资源简介

2024—2025 学年度第二学期综合练习
九年级数学参考答案及评分标准
阅卷说明：
1. 评卷采分最小单位为 1 分，每步标出的是累积分.
2. 考生若用本“参考答案”以外的解（证）法，可参照本“参考答案”的相应步骤给分.
一、单项选择题（每小题 3 分，共 18 分）
1. C 2. D 3. A 4. B 5. D 6. D
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
7. 亚洲 8. 2(x – 1)2 9. 三角形的稳定性 10. 6 11. π
三、解答题（本大题共 11 小题，共 87 分）
12. 证明： ∵ △ABC 是等边三角形，
∴ ∠A = ∠B = ∠C. （2 分） ∵ DE∥BC，
∴ ∠ADE = ∠B，∠AED = ∠C. （4 分） ∴ ∠A = ∠ADE = ∠AED.
∴ △ADE 是等边三角形. （6 分）
13. 解：（1）x – 3 （2 分）
（2）根据题意，x ≠ ± 2 ，x ≠ 3 ， （4 分）
∴ 只能选 x = – 3. （5 分）
(
1
)∴ 原式= - 3 + 2 = – 1. （6 分）
14. 解：（1） （2 分）
（2）根据题意，画出树状图如下.
（5分）
由树状图可知，共有 12 种等可能的结果，其中小智、小慧两人中恰好有一 人讲述钱学森事迹的结果有 6 种，
∴ P (小智、小慧两人中恰好有一人讲述钱学森事迹) = = . （6 分）
15. 解：（1）如图所示. （3 分）
（2）如图所示.（答案不唯一） （5 分）
（3）如图所示. （7 分）
数学试题参考答案及评分标准 第 1页（共 6页） 数学试题参考答案及评分标准 第 2页（共 6页）
数学试题参考答案及评分标准 第 3页（共 6页） 数学试题参考答案及评分标准 第 4页（共 6页）
16. 解：（1）1 （2 分）
（2） 由（1）得，A (4 ，1).
∵ 点 A 在反比例函数y = (x > 0) 的图象上，
∴ k = xy = 4 × 1 = 4.
∴ 所求的反比例函数的解析式为 y = . （5 分）
（3）3. （7 分）
17. 解：（1）4.8 （2 分）
（2）根据题意，得 BF = AB ·sin 16° = 5 × 0.28 = 1. 4 m.
∴ CF = BC – BF = 4.4 – 1.4 = 3.0 m.
∴ AG = CF = 3.0 m.
∵ ∠ADG = 45° , ∠AGD = 90° ,
∴ tan 45° = =1 ， ∴ DG = AG = 3.0 m
∴ CD = CG – DG = AF – DG = 4.8 – 3.0 = 1.8 m. （7 分） 答：阴影 CD 的长为 1.8 m.
18. 解：（1）64 （2 分）
（2）设 y 关于 x 的函数解析式为 y = kx + b (k ≠ 0)， 根据题意，得
解得
∴ y 关于 x 的函数解析式为 y = – 6x + 100. （6 分）
（3）2750. （8 分）
19. 解：（1）6702.5 – 2911.8 = 3790.7 亿元. （2 分）
答：2021—2024 年低空经济市场规模中，我国市场规模最高的一年比市场规模最低的一年多 3790.7 亿元
（2）29.8% （3 分）
（3）① （5 分）
（4）设 2026 年低空经济市场规模为 x 亿元，
根据题意，得 x – 8591.7 = 8591.7 × 23.9%. （7 分）
解得 x ≈ 10645.1. （8 分）
答：2026 年低空经济市场规模约为 10645.1 亿元.
20. 解：（1）证明： ∵ 四边形 APCD 为正方形，
∴ AP = CP ， ∠CPE = ∠APE = 45° .
∵ PE = PE，
∴ △AEP≌△CEP. （3 分）
（2）CF⊥AB （4 分） 理由： 由（1）可知，△AEP≌△CEP，
∴ ∠ECP = ∠EAP. 即∠FCP = ∠EAP.
∵ ∠EAP = ∠BAP ， ∴ ∠FCP = ∠BAP.
∴ ∠AFC + ∠BAP = ∠FCP + ∠APC.
又∵ ∠APC = 90° .
∴ ∠AFC = ∠APC = 90° .
∴ CF⊥AB. （8 分）
（3）8. （10 分）
提示：
数学试题参考答案及评分标准 第 5页（共 6页） 数学试题参考答案及评分标准 第 6页（共 6页）
21. 解：（1）45 （2 分）
（2）根据题意，得 2x + 3 = 5 ，解得 x = 1. （4 分）
（3）如图① , 当 0 ＜ x ≤1 时，PN =PQ = AD= 3.
∴ y = S 正方形PQMN=PN2= 32 = 9. （6 分）
图①
如图② , 当 1 ＜ x ≤ 时，AP = DQ = 2x ，PN = QM = PQ = AD = 3.
∴ CM = DQ + QM – CD = 2x + 3 – 5 = 2(x – 1).
(
1
)∴ y = S 正方形PQMN – S△CME = 9 – 2 [2(x – 1)]2 = – 2x2 + 4x + 7. （8 分）
图②
如图③ , 当 ＜ x ≤4 时，PB = PQ = 8 – 2x.
∴ y = S△PQN = (8 – 2x)2 = 2x2 – 16x + 32. （10 分）
图③
〔
综上所述
评分说明：第（3）题结果正确，不画图不扣分；3 段取值范围各 1 分，每个解析式 1 分.
22. 解：（1） ∵ 抛物线 y = – x2 + mx + m – 2 经过原点，
∴ 0 = – 0 + 0 + m – 2 ，解得 m = 2.
∴ 抛物线的解析式为 y = – x2 + 2x.（或 y = – (x – 1)2 + 1）
（2）① 3
② 易求直线 OB 的解析式为 y = – x. 过点 P 作 PQ⊥x 轴交 OB 于点 Q.
设点 P (n ，– n2 + 2n) ，则点 Q (n ，– n).
∴ PQ = – n2 + 2n – (– n) = – n2 + 3n.
∴ S△POB = (– n2 + 3n) ·n + (– n2 + 3n) ·(3-n)
= (– n2 + 3n) × 3
= – 3 n2 + 9 n
2 2
= – (n – )2 + .
(
2
△
8
.
)∴ 当 n = 3 时，S POB 有最大值，最大值为 27
（3）① y = – x2 + 6x – 6 (或 y = – (x – 3)2 + 3)
② .
（3分）
（4分）
（8分） （10 分） （12 分）2024—2025 1学年度第二学期综合练习 14. 解：（1） （2 分）4
九年级数学参考答案及评分标准 （2）根据题意，画出树状图如下.
阅卷说明：
1. 评卷采分最小单位为 1分，每步标出的是累积分.
（5 分）
2. 考生若用本“参考答案”以外的解（证）法，可参照本“参考答案”的相应步骤给分.
一、单项选择题（每小题 3 分，共 18 分） 由树状图可知，共有 12 种等可能的结果，其中小智、小慧两人中恰好有一
1. C 2. D 3. A 4. B 5. D 6. D 人讲述钱学森事迹的结果有 6 种，
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
∴ P ( 6 1小智、小慧两人中恰好有一人讲述钱学森事迹) = = . （6 分）
12 2
7. 亚洲 8. 2(x – 1)2 9. 三角形的稳定性 10. 6 11. 2 π
3
15. 解：（1）如图所示. （3 分）
三、解答题（本大题共 11 小题，共 87 分）
12. 证明：∵ △ABC 是等边三角形，
∴ ∠A = ∠B = ∠C. （2 分）
（2）如图所示.（答案不唯一） （5 分）
∵ DE∥BC，
∴ ∠ADE = ∠B，∠AED = ∠C. （4 分）
∴ ∠A = ∠ADE = ∠AED.
∴ △ADE 是等边三角形. （6 分）
（3）如图所示. （7 分）
13. 解：（1）x – 3 （2 分）
（2）根据题意，x ≠ ± 2，x ≠ 3， （4 分）
∴ 只能选 x = – 3. （5分）
1
∴ 原式= = – 1. （6 分）
3 2
数学试题参考答案及评分标准 第 1页（共 6页） 数学试题参考答案及评分标准 第 2页（共 6页）
16. 解：（1）1 （2 分） （2）29.8% （3 分）
（2）由（1）得，A (4，1). （3）① （5 分）
k
∵ 点 A 在反比例函数 y = (x > 0) 的图象上， （4）设 2026 年低空经济市场规模为 x 亿元，
x
根据题意，得 x – 8591.7 = 8591.7 × 23.9%. （7 分）
∴ k = xy = 4 × 1 = 4.
4 解得 x ≈ 10645.1. （8 分）
∴ 所求的反比例函数的解析式为 y = . （5 分）
x 答：2026 年低空经济市场规模约为 10645.1 亿元.
（3）3. （7 分）
20. 解：（1）证明：∵ 四边形 APCD 为正方形，
17. 解：（1）4.8 （2 分）
∴ AP = CP，∠CPE = ∠APE = 45°.
（2）根据题意，得 BF = AB·sin 16° = 5 × 0.28 = 1. 4 m.
∵ PE = PE，
∴ CF = BC – BF = 4.4 – 1.4 = 3.0 m.
∴ △AEP≌△CEP. （3 分）
∴ AG = CF = 3.0 m.
（2）CF⊥AB （4 分）
∵ ∠ADG = 45°，∠AGD = 90°，
理由：由（1）可知，△AEP≌△CEP，
∴ tan 45° = AG =1，∴ DG = AG = 3.0 m
DG ∴ ∠ECP = ∠EAP. 即∠FCP = ∠EAP.
∴ CD = CG – DG = AF – DG = 4.8 – 3.0 = 1.8 m. （7分） ∵ ∠EAP = ∠BAP，∴ ∠FCP = ∠BAP.
答：阴影 CD 的长为 1.8 m. ∴ ∠AFC + ∠BAP = ∠FCP + ∠APC.
18. 解：（1）64 （2 分） 又∵ ∠APC = 90°.
（2）设 y 关于 x 的函数解析式为 y = kx + b (k ≠ 0)， ∴ ∠AFC = ∠APC = 90°.
b 100， ∴ CF⊥AB. （8 分）
根据题意，得
k b 94. （3）8. （10 分）
k 6， 提示：
解得
b 100.
∴ y 关于 x 的函数解析式为 y = – 6x + 100. （6 分）
（3）2750. （8 分）
19. 解：（1）6702.5 – 2911.8 = 3790.7 亿元. （2 分）
答：2021—2024年低空经济市场规模中，我国市场规模最高的一年比市场规模最低的一年多 3790.7亿元
数学试题参考答案及评分标准 第 3页（共 6页） 数学试题参考答案及评分标准 第 4页（共 6页）
21. 解：（1）45 （2 分） 22. 解：（1）∵ 抛物线 y = – x2 + mx + m – 2 经过原点，
（2）根据题意，得 2x + 3 = 5，解得 x = 1. （4 分）
（3）如图①，当 0 ＜ x ≤1 时，PN =PQ = AD= 3. ∴ 0 = – 0 + 0 + m – 2，解得 m = 2.
∴ y = S PQMN =PN 2正方形 = 32 = 9. （6分） ∴ 抛物线的解析式为 y = – x2 + 2x.（或 y = – (x – 1)2 + 1） （3 分）
（2）① 3 （4 分）
② 易求直线 OB 的解析式为 y = – x.
图① 过点 P 作 PQ⊥x 轴交 OB 于点 Q.
5 设点 P (n，– n2 + 2n)，则点 Q (n，– n).
如图②，当 1 ＜ x ≤ 时，AP = DQ = 2x，PN = QM = PQ = AD = 3.
2 ∴ PQ = – n2 + 2n – (– n) = – n2 + 3n.
∴ CM = DQ + QM – CD = 2x + 3 – 5 = 2(x – 1).
∴ S△POB = 1 (– n2 + 3n)·n + 1 (– n2 + 3n)·(3-n)
2 2
1
∴ y = S 2 2正方形PQMN – S△CME = 9 – [2(x – 1)] = – 2x + 4x + 7. （8 分） 1
2 = (– n2 + 3n) × 32
= – 3 n2 + 9 n
2 2
= – 3 (n – 3 )2 + 27 .
图② 2 2 8
5 3 27∴ 当 n = 时，S△POB 有最大值，最大值为 . （8 分）
如图③，当 ＜ x ≤4 时，PB = PQ = 8 – 2x. 2 8
2
（3）① y = – x2 + 6x – 6 (或 y = – (x – 3)2 + 3) （10 分）
1
∴ y = S△PQN= (8 – 2x)2 = 2x2 – 16x + 32. （10 分） ② 2 . （12 分）
2
图③

（9 0＜x 1）

2
综上所述， y = 2x 4x （7 1＜x
5
）
2

2x
2 16x 3 5（2 ＜x 4）
2
评分说明：第（3）题结果正确，不画图不扣分；3 段取值范围各 1 分，每个解析式 1 分.
数学试题参考答案及评分标准 第 5页（共 6页） 数学试题参考答案及评分标准 第 6页（共 6页）

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