资源简介

6．2.1　排　　列
1. 通过实例，理解排列的概念．
2. 能借助树形图写出所有排列．
活动一 背景引入
问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有几种不同的选法？
思考1
如果把上面问题中被取出的对象叫做元素，则问题1可叙述为什么？
问题2：从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？
思考2
如果把上面问题中被取出的对象叫做元素，则问题2可叙述为什么？
思考3
上述问题1，2的共同特点是什么？
活动二　排列的概念　
排列的定义：
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
思考4
(1) 排列的定义包括哪两个方面？
(2) 什么是相同的排列？什么是不同的排列？
例1　下列问题：①10本不同的书分给10名同学，每人一本；②10位同学互通一次电话，通话的总次数；③10位同学互通一封信，信的总封数；④10个没有任何三点共线的点构成的线段．其中，属于排列的有(　　)
A. 1个　　　　　B. 2个
C. 3个　　　　　D. 4个
活动三　排列的应用　
例2　某省中学生足球赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组共进行多少场比赛？
例
3
　(1) 一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法？
(2) 学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法？
例4　写出下列问题的所有排列：
(1) 北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？
(2) A，B，C，D四名同学排成一排照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，共有多少种不同的排列方法？
“树状图”在解决个数不多的排列问题时，是一种比较有效的表示方式．在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准，进行分类，在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二位元素，再按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按“树状图”写出排列．
　　
从0，1，2，3这四个数字中，每次取出三个不同的数字排成一个三位数．
(1) 能组成多少个不同的三位数？并写出这些三位数；
(2) 若组成的这些三位数中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在个位，则这样的三位数共有多少个？并写出这些三位数．
1. 从6名同学中选出正、副组长各1名，不同的选法有(　　)
A. 11种 B. 15种 C. 30种 D. 36种
2. 从3个不同的数字中取出2个：①相加；②相减；③相乘；④相除；⑤一个为被开方数，一个为根指数，则上述问题为排列问题的个数为(　　)
A. 2　　 B. 3　　　 C. 4　　 D. 5
3. (多选)下列问题中，不属于排列问题的是(　　)
A. 从10个人中选出2个人去劳动
B. 从10个人中选出2个人去参加数学竞赛
C. 从班级内30个男生中选出5个组成一个篮球队
D. 从数字5，6，7，8中任取2个不同的数作为logab中的底数与真数
4. 从1，3，5，7，9这五个数字中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是________．
5. 某药品研究所研制了五种消炎药a1，a2，a3，a4，a5，四种退热药b1，b2，b3，b4，现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗效试验，但a1，a2两种药或同时用或同时不用，a3，b4两种药不能同时使用，试写出所有不同的试验方法．
6．2.1　排　　列
【活动方案】
问题1：要完成的一件事是“选出2名同学参加活动，1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动”，可以分两个步骤：
第1步，确定参加上午活动的同学，从3人中任选1人，有3种选法；
第2步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从剩下的2人中去选，有2种选法．
根据分步乘法计数原理，不同的选法种数为3×2＝6.这6种不同的选法如图所示．
思考1：从3个不同的元素a，b，c中任意取出2个，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？
问题2：从4个数字中，每次取出3个，按“百位、十位、个位” 的顺序排成一列，就得到一个三位数．因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数，可以分三个步骤解决这个问题：
第1步，确定百位上的数字，从1，2，3，4这4个数字中任取1个，有4种方法；
第2步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的3个数字中去取，有3种方法；
第3步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位数字只能从余下的2个数字中去取，有2种方法．
根据分步乘法计数原理，从1，2，3，4这4个不同的数字中，每次取出3个数字，按“百位、十位、个位”的顺序排成一列，不同的排法种数为4×3×2＝24.因而共可得到24个不同的三位数，如图所示．
思考2：从4个不同的元素a，b，c，d中任意取出3个，并按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？
思考3：问题1和问题2都是研究从一些不同元素中取出部分元素，并按照一定的顺序排成一列的方法数．
思考4：(1) 一方面，定义中给出的n个元素是互不相同的，且选取的m个元素也是互不相同的；另一方面，定义中指的是一个排列，而不是所有的排列．
(2) 元素和顺序都相同的排列是相同排列；元素和顺序至少有一个不同的排列是不同的排列．
例1　B　由排列的定义可知①③是排列，②④不是排列.
例2　可以先从这6支队中选1支为主队，然后从剩下的5支队中选1支为客队．按分步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为6×5＝30.
例3　(1) 可以先从这5盘菜中取1盘给同学甲，然后从剩下的4盘菜中取1盘给同学乙，最后从剩下的3盘菜中取1盘给同学丙．按分步乘法计数原理，不同的取法种数为5×4×3＝60.
(2) 可以先让同学甲从5种菜中选1种，有5种选法；再让同学乙从5种菜中选1种，也有5种选法；最后让同学丙从5种菜中选1种，同样有5种选法．按分步乘法计数原理，不同的取法种数为5×5×5＝125.
例4　(1) 列出每一个起点和终点情况，如图所示．
　
故符合题意的机票种类有：北京—广州，北京—南京，北京—天津，广州—南京，广州—天津，广州—北京，南京—天津，南京—北京，南京—广州，天津—北京，天津—广州，天津—南京，共12种．
(2) 因为A不排第一，所以排第一位的情况有3类(可从B，C，D中任选一人排)，而此时兼顾分析B的排法，列树形图如图．
所以符合题意的所有排列是BADC，BACD，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD，CBDA，CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA，共14种．
跟踪训练　(1) 组成三位数分三个步骤：
第一步：选百位上的数字，0不能排在首位，故有3种不同的排法；
第二步：选十位上的数字，有3种不同的排法；
第三步：选个位上的数字，有2种不同的排法．
由分步乘法计数原理，得共有3×3×2＝18(个)不同的三位数．
画出下列树形图：
由树形图知，所有的三位数为102，103，120，123，130，132，201，203，210，213，230，231，301，302，310，312，320，321.
(2) 直接画出树形图：
由树形图知，符合条件的三位数有8个：201，210，230，231，301，302，310，312.
【检测反馈】
1. C　从6名同学中选出正副组长各1名，不同的选法有6×5＝30(种).
2. B　排列与顺序有关，故②④⑤是排列．
3. ABC　根据排列的概念可知A，B，C不属于排列问题，D属于排列问题．故选ABC.
4. 18　因为lg a－lg b＝lg (a>0，b>0)，从1，3，5，7，9中任取两个作为有5×4＝20(种).又与相同，与相同，所以lg a－lg b的不同值的个数为20－2＝18.
5. 如图，
由树形图可写出所有不同试验方法如下：
a1a2b1，a1a2b2，a1a2b3，a1a2b4，a3a4b1，a3a4b2，a3a4b3，a3a5b1，a3a5b2，a3a5b3，a4a5b1，a4a5b2，a4a5b3，a4a5b4，共14种．

展开更多......

收起↑