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广元市直属普通高中备课联盟2025年春季学期教学质量联合检测高一年级数学学科试卷(参考答案)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D B C A A C D A ACD BCD ABD
13. 14.
15.【解析】（1）
（2）
16.【解析】(1)在中，∵，
∴由正弦定理得，∴
∴
又，∴，即
即，即.
∵，∴，
∴，∴.
(2)由（1）知.∵是角的角平分线，且∴，
即，∴.
在中，由余弦定理可知
.
由正弦定理
可知，，
∴.
【解析】
(1)
令，
解得，，
所以函数的增区间为，；
(2)由（1）知，，
时，，
由于在上单调递增，
故当时，取得最大值，最大值为；
(3)由（2）知，当时，取得最小值，最小值为，故，
，
①当时，，
②当时，令，
将看作关于一次函数，其中，则需满足，解得且，综上，的范围为.
18.【解析】(1)证明：如图，延长交于点F，则面，且面，
连接，则面，且面，即是面和面的交线，取中点，因为，且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，所以为的中点，又点为棱的中点，
所以，因为平面，在平面外，所以平面，即平面；
因为，为的中点，所以B为的中点，连接，则，取中点，连接，则即，所以，所以四点共面，则四边形即为所求截面，
因为，，
所以
又
所以，
所以在四棱锥中，求过点，及棱的中点的截面周长为.
19.【解析】(1)设，则，
由材料可知，，
即，解得，
当且仅当四点共圆时等号成立即,且此时,
所以线段长度的最大值为，
(2)由材料可知，当四点共圆时，四边形的面积达到最大．
连接，分别在和利用余弦定理，
可得，
解得，，
所以
记，
则上式，
于是四边形的面积为：
.广元市直属普通高中备课联盟2025年春季学期教学质量联合检测高一年级数学学科
（时间：120分钟，满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的4个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 在复平面内，对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知向量，若，则（ ）
A. B. C. 0 D. 1
3. 已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，，则 D. 若，，，，则
4．在复平面内，复数对应的向量，则（ ）
A． B． C． D．
5．若，则（ ）
A． B． C． D．
6.函数的图象如图所示，为了得到函数的图象，可以把函数的图象（ ）
A．每个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位
B．每个点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位
先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）
7. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，若为锐角三角形，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，已知四棱柱的体积为V，四边形ABCD为平行四边形，点E在上且，则三棱锥与三棱锥的公共部分的体积为（ ）
B.
C. D.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9.下列四个选项中，化简正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（ ）
A．圆锥的侧面积为
B．三棱锥体积的最大值为
C．圆锥外接球体积为
D．若，为线段上的动点，则的最小值为
11. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知D，E分别在边上，且的重心在上，又，设，（为相应三角形的面积），则以下正确的是（ ）
A. B. 的最小值为
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.如图，是水平放置的的直观图，若，轴，轴，则的周长为 ．
13. 平面向量满足，，则的夹角为 ．
14. 四边形中，与交于点P，已知，且P是的中点，，又，则四边形的面积是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 计算下列各式
（1）
（2）
16. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，.
（1）求；
（2）若的角平分线长为，且，求的值.
17. 已知函数，
（1）求出函数的单调增区间；
（2）当时，求函数的最大值；
（3）若当时，恒成立，求实数的取值范围.
18. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点为棱的中点.
（1）在图中作出面和面的交线，并证明：平面；
（2）若，，在四棱锥中，求过点，及棱的中点的截面周长.
19. 古希腊数学家托勒密对凸四边形凸四边形是指没有角度大于的四边形进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立．且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大．根据上述材料，解决以下问题：
如图，在凸四边形中，
（1）若，，(图1)，求线段长度的最大值；
（2）若，，，（图2），求四边形面积取得最大值时角A的余弦值，并求出四边形面积的最大值．

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