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2025届罗山县高级中学、第二高级中学二模联考
高三数学试题卷
注意事项:
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。考试时间120分钟，满分150分。考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效。交卷时只交答题卡。
第I卷(选择题，共58分)
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。）
1．已知复数是实数，则（ ）
A． B． C． D．2
2．已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ）
A．平均数为3，中位数为2 B．平均数为2，方差为2.4
C．中位数为3，众数为2 D．中位数为3，方差为2.8
4．若椭圆的离心率为，则该椭圆的焦距为（ ）
A． B． C．或 D．或
5．设抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线相交于，两点，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
6．甲乙丙丁四名同学去听同时举行的三个讲座，每名同学可自由选择听其中的一个讲座，则甲乙二人正好听的同一讲座而丙丁听的不同讲座的情况为（ ）种
A．6 B．10 C．18 D．36
7．已知数列为等差数列，为等比数列，，则（ ）
A． B． C． D．
8．设，，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．在中，内角，，的对边分别为，，，已知，且，则（ ）
A．，，成等比数列 B．
C．，，成等差数列 D．若，则
10．某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为，成绩位于内的同学成绩方差为.则（ ）
参考公式：样本划分为层，各层的容量 平均数和方差分别为：、、；、、.记样本平均数为，样本方差为，.
A．
B．估计该年级学生成绩的中位数约为
C．估计该年级成绩在分及以上的学生成绩的平均数为
D．估计该年级成绩在分及以上的学生成绩的方差为
11．已知函数 的定义域和值域均为 ，对于任意非零实数 ，函数 满足: ，且 在 上单调递减， ，则下列结 论正确的是（ ）
A． B．
C． 为奇函数 D． 在定义域内单调递减
第II卷(非选择题，共92分)
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分）
12．已知从小到大排列的一组数据：1，5，a，10，11，13，15，21，42，57，若这组数据的极差是其第30百分位数的7倍，则a的值为 .
13．已知等差数列的前项和为是等比数列，若，且，则的最小值为 .
14．在空间直角坐标系下，由方程所表示的曲面叫做椭球面（或称椭圆面）.如果用坐标平面分别截椭球面，所得截面都是椭圆（如图所示），这三个截面的方程分别为，，上述三个椭圆叫做椭球面的主截线（或主椭圆）.已知椭球面的轴与坐标轴重合，且过椭圆与点，则这个椭球面的方程为 .

四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．(13分)如图，在平面四边形ABCD中，，，，.
(1)若，，求的大小；
(2)若求四边形ABCD面积的最大值.
16．(15分)如图，在三棱柱中，平面平面，，过的平面与分别交于点.
(1)证明：四边形为平行四边形；
(2)若，则当为何值时，直线与平面所成角的正弦值最大？
17．(15分)某手机App为了答谢新老用户，设置了开心大转盘抽奖游戏，制定了如下中奖机制：
每次抽奖中奖的概率为p，n次抽奖仍未中奖则下一次抽奖时一定中奖．每次中奖时有的概率中积分奖，有的概率中现金奖．若某一次中奖为积分奖，则下一次抽奖必定中现金奖，抽到现金奖后抽奖结束．
(1)若，，试求直到第3次才抽到现金奖的概率；
(2)若，，X表示抽到现金奖时的抽取次数．
（ⅰ）求X的分布列（用p表示即可）；
（ⅱ）求X的数学期望．（，结果四舍五入精确到个位数）
18．(17分)已知双曲线，直线与双曲线交于两个不同的点A，B，直线与直线交于点.
(1)求证：点是线段AB的中点；
(2)若点A，B两点分别在双曲线两支上，求的面积的最小值(其中是坐标原点).
19．(17分)已知定点，轴于点H，F是直线OA上任意一点，轴于点D，于点E，OE与FD相交于点G．
(1)求点G的轨迹方程C；
(2)过的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率分别为和，证明：为定值；
(3)在直线上任取一点，过点B分别作曲线C：的两条切线，切点分别为M和N，设的面积为S，求S的最小值.
2025届罗山县高级中学、第二高级中学二模联考
高三数学试题卷参考答案
1．D
2．B
3．B
4．D
5．C
6．C
7．A
8．B
9．AD
10．BCD
11．AC
12．6
13．5
14．
15．（1）在中，，，所以，
由余弦定理可得，，即，
又，所以，
在中，由正弦定理可得，得，
因为，所以，所以.（7分）
（2）在中，，所以，
所以，四边形ABCD的面积
，
当△ABD＝90°时，，即四边形ABCD面积的最大值为.（6分）
16．（1）因为平面，平面，
所以平面，
又平面，平面平面，所以.
因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，
所以四边形为平行四边形. （5分）
（2）取的中点，连接，
由及，得为等边三角形，所以.
又平面平面，平面平面平面，
所以平面.
又平面，所以，由及，
得为等腰直角三角形，所以.
以为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，
建立如图的空间直角坐标系，
则，，
所以，
设，则，
设平面的法向量为，
则，即，令，得，
所以平面的一个法向量为.
设直线与平面所成的角为，
则，
所以当，即为的中点时，，
故当时，直线与平面所成角的正弦值最大. （10分）
17．（1）设抽到现金奖时共抽取了3次为事件A，
则事件A包括第一次未中奖第二次未中奖第三次中了现金奖或第一次未中奖第二次中了积分奖第三次中现金奖，
其中中了积分奖的概率为，
则，
所以直到第3次才抽到现金奖的概率为．（4分）
（2）（ⅰ）X的可能取值为1，2，3，…，19，20，21．
，
，，3，…，19，
，
，
所以X的分布列为
X 1 2 … i … 20 21
P … …
其中，3，…，19．（5分）
（ⅱ）
，
令，
则，
作差得，
则，
所以，
，
，
，
代入，因为，所以得，
所以X的数学期望约为19. （6分）
18．（1）设，
联立，消去得，
由于直线与双曲线交于两个不同的点，所以，
，
得，且
于是，
即线段的中点为，
联立与，得，
即点，因此点是线段AB的中点. （8分）
（2）若点两点分别在双曲线两支上，
，所以，
，
点到直线的距离，
的面积
，
令，所以，
令，则,
因为，由，得，
由，得，由，
得，
即当时，的面积的最小值为.（9分）

19．（1）设，易知直线，则，因为三点共线，
则；
（4分）
（2）设，过的直线为
与联立得，则，
又，同理，
故；
（6分）
（3）设，因为，所以，
所以处切线方程为方程为：，处切线方程为：，
整理得，和，
代入上述方程，得，，因此直线的方程为，
由，整理得，
易知，所以，，
所以
，
点到直线的距离为，
，
当且仅当时，取得最小值4．（7分）

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