAD，求得，得到BD＝DE，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OA，
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BAE＝90°，
∴∠BAO+∠OAE＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠ABC＝∠BAO，
∵∠EAC＝∠ABC，
∴∠CAE＝∠BAO，
∴∠CAE+∠OAE＝90°，
∴∠OAC＝90°，
∵OA是⊙O的半径，
∴CA是⊙O的切线；
（2）解：∵∠EAC＝∠ABC，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△EAC，
∴，
∴，
∴BC＝16，
∴BE＝BC﹣CE＝12，
连接BD，
∵AD平分∠BAE，
∴∠BAD＝∠EAD，
∴，
∴BD＝DE，
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BDE＝90°，
∴DE＝BDBE＝6．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
8．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，将△ABC沿直线AB翻折到△ABD，点D在⊙O上．连接CD，交AB于点E，延长BD，CA，两线相交于点P，过点A作⊙O的切线交BP于点G．
（1）求证：AG∥CD；
（2）求证：PA2＝PG PB；
（3）若sin∠APD，PG＝6．求tan∠AGB的值．
【分析】（1）根据折叠可得AB⊥CD，根据切线定义可得AG⊥AB，即可求证；
（2）根据题意证明△APG∽△BPA即可得证；
（3）根据题意设AD＝a，则AP＝3a，根据折叠的性质可得AC＝AD＝a，可求出PC，进而求得BD，根据∠AGB＝90°﹣∠GAD＝∠DAB，即可求解．
【解答】（1）证明：∵将△ABC沿直线AB翻折到△ABD，
∴AB⊥CD，
∵AB为⊙O的直径，AG是切线，
∴AG⊥AB，
∴AG∥CD；
（2）证明：∵AG是切线，
∴AG⊥AB，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝∠GAD，
∵由折叠可得∠ABD＝∠ABC，
∴∠CBD＝2∠ABD，
∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形，
∴∠PAD＝180°﹣∠CAD＝∠DBC＝2∠ABD，
∴∠PAG＝∠PAD﹣∠GAD＝2∠ABD﹣∠ABD＝∠ABD，
又∵∠APG＝∠BPA，
∴△APG∽△BPA，
∵，即PA2＝PG PB；
（3）解：∵sin∠，
设AD＝a，则AP＝3a，
∴，
∴，
∵由折叠可得AC＝AD＝a，
∴PC＝PA+AC＝3a+a＝4a，
∵在Rt△PCB中，，
∴BD＝CBPCa，
∵AD⊥BD，GA⊥AB，
∴∠AGB＝90°﹣∠GAD＝∠DAB，
∴．
【点评】本题考查了切线的性质，折叠问题，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，锐角三角函数，熟练掌握以上知识是解题的关键．
9．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D在BA的延长线上，∠DCA＝∠CBA．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）点G是半径OB上的点，过点G作OB的垂线与BC交于点F，与DC的延长线交于点E，若sinD，DA＝FG＝2，求CE的长．
【分析】（1）连接OC，由圆周角定理求∠ACB＝90°，再利用等角的余角相等求得∠OCD＝90°，据此即可证明DC是圆O的切线；
（2）利用三角函数的定义求得OC＝OA＝8，在Rt△OCD中，利用勾股定理求得CD＝6，再证明△DOC∽△DEG，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．
【解答】解：（1）证明：连接OC
∵OB＝OC
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠DCA＝∠OBC，
∴∠DCA＝∠OCB，
而AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠DCA+∠OCA＝∠OCA+∠OCB＝90°，
∴∠OCD＝90°，
∴DC是⊙O的切线，
（2）设OC＝OA＝r，
∵，
∴，
∴r＝8，
∴OC＝OA＝8，
在 Rt△OCD 中，，
∵∠DCA+∠ECF＝∠BFG+∠CBA＝90°，
∴∠ECF＝∠BFG，
又∵∠BFG＝∠EFC，
∴∠ECF＝∠EFC，
∴EC＝EF，设EC＝EF＝x，
∵∠D＝∠D，∠DCO＝∠DGE，
∴△DOC∽△DEG，
∴，则 ，
解得：x＝14，
经检验x＝14是所列方程的解，
∴CE＝14．
【点评】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，正确证明△DOC∽△DEG是解决本题的关键．
10．如图，直线l与⊙O相切于点D，AB为⊙O的直径，过点A作AE⊥l于点E，延长AB交直线l于点C．
（1）求证：AD平分∠CAE；
（2）如果BC＝1，DC＝3，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OD，如图，先根据切线的性质得到OD⊥CE，再证明OD∥AE得到∠ODA＝∠EAD，加上∠ODA＝∠OAD，所以∠OAD＝∠EAD，从而判断AD平分∠CAE；
（2）设⊙O的半径为r，则OB＝OD＝r，利用勾股定理得到r2+32＝（r+1）2，然后解方程即可．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵直线l与⊙O相切于点D，
∴OD⊥CE，
∵AE⊥CE，
∴OD∥AE，
∴∠ODA＝∠EAD，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠OAD＝∠EAD，
∴AD平分∠CAE；
（2）解：设⊙O的半径为r，则OB＝OD＝r，
在Rt△OCD中，∵OD＝r，CD＝3，OC＝r+1，
∴r2+32＝（r+1）2，
解得r＝4，
即⊙O的半径为4．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理．
11．如图，AB，CD为⊙O的直径，点E在上，连接AE，DE，点G在BD的延长线上，AB＝AG，∠EAD+∠EDB＝45°．
（1）求证：AG与⊙O相切；
（2）若，，求DE的长．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠EDB＝∠EAB，求得∠BAD＝45°，根据等腰三角形的性质得到∠B＝45°，求得∠B＝∠G＝45°，根据切线的判定定理得到结论；
（2）如图，连接CE，根据圆周角定理得到∠DAE＝∠DCE，∠DEC＝90°，解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵∠EDB，∠EAB所对的弧是同弧，
∴∠EDB＝∠EAB，
∵∠EAD+∠EDB＝45°，
∴∠EAD+∠EAB＝45°，
即∠BAD＝45°，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠B＝45°，
∵AB＝AG，
∴∠B＝∠G＝45°，
∴∠GAB＝90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴AG与⊙O相切；
（2）解：如图，连接CE，
∵∠DAE，∠DCE所对的弧是同弧，
∴∠DAE＝∠DCE，
∵DC为直径，
∴∠DEC＝90°，
在Rt△DEC中，sin∠DCE＝sin ，
∵，∠B＝45°，∠BAG＝90°，
∴，
∴．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，熟练掌握切线的判定和性质定理是解题的关键．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC上，以CE为直径的⊙O经过AB上的点D，与OB交于点F，且BD＝BC．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若AD，AE＝1，求的长．
【分析】（1）连接OD，证明△OBD≌△OBC，得到∠ODB＝∠OCD＝90°，根据切线的判定定理即可证得结论；
（2）Rt△OAD中，解直角三角形求得OD＝1，∠AOD＝60°，进而求得∠BOC＝60°，根据弧长公式即可求得答案．
【解答】（1）证明：连接OD，
在△OBD和△OBC中，
，
∴△OBD≌△OBC（SSS），
∴∠ODB＝∠OCD＝90°，
∴OD⊥AB，
∵OD是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为R，
在Rt△OAD中，AD，AE＝1，AO＝AE+OE＝1+R，OD＝R，AD2+OD2＝AO2，
∴（）2+R2＝（1+R）2，
解得R＝1，
∴OD＝1，
∴tan∠AOD，
∴∠AOD＝60°，
∴∠COD＝120°，
由（1）知△OBD≌△OBC，
∴∠BOD＝∠BOC∠COD＝60°，
∴的长．
【点评】本题主要考查了切线的判定，解直角三角形，全等三角形的性质和判定，弧长公式，综合运用相关知识是解决问题的关键．
13．如图，在圆内接四边形ABCD中，AD＜AC，∠ADC＜∠BAD，延长AD至点E，使AE＝AC，延长BA至点F，连结EF，使∠AFE＝∠ADC．
（1）若∠AFE＝60°，CD为直径，求∠ABD的度数．
（2）求证：①EF∥BC；
②EF＝BD．
【分析】（1）根据圆周角定理进行计算即可；
（2）①利用圆内接四边形的外角等于它的内对角以及平行线的判定方法即可得出结论；
②根据全等三角形的性质，圆周角定理进行解答即可．
【解答】（1）解：∵CD为直径，
∴∠CAD＝90°，
∵∠AFE＝∠ADC＝60°，
∴∠ACD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ABD＝∠ACD＝30°；
（2）证明：①如图，延长AB，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠CBM＝∠ADC，
又∵∠AFE＝∠ADC，
∴∠AFE＝∠CBM，
∴EF∥BC；
②过点D作DG∥BC交⊙O于点G，连接AG，CG，
∵DG∥BC，
∴，
∴BD＝CG，
∵四边形ACGD是圆内接四边形，
∴∠GDE＝∠ACG，
∵EF∥DG，
∴∠DEF＝∠GDE，
∴∠DEF＝∠ACG，
∵∠AFE＝∠ADC，∠ADC＝∠AGC，
∴∠AFE＝∠AGC，
∵AE＝AC，
∴△AEF≌△ACG（AAS），
∴EF＝CG，
∴EF＝BD．
【点评】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，掌握圆周角定理，圆内接四边形的性质以及平行四边形的性质是正确解答的关键．
14．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，连接AC，BC，CO平分∠ACD，CE⊥DB，交DB延长线于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，sinD，求BD的长．
【分析】（1）由OC＝OA，得∠OCA＝∠A，而∠OCA＝∠OCD，∠A＝∠D，则∠OCD＝∠D，所以OC∥DE，则∠OCE＝180°﹣∠E＝90°，即可证明CE是⊙O的切线；
（2）由⊙O的半径为5，AB是⊙O的直径，得AB＝10，∠ACB＝90°，由sinA＝sinD，求得BCAB＝6，再证明∠BCE＝∠A，则sin∠BCE＝sinA，求得BEBC，则CE，而AC8，所以tanD＝tanA，求得DECE，则BD＝DE﹣BE．
【解答】（1）证明：∵OC＝OA，
∴∠OCA＝∠A，
∵CO平分∠ACD，
∴∠OCA＝∠OCD，
∵∠A＝∠D，
∴∠OCD＝∠D，
∴OC∥DE，
∵CE⊥DB，交DB延长线于点E，
∴∠E＝90°，
∴∠OCE＝180°﹣∠E＝90°，
∵OC是⊙O的半径，且CE⊥OC，
∴CE是⊙O的切线．
（2）解：∵⊙O的半径为5，AB是⊙O的直径，
∴AB＝2×5＝10，∠ACB＝90°，
∵∠A＝∠D，
∴sinA＝sinD，
∴BCAB10＝6，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵∠BCE+∠OCB＝∠OCE＝90°，∠A+∠OBC＝90°，
∴∠BCE＝∠A，
∴sin∠BCE＝sinA，
∴BEBC6，
∴CE，
∵AC8，
∴tanD＝tanA，
∴DECE，
∴BD＝DE﹣BE，
∴BD的长为．
【点评】此题重点考查圆周角定理、切线的判定定理、角平分线的定义、解直角三角形等知识，推导出OC∥DE是解题的关键．
15．如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CD⊥AB，垂足为E，直径BF交CD于点G，连接AF，AD．若AB＝AC＝5，．
（1）证明：四边形ADGF为平行四边形；
（2）求的值；
（3）求sin∠CAD的值．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠BAF＝90°，根据平行线的判定定理得到CD∥AF，推出∠ADC＝∠BGD，得到AD∥GF，根据平行四边形的判定定理得到结论；
（2）设BE＝x，得到AE＝AB﹣BE＝5﹣x，根据勾股定理得到BE＝2，AE＝3，得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；
（3）过点D作DH⊥AC于H，根据勾股定理得到CE4，根据相似三角形的性质得到，求得AD，DE，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵BF是⊙O的直径，
∴∠BAF＝90°，
∴AF⊥AB，
∵CD⊥AB，
∴CD∥AF，
∴DG∥AF，
∴∠AFB＝∠BGD，
∵，
∴∠ADC＝∠ABC，
∵，
∴∠ACB＝∠AFB，
∴∠ADC＝∠BGD，
∴AD∥GF，
∴四边形ADGF为平行四边形；
（2）解：设BE＝x，
∵AB＝AC＝5，
∴AE＝AB﹣BE＝5﹣x，
∵AB⊥CD，
∴∠BEC＝∠AEC＝90°，
∴BC2﹣BE2＝AC2﹣AE2＝CE2，
∵BC＝2，
∴（2）2﹣x2＝52﹣（5﹣x）2，
解得x＝2，
∴BE＝2，AE＝3，
∴，
由（1）知，∠ADC＝∠BGD，
∵∠AED＝∠BEG，
∴△ADE∽△BGE，
∴，
∴；
（3）解：过点D作DH⊥AC于H，
在Rt△BCE中，CE4，
∵，
∴∠BAD＝∠BCD，
∵∠AED＝∠CEB，
∴△AED∽△CEB，
∴，
∴，
∴AD，DE，
∴CD＝CE+DE＝4，
∵S△ACDAC DH，
∴3＝5DH，
∴DH，
在Rt△ADH中，sin，
∴sin∠CAD．
【点评】本题是圆的综合题，考查了三角形外接圆和外心，平行四边形的判定，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，正地的作出辅助线是解题的关键．
16．如图，△ABC中．∠ACB＝90°，点O为AC边上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆与AB相切于点D，连接CD．
（1）求证：∠ABC＝2∠ACD；
（2）若AC＝8，BC＝6，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OD，如图，先根据切线的性质得到∠ODA＝∠ODB＝90°，再根据四边形的内角和与等角的补角相等得到∠ABC＝∠AOD，接着根据圆周角定理得到∠AOD＝2∠ACD，从而得到结论；
（2）设⊙O的半径为r，则OD＝OC＝r，OA＝8﹣r，先利用勾股定理计算出AB＝10，再证明△AOD∽△ABC，则利用相似比得到，然后解方程即可．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵AB为⊙O的切线，
∴OD⊥AB，
∴∠ODA＝∠ODB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠COD＝180°，
∵∠AOD+∠COD＝180°，
∴∠ABC＝∠AOD，
∵∠AOD＝2∠ACD，
∴∠ABC＝2∠ACD；
（2）解：设⊙O的半径为r，则OD＝OC＝r，OA＝8﹣r，
在Rt△ACB中，
∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB10，
∵∠OAD＝∠BAC，∠ADO＝∠ACB，
∴△AOD∽△ABC，
∴，即，
解得r＝3，
即⊙O的半径为3．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
17．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，过点C作AD的垂线，垂足为点E．
（1）求证：△ACE∽△ABC；
（2）求证：CE是⊙O的切线；
（3）若AD＝2CE，OA，求阴影部分的面积．
【分析】（1）利用圆周角定理，垂直的定义和相似三角形的判定定理解答即可；
（2）连接OC，利用角平分线的定义，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质和圆的切线的判定定理解答即可；
（3）连接OD，过点O作OF⊥AD于点F，利用垂径定理，矩形的判定与性质得到OF＝AF，则△AFO为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质求得AF＝FO＝1，再利用阴影部分的面积＝S扇形OAD﹣S△OAD解答即可．
【解答】（1）证明：∵C是的中点，
∴，
∴∠EAC＝∠BAC．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．
∵CE⊥AE，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠ACB，
∴△ACE∽△ABC；
（2）证明：连接OC，如图，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
由（1）知：∠EAC＝∠BAC，
∴∠EAC＝∠OCA，
∴OC∥AE，
∵CE⊥AE，
∴OC⊥CE．
∵OC为⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（3）解：连接OD，过点O作OF⊥AD于点F，如图，
则AF＝FDAD，
∵AD＝2CE，
∴AF＝CE．
∵OF⊥AD，CE⊥AE，OC⊥CE，
∴四边形EFOC为矩形，
∴OF＝CE，
∴OF＝AF，
则△AFO为等腰直角三角形，
∴∠FAO＝45°，AF＝FOOA＝1．
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠FAO＝45°，
∴∠AOD＝90°．
∴OA OD1，
，
∴阴影部分的面积＝S扇形OAD﹣S△OAD1．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，圆的切线的判定定理，圆的有关计算，等腰直角三角形的判定与性质，垂径定理，连接经过切点的半径，作出弦的弦心距是解决此类问题常添加的辅助线．
18．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，⊙O经过A、C两点，交AB于点D，CO的延长线交AB于点F，DE∥CF交BC于点E．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若AC＝4，tan∠CFD＝2，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OD，根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB＝45°，根据圆周角定理得到∠COD＝2∠CAB＝90°，根据平行线的性质得到∠EDO＝90°根据切线的判定定理得到DE为⊙O的切线；
（2）过点C作CH⊥AB于点H，根据等腰直角三角形的性质得到CH＝AH2，根据三角函数的定义得到FH，根据勾股定理得到，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∴∠CAB＝45°，
∴∠COD＝2∠CAB＝90°，
∵DE∥CF，
∴∠COD+∠EDO＝180°，
∴∠EDO＝90°
∴DE为⊙O的切线；
（2）解：过点C作CH⊥AB于点H，
∵△ACB为等腰直角三角形，AC＝4，
∴CH＝AH2，
∵tan∠CFD2，
∴FH，
在Rt△CFH中，由勾股定理得CF2＝CH2+FH2，
∴，
∵tan∠CFD2，
∴OD．
故⊙O的半径为．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，平行线的性质，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
19．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，BC＝BD，延长BA至E，使得∠ADE＝∠CBA．
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）若BO＝4，，求ED的长．
【分析】（1）连接OD，则OD＝OB，进而得∠DBA＝∠BDO证明Rt△BCD和Rt△BDA全等得∠CBA＝∠DBA，根据∠ADE＝∠CBA，得∠ADE＝∠DBA＝∠BDO，再根据∠BDO+∠ADO＝∠BDA＝90°得∠ADE+∠ADO＝90°，即ED⊥OD，据此可得出结论；
（2）根据BO＝4得AB＝2OB＝8，则EB＝AE+8，根据∠CBA＝∠DBA得tan∠DBA，则tan∠DBA＝AD/BD，设AD＝a，BD＝2a，证明△EAD∽△EDB得ED：EB＝AE：ED＝AD：BD，即ED：（AE+8）＝AE：ED＝a：2a，由AE：ED＝a：2a，得AEED，由ED：（AE+8）＝a：2a，得2ED＝AE+8，则2EDED+8，据此可得ED的长．
【解答】（1）证明：连接OD，如图所示：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BCA＝∠BDA＝90°，OB＝OD，
∴∠DBA＝∠BDO，
在Rt△BCA和Rt△BDA中，
，
∴Rt△BCA≌Rt△BDA（HL），
∴∠CBA＝∠DBA，
∵∠ADE＝∠CBA，∠DBA＝∠BDO，
∴∠ADE＝∠DBA＝∠BDO，
∵∠BDO+∠ADO＝∠BDA＝90°，
∴∠ADE+∠ADO＝90°，
即ED⊥OD，
∵OD为⊙O的半径，
∴ED是⊙O的切线；
（2）解：∵BO＝4，
∴AB＝2OB＝8，
∴EB＝AE+AB＝AE+8，
∵tan∠CBA，∠CBA＝∠DBA，
∴tan∠DBA，
在Rt△ABD中，tan∠DBA，
∴设AD＝a，BD＝2a，
∵∠ADE＝∠DBA，∠E＝∠E，
∴△EAD∽△EDB，
∴ED：EB＝AE：ED＝AD：BD，
即ED：（AE+8）＝AE：ED＝a：2a，
由AE：ED＝a：2a，得：AEED，
由ED：（AE+8）＝a：2a，得：2ED＝AE+8，
∴2EDED+8，
∵ED．
【点评】此题主要切线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的性质，锐角三角函数进行计算是解决问题的关键．
20．如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD＝36°．
（1）求证：AE⊥DE；
（2）若AB＝2，求扇形BOD的面积．
【分析】（1）由弦AD平分∠BAC，得∠CAD＝∠BAD，由OD＝OA，得∠ODA＝∠BAD，则∠CAD＝∠ODA，所以AC∥OD，由切线的性质得DE⊥OD，则∠CED＝∠ODE＝90°，所以AE⊥DE；
（2）由AB＝2，求得OBAB＝1，由∠EAD＝36°，求得∠BAC＝2∠EAD＝72°，则∠BAC＝∠BOD＝72°，根据扇形的面积公式求得S扇形BOD．
【解答】（1）证明：∵弦AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠BAD，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴AC∥OD，
∵DE与⊙O相切于点D，
∴DE⊥OD，
∴∠CED＝∠ODE＝90°，
∴AE⊥DE．
（2）解：∵AB是⊙O的直径，且AB＝2，
∴OBAB＝1，
∵AD平分∠BAC，点E在AC上，且∠EAD＝36°，
∴∠BAC＝2∠EAD＝72°，
∵AC∥OD，
∴∠BAC＝∠BOD＝72°，
∴S扇形BOD，
∴扇形BOD的面积是．
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、切线的性质、平行线的判定与性质、扇形的面积公式等知识，推导出AC∥OD是解题的关键．
21．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，点C是的中点，AE⊥CD，垂足为点D，DC的延长线交AB的延长线于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD，∠ABC＝60°，求线段AF的长．
【分析】（1）连接OC，由点C是的中点，得到，根据圆周角定理得到∠BAC＝∠CAE，求得∠OCA＝∠CAD，根据平行线的性质得到OC⊥DF，根据切线的判定定理得到结论；
（2）根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，求得∠BAC＝30°，得到AD3，根据直角三角形的性质得到结论．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵点C是的中点，
∴，
∴∠BAC＝∠CAE，
∵OC＝OA，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠OCA＝∠CAD，
∴OC∥AD，
∵AE⊥CD，
∴OC⊥DF，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠CAD＝∠BAC＝30°，
∵∠D＝90°，CD，
∴AD3，
∵∠F＝180°﹣∠D﹣∠BAD＝30°，
∴AF＝2AD＝6．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理正确地作出辅助线是解题的关键．
22．如图，△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥BC，交AB的延长线于点E，垂足为点F．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝18，，求BE的长．
【分析】（1）DE为⊙O的切线，理由为：连接BD，OD，由直径所对的圆周角为直角及垂直定义得到BD⊥AC，再由AB＝CB，利用三线合一得到D为AC中点，根据O为AB中点，得到OD为中位线，利用中位线的性质得到OD∥BC，由DE与BC垂直得到DE与OD垂直，即可得证；
（2）由OD＝OB，利用等边对等角得到一对角相等，再利用等角的余角相等得到∠BDE＝∠A，即sin∠BDE＝sinA，在Rt△ABD中，利用三角函数定义求出BD的长，在Rt△BDF中，利用锐角三角函数定义求出BF的长，由BF与OD平行，得到△BEF∽△OED，由相似得比例求出BE的长即可．
【解答】解：（1）DE为⊙O的切线，理由为：
证明：连接OD，BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD⊥AC，
∵AB＝CB，
∴点D为AC的中点，
∵点O为AB的中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥BC，
∴∠ODE＝∠DFC，
∵DE⊥BC，
∴∠DFC＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴DE⊥OD，
∵OD为⊙O的半径，D为OD的外端点，
∴DE为⊙O的切线；
（2）∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵∠A+∠OBD＝90°，∠BDE+∠ODB＝90°，
∴∠A＝∠BDE，即sinA＝sin∠BDE，
在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，sinA，AB＝18，
∴BD＝ABsinA＝186，
在Rt△BDF中，sin∠BDE，BD＝6，
∴BF＝BDsin∠BDE＝62，
∵BF∥OD，
∴∠FBE＝∠DOE，∠EFB＝∠EDO，
∴△BEF∽△OED，
∴，即，
∴，
解得：BE．
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，等腰三角形的性质，圆周角定理，以及解直角三角形，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
23．如图，AB是半圆O的直径，点D是弦AC延长线上一点，连接BD，BC，∠D＝∠ABC＝60°．
（1）求证：BD是半圆O的切线；
（2）当BC＝3时，求的长．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，得到∠D+∠A＝90°，求得∠ABD＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）连接OC，根据圆周角定理得到∠AOC＝2∠ABC＝120°，根据等边三角形的性质得到OC＝BC＝3，根据弧长公式即可得到的长2π．
【解答】（1）证明：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∵∠D＝∠ABC，
∴∠D+∠A＝90°，
∴∠ABD＝90°，
∵AB是半圆O的直径，
∴BD是半圆O的切线；
（2）解：连接OC，
∵∠ABC＝60°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝120°，
∵OC＝OB，
∴△BOC是等边三角形，
∴OC＝BC＝3，
∴的长2π．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，弧长的计算，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
24．如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BD是边AC上的中线，过点C作AB的平行线交BD的延长线于点E，BE交⊙O于点F，连接AE，FC．
（1）求证：AE为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，BC＝6，求FC的长．
【分析】（1）证明△ABD≌△CED（AAS），得出AB＝CE，则四边形ABCE是平行四边形，AE∥BC，作AH⊥BC于H．得出AH为BC的垂直平分线，则OA⊥AE，又点A在⊙O上，即可得证；
（2）过点D作DM⊥BC于M，连接OB，垂径定理得出BH＝HCBC＝3，勾股定理得OH＝4，进而可得AH，勾股定理求得AB，证明DM∥AH，可得△CMD∽△CHA，根据相似三角形的性质得出MH，DM，然后求得BM，勾股定理求得BD，证明△FCD∽△ABD，根据相似三角形的性质即可求解．
【解答】（1）证明，∵AB∥CE，
∴∠ABD＝∠CED，∠BAD＝∠ECD，
又∵AD＝CD，
∴△ABD≌△CED（AAS），
∴AB＝CE．
∴四边形ABCE是平行四边形．
∴AE∥BC．
作AH⊥BC于H．
∵AB＝AC，
∴AH为BC的垂直平分线．
∴点O在AH上．
∴AH⊥AE．
即OA⊥AE，又点A在⊙O上，
∴AE为⊙O的切线；
（2）解：过点D作DM⊥BC于M，连接OB，
∵AH为BC的垂直平分线，
∴BH＝HCBC＝3，
∴OH4，
∴AH＝OA+OH＝5+4＝9，
∴AB＝AC，
∴CDAC，
∵AH⊥BC，DM⊥BC，
∴DM∥AH
∴△CMD∽△CHA，
又AD＝CD，
∴，
∴MHHC，DMAH，
∴BM＝BH+MH＝3，
∴BD，
∵∠CFD＝∠BAD，∠FDC＝∠ADB，
∴△FCD∽△ABD，
∴，
∴，
∴FC＝5．
【点评】本题考查了切线的判定，垂径定理，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
25．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是直径，C是的中点，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若BC＝6，AC＝8，求CE，DE的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及圆心角、弦、弧之间的关系可得∠CAE＝∠OCA，进而得到OC∥AE，再根据平行线的性质得出OC⊥EC即可；
（2）利用相似三角形的性质，勾股定理以及圆心角、弧、弦之间的关系进行计算即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵点C是的中点，
∴∠OAC＝∠CAE，
∴∠CAE＝∠OCA，
∴OC∥AE，
∵AE⊥CE，
∴OC⊥CE，
∵OC是半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∵BC＝6，AC＝8，
∴AB10，
又∵∠BAC＝∠CAE，∠AEC＝∠ACB＝90°，
∴△AEC∽△ACB，
∴，
即，
∴，
∵点C是的中点，即，
∴CD＝BC＝6，
∴，
答：DE，EC．
【点评】本题考查切线的判定与性质，圆周角定理，勾股定理以及圆心角、弦、弧之间的关系，掌握切线的判定方法，圆周角定理，勾股定理以及圆心角、弦、弧之间的关系是正确解答的前提．
26．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BD是⊙O的直径，AB＝AC，AE∥BC，E为BD的延长线与AE的交点．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若∠ABC＝75°，BC＝2，求的长．
【分析】（1）连接并延长AO交BC于点F，连接OC，则∠OAB，∠OAC，由AB＝AC得∠ACB＝∠ABC，则∠AOB＝∠AOC，即可证明∠OAB＝∠OAC，所以AF⊥BC，由AE∥BC，得∠OAE＝∠AFB＝90°，即可证明AE是⊙O的切线；
（2）由∠ACB＝∠ABC＝75°，得∠BAC＝30°，则∠BOC＝2∠BAC＝60°，所以△BOC是等边三角形，∠COD＝180°﹣∠BOC＝120°，则OC＝BC＝2，即可根据弧长公式求得的长是．
【解答】（1）证明：连接并延长AO交BC于点F，连接OC，则OA＝OB＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∵∠AOB＝2∠ACB，∠AOC＝2∠ABC，
∴∠AOB＝∠AOC，
∴，
∴∠OAB＝∠OAC，
∴AF⊥BC，
∵AE∥BC，
∴∠OAE＝∠AFB＝90°，
∴OA是⊙O的半径，且AE⊥OA，
∴AE是⊙O的切线．
（2）解：∵∠ACB＝∠ABC＝75°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝30°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝2×30°＝60°，
∴△BOC是等边三角形，∠COD＝180°﹣∠BOC＝120°，
∴OC＝BC＝2，
∴，
∴的长是．
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、圆周角定理、平行线的性质、切线的判定定理、等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理、弧长公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
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