资源简介

(共26张PPT)
15.1.2线段的垂直平分线
（课时1）
第十五章 轴对称
人教版（2024）
素养目标
2.能运用线段的垂直平分线的性质和判定解决相关问题.
1.理解并掌握线段的垂直平分线的性质和判定；
重点
新知导入
什么叫线段的垂直平分线？
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线.
如图，MN⊥AA′，垂足为P，且 AP = A′P，则称直线MN是线段AA′ 的垂直平分线.
N
M
P
A′
A
类比角的平分线研究线段的垂直平分线.角的平分线的性质反映了角的平分线上的点到角两边的距离的关系，类似地，我们研究线段的垂直平分线上的点与线段两个端点的距离的关系.
探究新知
【探究】如图，直线 l 垂直平分线段AB，点P1，P2，P3，…在 l 上，分别比较点P1，P2，P3，…与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什么发现？
A
B
l
P1
P2
P3
【发现】AP1=BP1 ，AP2=BP2 ，AP3 =BP3 …
探究新知
【探究】如图，直线 l 垂直平分线段AB，点P1，P2，P3，…在 l 上，分别比较点P1，P2，P3，…与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什么发现？
A
B
l
P1
P2
P3
【猜想】线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
探究新知
A
B
l
C
P
已知：如图，直线 l⊥AB，垂足为C，AC = BC，点P 在 l 上．
求证：PA =PB．
证明：当点P与点C不重合时，
∵　l⊥AB，
∴ ∠PCA =∠PCB = 90°．
又 AC =CB，PC =PC，
∴ △PCA ≌△PCB（SAS）．
∴ PA =PB．
当点P与点C重合时，显然成立
归纳总结
线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
符号语言：
∵ OA =OB，l⊥AB，
∴ PA =PB．
A
B
l
O
P
探究新知
【思考】把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？即如果PA = PB，那么点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？
【猜想】与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，即如果 PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上.
探究新知
已知：如图，PA = PB．求证：点P在线段AB 的垂直平分线上．
证明：如图作PC⊥AB ，则∠PCA =∠PCB = 90°．
在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，
∵　PA = PB，PC = PC，
∴ Rt△PCA ≌ Rt△PCB（HL）．
∴ AC =BC．
又 PC⊥AB，
∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上
A
B
P
C
归纳总结
线段垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
符号语言：∵PA =PB，
∴点P 在AB 的垂直平分线上．
A
B
l
O
P
探究新知
1、从上面两个结论可以看出，在线段AB的垂直平分线l上的点与点A，B的距离都相等.
2、反过来，与A，B的距离相等的点都在l上，所以直线 l 可以看成与两点A，B的距离相等的所有点的集合.
A
B
l
O
P
探究新知
【思考】分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？你还学习过其他具有类似关系的命题吗？
这两个命题的题设、结论正好相反.我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题，如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题.
如果一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上.
如果一个点在这条线段的垂直平分线上，那么这个点到线段两个端点的距离相等.
探究新知
【注意】一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立.
例如，上面关于垂直平分线的两个互逆命题都是成立的；
而命题“对顶角相等”成立，
它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”却不成立.
探究新知
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理.
在几何中，有许多互逆的定理，例如，关于垂直平分线的两个互逆命题是互逆定理.
“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”也是互逆定理.
A
C
C
B
4
5
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线线上
B
小结
线段的垂直平分线
性质：线段垂直平分线上的点与这条线段
两个端点的距离相等.
判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
谢谢同学们的聆听

展开更多......

收起↑