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2025届绍兴市部分重点中学第二次联合调测
数 学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的
1.已知集合A,B,C均为非空集合。若a∈B是a∈A的充分不必要条件，a∈A是a∈C的充分不必要条件，则a∈B是a∈C的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.已知虚数数列.则其前4n项和为
A. B.
C. D.
3.现有某个运算器，输入x后有的概率输出,有的概率输出.将5个这样的运算器串联在一起，初始输入有的概率为1，有的概率为0.则再最后输出为0的条件下，初始输入为1的概率是
A. B. C. D.
4.已知椭圆:,双曲线:.A,B分别为的左，右顶点.过A作直线l与及的右支分别交于点P，Q.若PB⊥QB，则Q点的横坐标为
A. B. C.5 D.
5.在等腰直角三角形ABC中，B.P为其内部一点，满足∠APC，∠APB.则∠PAB的正切值为
A. B. C. D.
6.在函数中，其定义域内每一个x都有一个确定的y值与之对应.而在绘制其反函数或的图像时可能会出现一个x对应多个y值的情况.此时取|y|最小时所对应的y值，并且在此条件下优先取正数.已知函数，则其定义域为
A.(0，+∞) B.(0,] C.(0,e] D.(0,]
7.已知在△ABC中，.P是其内部一点，满足最小.设.则t的最小值为
A.7 B.6 C. D.
8.已知在四面体P-ABC中，△ABC为等边三角形,且，则与平面ABC所成角正切值的最大值为
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。
9.已知函数的定义域为,,且在定义域内连续.则下列说法正确的是
A.设的定义域为D，则D
B.设的定义域为D，则D
C.若单调，则单调
D.一定存在定义域为的偶函数与奇函数,使
10.某考试有20道三项选择题.某同学通过某种手段提前知道了这20道选择题的答案中没有连续相同的选项.试卷下发后，更是发现自己一题也不会做.于是他按照“没有连续相同的选项”猜答案.设其答对第n题的概率是.则下列说法正确的是
A.P(猜对第n+1题|猜对第n题)= B.P(猜对第n+1题|猜错第n题)=
C.= D.全部猜对的概率为
11.已知曲线,满足且.则下列说法正确的是
A.当时，是关于的函数
B.当时，是关于的函数
C.曲线C的对称中心为
D.曲线C与直线相切
三、填空题: 本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12.甲乙丙丁等二十人排队，并从左至右依次编号1～20.甲乙丙丁所对应的编号为a,b,c,d.则满足c＞b＞a＞d的概率为______.
13.在椭圆Γ:内有一点P(1,1).过P作直线,分别与Γ交于A,C与B,D.且|PA||PD|=|PB||PC|.若直线CD的斜率恒为k(k∈(-1,0)),则Γ的离心率为______.(用k表示)
14.已知定义以此类推.记为(*),当n趋向于+∞时，(*)趋向于_____.
四、解答题: 本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.在四面体A-BCD中，AB=BC=CD=AD=1
(1)证明:BD⊥AC.
(2)求四面体A-BCD体积的最大值.
16.已知函数.
(1)设 .
(ⅰ)证明:,并由此求(精确到0.000001).
(ⅱ)比较与的大小并说明理由.
(2)求证:当n趋于0时，.
17.已知数列满足,且.为等差数列，其前项的和为，有.
(1)设.
(ⅰ)求t,并证明为等差数列.
(ⅱ)在的前5项中随机取3项，设其小于五的项数为X.求X的分布列与数学期望.
(2)证明:
18.在以O为中心的平面直角坐标系X中有圆Г:.A,B,C为Г上三点.过C作AB的平行线交Г于D，过D作BC的平行线交Г于E.
(1)若A,C为定点且关于原点对称，求证.直线DE过定点.
(2)若A,B,C,D,E互不重合且已知A(0,2).现有另一平面直角坐标系Y，且X,Y的轴相互平行，.将X中各个点投影至Y中，A,B,C,D,E的投影点分别为A1,B1,C1,D1,E1.
(ⅰ)若C为定点，B为动点.求证：直线D1E1过定点.
(ⅱ)求A1到直线D1E1距离的取值范围.
19.已知以下定义：
①对于集合...若...则记...
②若，满足,则称A为B的伪元素，并记集合B的伪元素个数为W(B)
已知..
(1)若的最大值为3，求A中元素个数.
(2)求.
(3)的最大值为m,且.集合B为所有满足条件的所构成的集合.当时，求.(允许多次换元表示)
2025届绍兴市部分重点中学第二次联合调测 数学
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B C D A B C D
一、选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的
二、选择题: 本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。
题号 9 10 11
答案 BCD AC ACD
三、填空题: 本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 13. 14.
四、解答题: 本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(1)【证明提示】取BD中点E，证BD垂直平面ACE.
(2)【提示】设,导数求解.
16.(1)(ⅰ)【证明提示】由导数的定义，变形即可.
(ⅱ)【提示】做差，两边同乘n即可.
（2）【提示】作商，,把视作,利用第一题结论即可证明.
【注意】作差证明不给分.
17.(1)(ⅰ)【提示】待定系数法.
【证明提示】证明为等差数列即可.
(ⅱ)
【提示】前五项为0，2，4，6，8.
(2)【证明提示】变形为,利用证明.
18.(1)【证明提示】由对称性可知过A点.
(2)(ⅰ)【证明提示】即证DE过定点。先证BD=AC,BD=CE,得到AC=EC,进而得到CO垂直AE，AE斜率为订制，即E为定点.
(ⅱ)【提示】显然最小可接近0.最大即A1E1，即求A1E1的最大值.
【注意】A1E1取得最大值时A1到直线的距离最大()取不到.
19.(1)3【提示】每次取真子集时加一个元素即可.
(2)【提示】可以证明,得到其元素个数为，进而得到.
(3)【提示】求出B的元素个数即可

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