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2024-2025学年北京版（2024）七年级数学下册期末真题
专项练习 04 解答题
一、解答题
1．（2024七下·昌平期末）某校开展数学节活动，活动成果是学生形成对于数学探索的海报，活动以“集市”形式展览个人的作品，并面向同学和老师讲解自己的作品，“小创客”创意市集作品的评价涉及四个维度：创意的真实性、创意的新颖性、创意的科学性和表达的严谨性，并以四个维度总分记为最后得分，满分100分，小明经过抽样调查部分得分数据，具体得分分布在以下四组内：，并把得分情况绘制成如下统计图：C组得分：87，86，88，86，86，89
“小创客”创意市集作品得分条形统计图“小创客”创意市集作品得分扇形统计图
（1）本次调查了______名学生，B组扇形统计图的圆心角度数为_______°
（2）C组得分的平均数是_______，众数是_________，中位数是__________．
（3）若某校有500人参加此次“小创客”创意市集作品展示，请你估计得分超过86分的有多少人？
2．（2024七下·西城期末）在平面直角坐标系中，给定n个不同的点，若，，…，，，…，中共有t个不同的数，则称t为这n个不同的点的特征值．图形F上任意n个不同的点中，特征值最小的一组点的特征值称为图形F的n阶特征值．
（1）点，，的特征值是 ；
（2）已知正方形的四个顶点分别为，，，，
①直接写出正方形的4阶特征值的最小值：
②若正方形的5阶特征值的最小值是3，直接写出a的取值范围．
3．（2023七下·通州期末）小明家去年下半年用电的情况统计如下：（单位：千瓦时）
月份 6 7 8 9 10 11 12
电表月底显示数 300 505 714 853 953 1 016 1 105
（1）用电量最少的月份的用电量占第四季度用电总量的百分之几？
（2）第四季度的用电量占下半年用电总量的百分之几？
4．（2023七下·通州期末）已知关于，的二元一次方程，是不为零的常数．
（1）如果是该方程的一个解，求的值；
（2）当每取一个不为零的值时，都可得到一个方程，而这些方程都有一组公共的解，试求出这个公共解．
5．（2024七下·怀柔期末）我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式．
（1）填空：将写成矩阵形式为： ；
（2）若矩阵所对应的方程组的解为，求a与b的值．
6．（2024七下·延庆期末）在国际数学日到来之际，某校举办了“数学节”活动．通过数学素养竞赛、数学创意展示等活动，展现数学魅力、传播数学文化．为了解学生数学素养竞赛的答题情况，现从七年级随机抽取了20名学生成绩(单位：分)，并对数据进行整理、描述和分析．过程如下：
a.20名学生的数学素养竞赛分数：
66 70 71 78 71 78 75 78 58 80
63 90 80 85 80 89 85 86 80 87
b．整理、描述数据：
分数
人数 1 2 m 9 1
c.20名学生的数学素养竞赛分数扇形统计图：
d.20名学生的数学素养竞赛分数的平均数、中位数和众数：
平均数 中位数 众数
77.5 n t
请根据所给信息，解答下列问题：
（1） ， ， ；
（2）在扇形统计图中，“”所在的扇形的圆心角等于 度；
（3）若该校七年级共有200名学生参加了数学素养竞赛，且成绩不低于80分的学生可获得“数学之星”的称号，请你估计该校七年级获得“数学之星”称号的学生有多少人？
7．（2024七下·门头沟期末）在平面直角坐标系中，对于点给出如下定义，当时，我们称点P为“纵高点”．例如点， ， 都是“纵高点”．
（1）在点，， ， 中，其中 “纵高点”有_________________；
（2）将点先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点．
①当点M在y轴上时，如果点是纵高点，那么n的取值范围是_______________；
②当时，连接，若线段上任意一点都是“纵高点”，直接写出m的取值范围．
8．（2024七下·延庆期末）解不等式：2 （3x－1）≤x+3，并把它的解集在数轴上表示出来．
9．（2024七下·石景山期末）若关于x的一个一元一次不等式组的解集为（a，b为常数，且），则称为这个不等式组的“解集中点”．若一个一元一次方程的解与一个一元一次不等式组的“解集中点”相等，则称这个一元一次方程为此一元一次不等式组的“中点关联方程”．
（1）在方程①，②中，不等式组的“中点关联方程”是________（填序号）．
（2）已知不等式组，请写出这个不等式组的一个“中点关联方程”：_________．
（3）若关于x的不等式组的“中点关联方程”大于方程的解且小于方程的解，求m的取值范围．
10．（2024七下·北京市期末）若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“友好方程”，例如：方程的解为．不等式组的解集为．因为．所以称方程为不等式组的“友好方程”．
（1）请你写出一个方程，使它为不等式组的“友好方程”；
（2）若关于x的方程是不等式组的“友好方程”，求k的取值范围；
（3）若关于x的方程是关于x的不等式组的“友好方程”，且此时不等式组有3个整数解，直接写出m的取值范围．
11．（2024七下·朝阳期末）在平面直角坐标系中，已知点，若点Q的坐标为，则称Q是点P的非常变换点．例如：点的非常变换点为．
（1）已知点的非常变换点为Q，当时，点Q的坐标为_________，当时，点Q的坐标为___________；
（2）在正方形中，点，已知点．
①若点M的非常变换点为C，求a的值；
②若线段上的所有点（含端点）和它们的非常变换点都在正方形的边上或内部，直接写出a的最小值及此时x的值．
12．（2024七下·海淀期末）我们把符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为，如．
（1）求不等式的解集．
（2）若关于的不等式的解集与（1）中的不等式解集相同，求的值．
（3）若关于的不等式的解都是（1）中的不等式的解，求的取值范围．
13．（2023七下·朝阳期末）根据图中给出的信息，解答下列问题：
（1）放入一个小球水面升高_______，，放入一个大球水面升高______；
（2）如果要使水面上升到50，应放入大球、小球各多少个？
14．（2023七下·海淀期末）为迎接年奥运会，某工艺厂准备生产奥运会标志“中国印”和奥运会吉祥物“福娃”该厂主要用甲、乙两种原料，已知生产一套奥运会标志需要甲原料和乙原料分别为盒和盒，生产一套奥运会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为盒和盒．该厂购进甲、乙原料的量分别为盒和盒，如果所进原料全部用完，求该厂能生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套？
15．（2023七下·东城期末）某货运码头，有稻谷和棉花共2680吨，其中稻谷比棉花多380吨．
（1）求稻谷和棉花各是多少吨？
（2）现安排甲、乙两种不同型号的集装箱共50个，将这批稻谷和棉花运往外地．已知稻谷35吨和棉花15吨可装满一个甲型集装箱；稻谷25吨和棉花35吨可装满一个乙型集装箱．在50个集装箱全部使用的情况下，如何安排甲、乙两种集装箱的个数，有哪几种方案？
16．（2023七下·门头沟期末）列方程组解应用题：有大小两种货车，辆大货车与辆小货车一次可以运货吨；辆大货车与辆小货车一次可以运货吨．问辆大货车与辆小货车一次可以运货多少吨？
17．（2024七下·海淀期末）解方程组：
（1）
（2）
18．（2023七下·石景山期末）为响应习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的口号，某校在植树节到来之际，开展植树活动．学校计划购买紫薇和银杏两种树苗，相关信息如下表：
编号 名称 规格单位 单价 购买数量 预算金额（元）
紫薇 棵 （棵）
银杏 捆（棵装） （捆）
（1）若两种树苗共买棵，恰好将预算金额花完，求的值；
（2）高一年级共有学生人，老师人．若要保证师生每两人种一棵树，在预算金额不增加的情况下，最多可以购买紫薇树苗多少棵？
19．（2023七下·密云期末）科技改变世界，人工智能的蓬勃发展促使人们的生活进入了智能化时代．某部门为新的生产线研发了一款机器人，为了了解它的操作技能情况，该部门选择同一个生产动作对这款机器人的操作情况进行了测试，并将收集到的数据（测试结果）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．机器人20次测试成绩（十分制）的频数分布表如下：
成绩段（单位：分） 频数 频率
3 0.15
0.40
4 0.20
合计 20 1.00
b．机器人20次测试成绩的频数分布直方图和扇形图如下：
（说明：成绩在9.0分及以上为操作技能优秀，8.0~8.9分为操作技能良好，6.0~7.9分为操作技能合格，6.0分以下为操作技能不合格）
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中的值为　 　，的值为　 　，的值为　 　；
（2）补全频数分布直方图；
（3）扇形统计图中“成绩段”所对应的扇形的圆心角度数是　 　；
（4）如果生产出一个产品，需要完成同样的操作200次，请你估计机器人生产这个产品达到操作技能优秀的次数．
20．（2023七下·密云期末）某公益团体组织“义卖助学，奉献爱心”活动，计划购进红、白两种颜色的文化衫通过手绘设计后进行出售，并将所获利润全部捐资助学．已知该公益团体花费了2400元从批发商城购买了红、白两种颜色的文化衫100件，每件文化衫的批发价格及手绘后的零售价格如下表所示：
类别 每件批发价格（元） 手绘零售价格（元）
红色文化衫 25 45
白色文化衫 20 35
（1）该公益团体购进红、白文化衫各多少件？
（2）这批文化衫通过手绘设计后全部售出，求该公益团体“义卖助学”活动所获的利润．
21．（2023七下·怀柔期末）列二元一次方程组解应用题．
某校初一年级举行“书香润心灵，阅读促成长”活动．学校要求各班班长根据学生阅读需求统计将要购买的书类型和书籍数量，下表是初一（1）班和初一（2）班统计后的购书情况．
文学类（本/人） 科普类（本/人）
初一（1） 3 2
初一（2） 4 1
共计（本） 258 102
（1）请你根据表格信息，求初一（1）班和初一（2）班各有多少人？
（2）若学校准备为初一（1）班和初一（2）班购买文学类书籍和科将类书籍共300本，且文学类书籍不少于科普类书籍的2倍，请问最多能购买多少本科普类书籍？
22．（2023七下·怀柔期末）某学校开展居家体育训练，倡导学生在家开展体育锻炼．返校后，校学生会随机抽取了部分学生，就“平均每天开展体育锻炼所用时长”进行了调查，以下是根据相关数据绘制的统计图的一部分：
根据上述信息，回答下列问题：
（1）在本次随机抽取的样本中，调查的样本容量为　 　；
（2）m＝　 　，n＝　 　；
（3）补全频数分布直方图；
（4）如果该校共有学生2000人，请你估计“平均每天开展体育锻炼的时长不少于30分钟”的学生大约有多少人？
23．（2023七下·北京市期末）开展回收废旧电池这项活动，不仅可以提高人们的环保意识，有利于倡导低碳生活方式同时，还可以为节约能源资源，保护生态环境，多做贡献．某校环保小组成员收集废旧电池．第一天收集5节1号电池，6节5号电池，总重量；第二天收集3节1号电池，4节5号电池，总重量为.1节1号电池和1节5号电池的重量分别是多少？
24．（2023七下·通州期末）某地为了解气温变化情况，对某月中午12时的气温（单位：）进行了统计．如表是根据有关数据制作的统计图表的一部分．
分组 气温x 天数
A a
B 6
C 9
D 8
E 4
根据以上信息解答下列问题：
（1）这个月中午12时的气温在至（不含）的天数为 天，占这个月总天数的百分比为 ，这个月共有 天；
（2）统计表中的 ，这个月中12时的气温在 范围内的天数最多；
（3）求这个月中午12时的气温不低于的天数占该月总天数的百分比．
25．（2023七下·海淀期末）如图1，是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分成四个完全相同的小长方形，然后按图2的形状拼图．
(1)图2中的图形阴影部分的边长为____；(用含m、n的代数式表示)
(2)请你用两种不同的方法分别求图2中阴影部分的面积；
方法一：______；
方法二：________．
(3)观察图2，请写出代数式(m+n)2、(m﹣n)2、4mn之间的关系式：______．
26．（2023七下·东城期末）先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题．
①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为．
②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或．
（1）的解集为___________，的解集为___________；
（2）已知关于的二元一次方程组的解满足，其中是负整数，求的值．
27．（2024七下·房山期末）在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称∠Q是∠P的“t系数补角”．例如，，有，则是的“5系数补角”．
（1）若，在中，的“3系数补角”是________；
（2）在平面内，，点E为直线上一点，点F为直线上一点．
①如图1，点G为平面内一点，连接，，若是的“6系数补角”，求的大小．
②如图2，连接．若H为平面内一动点（点H不在直线上），与两个角的平分线交于点M．若，，是的“2系数补角”，直接写出的大小的所有情况（用含和的代数式表示），并写出其中一种情况的求解过程．
28．（2024七下·延庆期末）我们把关于x，y的二元一次方程，叫作数对的“伴随方程”；若是关于x，y的二元一次方程的一个解，则称数对是数对的“伴随数对”．
（1）已知数对，在数对中，是数对的“伴随数对”的是 ；
（2）若数对是数对和数对的“伴随数对”，求数对的“伴随方程”；
（3）若是n个不同的数对，满足前一个数对是后面所有数对的“伴随数对”，且n的最大值是t，如果关于x的不等式组恰好有2024个整数解，直接写出m的取值范围．
29．（2024七下·昌平期末）已知是不等式组解集中的解，若存在一个a，使，我们把这样的称为该不等式组的“关联解”，a叫做“关联系数”．
（1）当时，下列不等式组存在“关联解”的是_________．
A． B． C．
（2）不等式组的解集上存在“关联解”，若，“关联系数a”的取值范围为_________．
（3）不等式组的解集存在关联解，，若，且是整数，直接写出“关联系数a”的值_________．
30．（2024七下·西城期末）在平面直角坐标系中，已知点 (点不与原点重合)，将点称为点关于点的“倍平移点”．
（1）已知点的坐标是，
①若点，则点关于点的“倍平移点”Q的坐标是 ；
②点，，点在线段上，过点作直线轴，若直线l上存在点关于点的“2倍平移点”，求r的取值范围．
（2）点，，，，以为边在直线的上方作正方形，点在正方形的边上，且，，对于正方形的边上任意一点，若线段上都不存在点关于点的“倍平移点”，直接写出k的取值范围．
31．（2024七下·北京市期末）已知二元一次方程组的解为，在数轴上实数所对的点为，实数所对的点为，若在线段上存在个整数，则称二元一次方程组为系方程组．
（1）二元一次方程组是______系方程组．
（2）关于，的二元一次方程组是3系方程组，直接写出的取值范围．
（3）关于，的二元一次方程是2系方程组，直接写出的取值范围．
32．（2023七下·丰台期末）北京丰台站是亚洲最大铁路枢纽客站．北京丰台站交通枢纽是北京丰台站的重要配套工程，设计施工中采用了绿色建筑设计及建造技术，通过设置空气源热泵、节能灯具、高性能建材等，节约能源及建筑材料．北京丰台站交通枢纽将在2023年年内实现主体结构封顶．施工单位租用两种车型为交通枢纽运送高性能建材，若用2辆A型车和1辆B型车载满高性能建材，一次可运送10吨：用1辆A型车和2辆B型车载满高性能建材，一次可运送11吨．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都载满高性能建材，一次分别可运送多少吨？
（2）现有高性能建材31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完且恰好每辆车都载满高性能建材．
①请你帮施工单位列出所有可能的租车方案：
②若1辆A型车需租金300元/次，1辆B型车需租金320元/次，则最少的租车费是元
33．（2023七下·东城期末）在平面直角坐标系中，任取点，若满足，则称点A与点相关．
（1）判断下面各组中两点是否相关：
①，点A与点___________（填“相关”或“不相关”）；
②，点与点___________（填“相关”或“不相关”）；
（2）如图，已知正方形，其四个顶点坐标分别为，．
①称横纵坐标均为整数的点为整点，则此正方形的边上，共有___________个整点与点相关；
②设点，若正方形边上的任意一点都与点A相关，求的取值范围．
答案解析部分
1．（1）30，
（2）87分，86分，分
（3）估计得分超过86分的有100人
2．（1）4
（2）①2；②
3．（1）
（2）
4．（1）
（2）
5．（1）
（2）a，b的值分别是和1
6．（1）7，79，80
（2）36
（3）100人
7．（1）A，C，D
（2）①或；②
8．解：
去括号，得：．
移项，得：．
合并同类项，得：．
化系数为1，得：．
∴原不等式的解集为．
根据去括号，移项，合并同类项，化系数为1求出不等式的解集，再在数轴上表示即可.
9．（1）①
（2）（答案不唯一）
（3）
10．（1）（答案不唯一）
（2）
（3）
11．（1）；
（2）①②；1
12．（1）
（2）
（3）
13．解：（1）2，3
（2）设应放入大球m个，小球n个，由题意，得
，
解得：．
答：如果要使水面上升到50cm，应放入大球4个，小球6个．
（1）解：（1）设一个小球使水面升高x厘米，由图意，得3x=32﹣26，
解得：x=2．
设一个大球使水面升高y厘米，由图意，得2y=32﹣26，
解得：y=3．
所以，放入一个小球水面升高2cm，放入一个大球水面升高3cm．
（1）设一个小球使水面升高x厘米，一个大球使水面升高y厘米，根据图象提供的数据信息，建立方程和，即可求解；
（2）设应放入大球m个，小球n个，根据题意，列二元一次方程组，即可求解.
14．生产奥运会标志套，生产奥运会吉祥物套
15．（1）棉花1150吨，稻谷1530吨
（2）共有三种方案：①甲种集装箱28个，乙种集装箱22个；②甲种集装箱29个，乙种集装箱21个；③甲种集装箱30个，乙种集装箱20个．
16．解：设辆大货车一次可以运货吨，辆小货车一次可以运货吨，
依题意得：，
解得：，
∴，
辆大货车与辆小货车一次可以运货吨．
用二元一次方程组解决实际问题。
17．（1）
（2）
18．（1）解：设购买紫薇树为棵，购买银杏为棵，根据题意可得，
，
∴解得：，
∴，
∴，，
答：的值为；
（2）解：∵高一年级共有学生人，老师人，
∴树苗总共有（棵），
设最多可以购买紫薇树苗棵，银杏树苗为棵，根据题意可知，
，
解得：，
答：最多可以购买紫薇树苗棵．
（1）根据题意找出等量关系求出 ， 再解方程即可；
（2）先求出树苗总共有160棵，再求出 ， 最后求解即可。
19．（1）5；0.25；8
（2）解：补全频数分布直方图如下，
（3）
（4）解：（次），
答：估计机器人生产这个产品达到操作技能优秀的次数为120次．
解：（1）由题意可得：p=20×0.40=8（个），
m=20-8-3-4=5，n=5÷20=0.25，
故答案为：5；0.25；8；
（2）由题意可得：360°×0.40=144°，
故答案为：144°.
（1）根据统计图表中的数据计算求解即可；
（2）根据（1）所求补全频数分布直方图即可；
（3）根据题意求出360°×0.40=144°，即可作答；
（4）根据如果生产出一个产品，需要完成同样的操作200次，列式计算求解即可。
20．（1）解：设该公益团体购进红色文化衫x件，白色文化衫y件，
由题意得：，
解得：
答：该公益团体购进红色文化衫80件，白色文化衫20件；
（2）解：
（元）
答：该公益团体“义卖助学”活动所获的利润为1900元．
（1）根据题意找出等量关系，再求出 ， 最后解方程组即可；
（2）根据该公益团体购进红色文化衫80件，白色文化衫20件，再结合表格中的数据，列式求解即可。
21．（1）解：设初一（1）班有x人，初一（2）班有y人，
依题意，得：，
解得：．
答：初一（1）班有30人，初一（2）班有42人．
（2）解：设该学校购买m本科普类书籍，则购买本文学类书籍，
依题意，得：，
解得：，
∴该学校最多购买100本科普类书籍．
答：该学校最多购买100本科普类书籍．
（1）根据题意找出等量关系求出 ， 再解方程组即可；
（2）根据题意先求出 ， 再解不等式组即可。
22．（1）200
（2）20；25
（3）解：200×20%＝40（人），补全条形统计图如图所示：
（4）解：2000×（25%＋5%）＝600（人），
答：锻炼的时长不少于30分钟”学生大约有600人．
解：（1）调查的样本容量为：60÷30%=200，
故答案为：200；
（2）由题意可得：50÷200=25%，
∴n=25，
∵1-30%-20%-25%-5%=20%，
∴m=20，
故答案为：20，25.
（1）根据统计图中的数据计算求解即可；
（2）根据题意求出50÷200=25%，再求出1-30%-20%-25%-5%=20%，即可作答；
（3）先求出 200×20%＝40（人）， 再补全条形统计图即可；
（4）根据该校共有学生2000人，求出2000×（25%＋5%）＝600（人）， 即可作答。
23．解：设1节1号电池和1节5号电池的重量分别是、，
由题意得，，
解得，
答：1节1号电池和1节5号电池的重量分别是、．
根据题意找出等量关系求出 ， 再解方程组即可。
24．（1）；；；
（2）3；；
（3）
25．(1) m﹣n；(2)(m﹣n)2 ；(m+n)2﹣4mn ；(3) (m﹣n)2 =(m+n)2﹣4mn .
26．（1）；或
（2）
27．（1）
（2）①；②或或或
28．（1）
（2）
（3）
29．（1）B
（2）
（3）3，5，7
30．（1）①；②
（2）或
31．（1）1
（2）或
（3）或
32．（1）解：设1辆A型车一次可运送x吨，1辆B型车一次可运送y吨．根据题意，得：
，
解得，
答：1辆A型车一次可运送3吨，1辆B型车一次可运送4吨．
（2）解：①根据题意，得
∵x、y均为非负整数∴或或
∴有三种租车方案：
方案一：租用9辆A型车，1辆B型车；
方案二：租用5辆A型车，4辆B型车；
方案三：租用1辆A型车，7辆B型车．
②2540．
解：（2）② 方案一费用：9×300+320=3020元，
方案二费用：5×300+320×4=2780元，
方案三费用：300+320×7=2540元，
∴方案三租车费用最少，最少费用为2540元.
（1）设1辆A型车一次可运送x吨，1辆B型车一次可运送y吨，根据“ 用2辆A型车和1辆B型车载满高性能建材，一次可运送10吨：用1辆A型车和2辆B型车载满高性能建材，一次可运送11吨”列出方程组并解之即可；
（2）①由题意得，求出方程的非负整数解即得租车方案；
②分别求出每种方案的费用，再比较即可.
33．（1）①相关；②不相关
（2）①6；②或或

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