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雅礼中学2025届模拟试卷(二)
数 学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 则集合A 的真子集个数是
A.3 B.6 C.7 D.8
2.命题“”的否定是
3.经过两条直线l :的交点，且直线的一个方向向量 v=(-6，4)的直线方程为
4.已知函数 的图象如图所示，则的解析式可能为
5.已知正四棱台上底面边长为1，下底面边长为2，体积为7，则正四棱台的侧棱与底面所成角的正切值为
6.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为 其中 M表示每一轮优化时使用的学习率， 表示初始学习率，E表示衰减系数，ρ表示训练迭代轮数，ρ 表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为16，且当训练迭代轮数为16时，学习率衰减为0.48，则学习率衰减到0.2以下(不含0.2)所需的训练迭代轮数至少为
(参考数据: lg 2≈0.301, lg 3≈0.477)
A.75 B.77 C.79 D.81
7.已知,则
A.1 B. D.-1
8.设函数的定义域为R,若 =2025,且对任意x∈R,满足. 则 的值为
D.以上答案均不对
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知椭圆E 的左、右焦点分别为F ，F ，点) )是椭圆E上的一个动点，则下列说法正确的是
A.椭圆E的长轴长为5 B.椭圆E的离心率为
D.恰好存在两个点 P 使得
10.已知( ,则下列选项正确的有
11.如图，棱长为2的正方体. 中，点P 是棱 的中点，动点M满足 其中λ，μ∈R，则下列结论正确的是
A.若λ+μ=1,则CM⊥DB
B.若 则直线 PM与直线BC 所成角的最小值为
C.若λ∈[0,1]且.S△MAB=2S△MDC,则点M的轨迹长为
D.若动点 M 在平面 BCC B 上的投影为点 N,MC与平面 所成角与二面角M-BB -C大小相等，则直线 BC 与点 N 的轨迹相切
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若关于x的方程 的一个虚根的模为2，则实数m的值为 .
13.已知随机变量 X 服从正态分布 且 则 的最小值为 .
14.若函数 有且仅有两个零点，则实数a的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
已知向量a
(1)求函数的单调递增区间和对称中心；
(2)在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 求 的取值范围.
16.(本小题满分15分)
如图，在四面体ABCD中， ，M是AD的中点，P是BM 的中点，点Q在线段AC上,且.
(1)求证:
(2)若 为正三角形，且. ，求平面 BMC 与平面ABD 所成角的正弦值.
17.(本小题满分15分)
已知函数
(1)讨论 的单调性;
(2)若有两个不同的极值点. 且 求实数a的取值范围.
18.(本小题满分17分)
已知双曲线 经过点 M(6，9)，其一条渐近线的倾斜角为 ，双曲线C的左、右顶点分别为 ，左、右焦点分别为
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)如图1，N为双曲线C 左支上异于点， 的一动点，且 的重心为 ，试探究点 T的轨迹，并求 的最小值；
(3)如图2，不与坐标轴平行的动直线l与双曲线C交于P，Q两点(异于点， ，P关于原点O的对称点为R.直线. 与直线 相交于点S，直线OS 与直线PQ 相交于点G，求 的内心的轨迹方程.
19.(本小题满分17分)
电影《哪吒2》以精美的画面、震撼的特效、流畅的动作设计创造了158亿的票房神话，名列全球票房榜第五位.在电影最后哪吒与无量仙翁的决战中，假设无量仙翁的生命值为1000，哪吒每次攻击造成的伤害为随机变量100Y, 当无量仙翁生命值小于等于0时，则哪吒获胜(假设莲花化身的哪吒具有不死之身，不会被击败).
(1)求哪吒恰好在第2次攻击后战胜无量仙翁的概率；
(2)求哪吒战胜无量仙翁需要攻击次数的期望；
(3)求哪吒恰好在第n次攻击后可战胜无量仙翁的概率.雅礼中学2025届模拟试卷（二）
数学参考答案
一、二、选择题
题
务
3
4
5
6
8
9
10
11
答案
B
D
B
A
A
BC
ABD
ACD
1.C【解析】集合A={x∈Nx2一8x+120}={x∈N2x6}={3,4,5},则集合A的真子集个数是7.
2.B
x+y=2,
x=1,
3.D【解析】联立
解得
即直线1：x十y=2,l:2.x一y=1的交点为(1,1)，又直线的一个方向向量
2x-y=1,
y-1,
=(一6,4.所以直线的斜率为一号故该直线方程为y一1=-号（一1，即2z十3y一5=0，
4.B【解析】由题可得函数的图象关于原点对称，定义域为（一○，0）U(0,十∞)，
对于A一)=-=，西数图象关于y轴时称，故A错误：对于C.因为)=的定义越为
x
(0,十o∞)，故C错误：对于D,当0一xx
一f(x),函数的图象关于原点对称，且x>0时，f(x)>0,符合题意，故B正确.
5.A【解析】如图所示，作AM⊥AC于点M,
D
则S=号(1+2+个X2)×A,M=7,即A,M=3.AM=AC,AC-2E2E-号
2
2
2
则an∠AAM=A出=是=3V2,
AM-
D
2
由正四棱台的侧棱与底面所成角即为AA与底面ABCD所成角，
B
设其为0，则0-∠AAM,即tan8-tan∠AAM-32.
6.C【解析】根据题意得该指数衰减的学习率模型为M=0.6,当p=16时，M=0.48,代入得0.48=0.6E,解得
E=0.8,当学习率亮减到0.2以下（不含02）时，0.6X08<0.2则0.8<分，即号>l6g写，则p>16l0g号-
1
16X记2≈16X号没6，所以所需的别捧选代轮数至少为0
7.C【解析】，'cosa十cosB+cosy=0,sina+sinB+sinY=0,
.cosa十cos3=-cosY,sina+sin3B=一siny,
.cos&十cos23+2 cos acos8=cos2y,①
sin'a+sin8+2sin asin B=siny,2
由①+②得2+2cms60s计sin esin8》=2+2asa-0=1,∴c0sam=-号
8.A【解析】由f(x十1)一f(x)2r,可得f(x十2)一f(.x+1)≤2+，因为f(x十2)一f(x)≥3×2，所以f(.x十1)
f(x)=-[f(.x+2)-f(x+1)]+f(x十2)-f(x)≥-2+1+3×2=2，又因为f(x+1)-f(x)2,所以f(x+1)
一f(x)=2,则f(2025)-f(0)=[f(2025)-f(2024)]+[f(2024)-f(2023)]+·+Cf(1)-f(0)]=284+22
士+2+1=122=251，所以f02025)=2+2024
9.BC
10.ABD【解析】由已知二项式(3-2x)2025的展开式通项为T+1=C25·35-·(一2x)=C5·32025-卡·(-2)·x,
令k=0,可得a=(C95·3225=32025,A选项正确：由(3-2.x)2025=a十a1x十a2x2十…十a04x21十a5x05,
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