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6．3.2　二项式系数的性质
1. 掌握二项式系数的性质，能用二项式的性质解决问题．
2. 能应用二项式系数的性质解决有关二项式系数的最值问题．
活动一 复习引入
1. 二项式定理及其特例：
(1) (a＋b)n＝Can＋Can-1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)；
(2) (1＋x)n＝1＋Cx＋…＋Cxk＋…＋Cxn.
2. 二项展开式的通项：Tk＋1＝Can－kbk .
3. 求常数项、有理项时，要根据通项讨论对k的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性．
活动二 探求二项式系数的性质
1. 请大家写出当n依次取0，1，2，3，…时，(a＋b)n展开式的二项式系数．
2. 观察二项式系数与下侧的杨辉三角，探求这两者有什么关系？
3. 你能从中发现二项式系数有什么特点？
二项式系数的性质：
(a＋b)n展开式的二项式系数是C，C，C，…，C.C可以看成以r为自变量的函数f(r)，其定义域是{0，1，2，…，n}．对于确定的n，我们还可以画出它的图象．例如，当n＝6时，其图象是7个离散点，如图所示．
①对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(C＝C).
直线r＝将函数f(r)＝C的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴．
②增减性与最大值
因为C＝＝C，即＝，所以当>1，即k<时，C随k的增加而增大；由对称性知，二项式系数的后半部分，C随k的增加而减小．当n是偶数时，中间的一项Cn取得最大值；当n是奇数时，中间的两项Cn与Cn相等，且同时取得最大值．
③各二项式系数的和
因为(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn，
所以令x＝1，得2n＝C＋C＋C＋…＋C.
这就是说，(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n.
活动三　二项式系数性质的应用——赋值法　
例1　求证：在(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．
例2　已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：
(1) a1＋a2＋…＋a7；
(2) a1＋a3＋a5＋a7；
(3) |a0|＋|a1|＋…＋|a7|.
活动四　求二项展开式中的有关系数或二项式系数的最大项与最小项　
例3　已知(＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992，求在的展开式中，
(1) 二项式系数最大的项；
(2) 系数的绝对值最大的项．
活动五　整除性问题　
例4　用二项式定理证明：9910－1能被1 000整除．
例5　求证：32n+2－8n－9是64的倍数(n∈N*).
1. (2024滁州期末)若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中x2的系数是(　　)
A. 32 B. 64 C. 80 D. 160
2. (2024广州期末)在(－)n的展开式中，各项的二项式系数只有第4项最大，则展开式的常数项为(　　)
A. 160 B. 20 C. －160 D. －1 120
3. (多选)(2024南通期中)已知(1－2x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，则下列说法中正确的有(　　)
A. 展开式各项的二项式系数的和为2100
B. 展开式各项的系数的和为－1
C. a0＋a2＋a4＋…＋a100>a1＋a3＋a5＋…＋a99
D. a1＋2a2＋3a3＋…＋100a100<0
4. 已知(2x－1)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则－a0＋a1－a2＋…－a6＝________．
5. (x－2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.求：
(1) a1＋a2＋…＋a7的值；
(2) a1＋a3＋a5＋a7的值．
6．3.2　二项式系数的性质
【活动方案】
1. 当n＝0时，展开式的二项式系数C＝1；
当n＝1时，展开式的二项式系数C＝1，C＝1；
当n＝2时，展开式的二项式系数C＝1，C＝2，C＝1；
当n＝3时，展开式的二项式系数C＝1，C＝3，C＝3，C＝1；
…
2. 二项式系数表的值与杨辉三角的值对应相等．
3. ①每一行中的二项式系数是对称的；②每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和；③每行的二项式系数从两端向中间逐渐增大；④第1行为1，第2行的两数之和为2，第3行的三数之和为22，第n行的n数之和为2n-1.
例1　在展开式(a＋b)n＝Can＋Can-1b＋…＋Cbn(n∈N*)中，
令a＝1，b＝－1，得(1－1)n＝C－C＋C－C＋…＋(－1)kC＋…＋(－1)nC＝0，
则C＋C＋…＝C＋C＋…，
即在(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．
例2　(1) 当x＝1时，a0＋a1＋a2＋…＋a7＝(1－2)7＝－1；
当x＝0时，a0＝(1－2×0)7＝1，
所以a1＋a2＋…＋a7＝－1－1＝－2.
(2) 当x＝－1时，a0－a1＋a2－a3＋…－a7＝37，
所以a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1 094.
(3) 由(2)可得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1 093，
所以|a0|＋|a1|＋…＋|a7|＝1 093＋1 094＝2 187.
例3　(1) 由题意，得22n－2n＝992，解得n＝5，
故在的展开式中，第6项的二项式系数最大，为T6＝C·(2x)5·＝－8 064.
(2) 设第k＋1项的系数的绝对值最大，则Tk＋1＝C·(2x)10-k＝(－1)kC·210-k·x10-2k，
由
可得解得≤k≤，所以k＝3，
则系数的绝对值最大的项是第4项，T4＝(－1)3·C·27·x4＝－15 360x4.
例4　9910－1＝(100－1)10－1＝C10010－C1009＋…＋C(－1)10－1＝C10010－C1009＋…－C100，其中C100＝1 000，
前面的项中有1002，所以也能被1 000整除，
所以9910－1能被1 000整除．
例5　32n+2－8n－9＝9n+1－8(n＋1)－1＝(8＋1)n+1－8(n＋1)－1＝8n+1＋C8n＋…＋C·1－8(n＋1)－1＝82(8n-1＋C8n-2＋…＋C)＋C·8＋1－8(n＋1)－1＝64(8n-1＋C8n-2＋…＋C)，
所以32n+2－8n－9(n∈N*)是64的倍数．
【检测反馈】
1. C　因为的展开式中二项式系数之和为32，则2n＝32，解得n＝5，所以二项式为.因为的展开式中各项系数之和为243，令x＝1，代入可得(a＋1)5＝243＝35，解得a＝2，所以二项式为，则该二项式展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)5-r·＝25-r·Cx5-3r，令5－3r＝2，解得r＝1，则展开式中x2的系数为24·C＝16×5＝80.
2. C　因为(－)n的展开式各项的二项式系数只有第 4项最大，所以n＝6，则展开式的通项为Tk＋1＝C(－2)kx3-k，令3－k＝0，解得k＝3，所以T4＝C(－2)3＝－160，即展开式中的常数项为－160.
3. AC　对于A，(1－2x)100的展开式各项的二项式系数的和为2100，故A正确；对于B，令x＝1，得(1－2)100＝a0＋a1＋a2＋…＋a100＝1，所以(1－2x)100的展开式各项的系数的和为1，故B错误；对于C，令x＝－1，得(1＋2)100＝a0－a1＋a2－…＋a100＝3100，则a0＋a2＋a4＋…＋a100＝，a1＋a3＋a5＋…＋a99＝，所以a0＋a2＋a4＋…＋a100>a1＋a3＋a5＋…＋a99，故C正确；对于D，对(1－2x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100两边求导，得100(1－2x)99·(－2)＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋100a100x99，令x＝1，得100(1－2)99·(－2)＝a1＋2a2＋3a3＋…＋100a100＝200>0，故D错误．故选AC.
4. －729　当x＝－1时，a0－a1＋a2－…＋a6＝36＝729，所以－a0＋a1－a2＋…－a6＝－729.
5. (1) 当x＝0时，a0＝(－2)7＝－128；
当x＝1时，a0＋a1＋…＋a7＝－1，
所以a1＋a2＋…＋a7＝－1－(－128)＝127.
(2) 当x＝－1时，a0－a1＋…－a7＝(－1－2)7＝(－3)7，所以a1＋a3＋a5＋a7＝＝1 093.

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