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创新高级中学2025年上学期创高杯考试高二
数 学 试 题
时量：120分钟 总分：150分
第Ⅰ卷
单选题：每小题5分，共40分
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．设，则（ ）
A． B． C． D．
3．下列命题正确的是（ ）
A．单位向量均相等 B．任一向量与它的相反向量不相等
C．模为零的向量与任一向量平行 D．模相等的两个共线向量是相同的向量
4．角的终边过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．“”是“不等式在上恒成立”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．关于函数，下列说法不正确的是（ ）
A．周期为 B．在上不单调
C．是它的一条对称轴 D．有一个对称中心
7.已知实数，且满足，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．定义的实数根叫函数的“躺平点”．若函数，
，的“躺平点”分别为，则大小为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：每小题5分，共20分
9．已知一组样本数据，则（ ）
A．该样本数据的平均数为1 B．该样本数据的众数与中位数相同
C．该样本数据的方差大于极差 D．该样本数据的标准差小于众数
10．已知椭圆，则（ ）
A．C的长轴长为8 B．C的焦点坐标为
C．C的离心率为 D．C上的点到焦点的最大距离为4+
11．如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底
面内一动点，则下列结论正确的为（ ）
A．存在点，使得平面
B．过三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形
C．三棱锥的体积为定值
D．三棱锥的外接球表面积为
12．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，有极大值 B．当时，
C．，恒成立 D．当有且仅有两个零点时，
第Ⅱ卷
三、填空题：每小题5分，共20分
13．已知数列满足，则 .
14．已知是分别经过的两条平行直线，当与之间的距离最大时，直线的方
程是 .
15．某公园设置了一些石凳供大家休息，每张石凳是由正方体石料截
去八个一样的四面体得到的，如图所示．如果一张石凳的体积是
，那么原正方体石料的体积是 ．
16．设A，是两个随机事件，且则 .
解答题：6个小题，共70分
17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求的值；
(2)已知，求的面积.
18．已知数列满足，（），记．
(1)求数列的通项；
(2)设，求数列的前n项和为.
19．如图，已知四边形为等腰梯形，为以为直径的半圆弧上一点，平面
平面，为的中点，为的中点，，.
(1)求证平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
20．近年来，购买盲盒成为当下年轻人的潮流之一.2025年初，中国动画电影《哪吒2》火爆上映，引发观影热潮.随后，某手办店乘势推出一系列单价相同、款式各异的手办盲盒，其中开出哪吒手办的概率是，开出敖丙手办的概率是.
(1)若张三到该店购买3个盲盒，设其开出哪吒手办的个数为，求的分布列和期望；
(2)若该店开展活动，当顾客在购买手办盲盒过程中，连续开出2个哪吒手办时，可获赠1个齐天大圣手办.已知手办盲盒单价为9元，那么平均花多少钱能获得1个齐天大圣手办
21．双曲线的离心率为2，右顶点到一条渐近线的距离为．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于两点，且为坐标原点，求证：点到直线的距离为定值．
22．已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在R上单调递增，求实数的值；
(3)已知数列满足，，证明：．
创新高级中学2025年上学期创高杯考试高二
数学参考答案
选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B D C B A D C C ABD ACD ACD ABD
二、填空题
13、 0或9 14、x+2y-3=0 15、0.216 16、
三、解答题
17、（1），，，
，即，
，，.————（4分）
（2）由正弦定理得，即，，又，所以，
所以，所以
.————（10分）
18、（1），，又，
所以，
又， ，数列中任意一项不为0，，
数列是首项为2， 公比为2的等比数列，
. 则.————（5分）
（2）由第（1）问知， ，则，设数列的前项和为，
所以①，②，
所以①-②可得：，
所以. ————（12分）
19.（1）取的中点，连接，则且，
又且，所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面；————（5分）
（2）取的中点，连接，因为四边形为等腰梯形，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，过点作直线的垂线交于点，
以为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、
轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为为直径，所以，所以，，，
在等腰梯形中，，，所以，
所以，
所以，，，，
设平面的法向量为，则，所以，
令，则，，所以，
设平面的法向量为，则，所以，
令，则，，所以，
设平面与平面的夹角为，则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为. ————（12分）
20、（1）可取0，1，2，3，由题可知.则，，
0 1 2 3
P
分布列：
；————（6分）
（2）设通过活动购买第X个盲盒时，恰好连续开出2个哪吒手办，设其期望为E，
则.解得.
平均需花费元. ————（12分）
21.（1）由题意，得双曲线的渐近线方程为，右顶点为．又，
且，所以，故．
又，解得，所以双曲线的方程为．————（5分）
（2）设，当直线和轴线平行时，，
解得，所以点到直线的距离为．
当直线和轴线不平行时，设直线的方程为，
由得
所以．又，
所以
解得．
又点到直线的距离为，则，
故，即点到直线的距离为．
综上所述，点到直线的距离为定值．————（12分）
22.（1）当时，，，
所以，，
所以曲线在点处的切线方程：；
即；————（3分）
（2）在上单调递增，等价于恒成立，
令，易知，则为的最小值即极小值。
所以，则；
又时；,,
所以在上递减，在上递增，
则，符合题意. 所以.————（7分）
（3）由（2）知，当时，在上单调递增，
又，所以当时，，
由，又，易知可得：，
所以，即
累加求和可得：，
即，即，又，
所以，又，
所以.————（12分）

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