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2025年春九年级数学中考复习《二次函数》考前冲刺训练题（附答案）
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，二次函数（m为常数）的图象经过点，点、在这个二次函数的图象上，且，则该二次函数有（ ）
A．最小值 B．最小值 C．最小值2 D．最小值
2．将二次函数为常数，且的图象向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的二次函数图象经过点，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
3．如图是二次函数，，是常数，图象的一部分， 经过点，且与y轴的交点在点与之间，函数图象的对称轴为直线．下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴相交于点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．某中学校本课程“物理与数学”学习小组对一款热水器的工作电路展开研究，将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器R消耗的电功率P（单位：）随电流I（单位：）变化的关系图象如图所示，该图象是一条经过原点的抛物线的一部分．由图象可知，变阻器R消耗的电功率P的最大值为（ ）
A．230 B．225 C．215 D．220
6．如图1，在中，，动点P从点A出发沿匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，线段BP的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则点M的坐标为（　　）
A．(4，) B．(4，) C．(3，) D．(3，)
7．如图，抛物线与轴分别交于点，，与轴交于点，且．下列结论：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④方程的两个根是，．其中结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
8．将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的表达式写成的形式为 ．
9．将抛物线在轴上方的部分记为，在轴上及其下方的部分记为，将沿轴向下翻折得到，和两部分组成的图象记为．若直线与恰有个交点，则的取值范围为 ．
10．如图，在中，，，点D为边上的动点，连结并延长到点E，使，求当最大时，的最大值是 ．
11．如图，运动员投掷标枪时的运动轨迹可看作抛物线的一部分，以地面所在直线为轴，过最高点且垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．则该标枪运动轨迹的函数关系式为：，已知运动员出手点距离最高点的水平距离为 ，则该运动员投掷标枪的水平距离为 ．
12．如图，某农场拟建造由甲．乙两个矩形组成的羊圈，饲养室的一面靠长的墙AB，其余的部分用栅栏围成甲、乙两部分．已知提前准备的建筑材料可以建造长的栅栏，则该羊圈最大面积可以建造
13．如图，已知二次函数的图象顶点为，与轴交于原点和点．若在轴正半轴上有一点，使为直角三角形，则点的坐标为 ．
14．已知二次函数的y与x的部分对应值如表：
x 1 5
y 0 5 9 5
下列结论：①；②若点，均在二次函数的图象上，则；③当时，y的取值范围为；④满足的x的取值范围是．其中正确结论的序号为 ．
三、解答题
15．已知二次函数，回答下列问题：
(1)若该函数图象经过点
①求该函数图象与x轴的交点坐标；
②点向上平移2个单位长度，向右平移个单位长度后，落在二次函数图象上，求K的值．
(2)若该函数图象经过点与点，且与x轴的两个交点到点的距离均小于2，求证：．
16．某商场购进一批进价为20元/件的日用品，第一个月，按进价提高的价格出售，售出了400件．第二个月，该商场准备在不低于原售价的基础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量减少，销售量y（件）与销售单价x（元/件）（x为整数）的关系如图所示．
(1)图中点Q所表示的实际意义是__________；
(2)求出图中字母a的值，并求出y与x之间的函数解析式；
(3)第二个月日用品的销售单价定为__________元/件时，可获得最大利润，最大利润是__________元．
17．如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、点，与轴相交于点，连接、．
(1)求：，的值；
(2)当时，函数的最小值是2，求出的值；
(3)在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点且的面积为8．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值．
(3)若点G是该抛物线对称轴上的一点，且是等腰三角形，请直接写出点G 的坐标
19．如图①，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点，若点B的坐标为，点D是该二次函数图象上的一个动点，且在第一象限．
(1)求二次函数的表达式：
(2)连接，过点D作轴于点E，交线段于点F，当点D运动到什么位置时，线段有最大值？请求出点D的坐标和的最大值；
(3)连接，若关于y轴的对称图形是，是否存在点D，使得四边形为菱形？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
20．【问题背景】
如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线l由直线平移得到，与轴交于点．四边形的四个顶点的坐标分别为，，，．
【初步感知】
（1）填空：_____，_____；
【拓展探索】
（2）若点在第二象限，直线与经过点的双曲线有且只有一个交点，求的最大值；
【深入再探】
（3）当直线与四边形、抛物线都有交点时，存在直线，对于同一条直线l上的交点，直线l与四边形的交点的纵坐标都不大于它与抛物线的交点的纵坐标．当时，求的取值范围．
参考答案
1．解：∵点、在这个二次函数的图象上，且，
∴该函数图象的对称轴为，
∴，
∴，
∴该函数解析式为，
∵，
∴该函数图象的开口向上，
∴当时，该二次函数有最小值，
故选：A．
2．解：二次函数，化成顶点式为
．
∵图象向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，
∴平移后的二次函数解析式为．
∵平移后的二次函数图象经过点，
将，代入平移后的函数解析式中，得
．
．
．
解得或．
∵，
∴的值为．
故选：D
3．解：对称轴为直线，经过点，
抛物线与轴的另一个交点为，
，
，故A选项错误；
，
，
，故B选项错误；
抛物线的开口向上，
，
当时，，
，
，
，故C选项错误；
抛物线与轴的交点在点与之间，
，
当时，，
，
，
，
，
，故D选项正确，
故选：D．
4．解：设，
∵二次函数的图象过点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
令，
根据根与系数的关系知，
∴，
∴．
故选：A．
5．解：∵图象是一条经过原点的抛物线的一部分，
∴设抛物线的解析式为．
把代入得，解得．
∴抛物线的解析式为．
∵，
∴当时，最大，最大值为220，
∴变阻器消耗的电功率最大为220．
故选D．
6．解：由题意可知，当点在边上时，的值先减小后增大，当时，当时y有最小值,
∴，，
∴，，
∴
当点运动到点C时，线段达到最大，即点M的位置，
∴点的横坐标为的长度，纵坐标为的长度，
∴点M的坐标为，
故选：C．
7．解：①∵抛物线开口向上，则，
∵抛物线与轴交于点，，
∴对称轴为直线，则，
∴，
抛物线与轴交于负半轴，则
∴，故①不正确；
②∵抛物线与轴分别交于点，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
③∵，抛物线与轴交于点，且，
∴抛物线与有2个交点，
即方程有两个不相等的实数根；故③正确；
④∵，，
∴方程可化为，
∴，
解得，；故④不正确．
故选：B．
8．解：，
∵先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，
∴平移后的抛物线的表达式为，
故答案为：．
9．解：把二次函数整理成顶点坐标式，
可得：，
抛物线的顶点坐标是，
翻折后可得图象，如下图所示，
由图象可知，当时，图象与有两个交点，
当时，图象与有两个交点．
综上所述，的取值范围为 或．
故答案为：或．
10．解：以B为圆心，为半径画圆，如图，
由图形可知，当与相切时，最大，此时，
设，则，
过点B作于点F，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，即时，有最大值为18．
故答案为：18．
11．解：将代入，
，
解得：（舍去）
又∵运动员出手点距离最高点的水平距离为 ，
∴该运动员投掷标枪的水平距离为米
故答案为：．
12．解：设宽为x米，则长为米，
则，
解得：
由题意得：，
∵，
∴当时，取得最大值，
即该羊圈最大面积可以建造，
故答案为：48．
13．解：设点的坐标为，，
∵，
∴，
令，则，
解得或，
∴，
∴，
，
，
①当为斜边时，，
解得或，
∴点的坐标为或；
②当为斜边时，，
解得(舍去)；
③当为斜边时，，
解得，
∴点的坐标为；
综上点的坐标为或或，
故答案为：或或．
14．解：把，，代入得，
，
解得，
∴，故正确；
∵，
∴点，关于对称轴对称，
∴，故正确；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴抛物线的顶点坐标为，
又∵，
∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，函数取最大值，
∵与时函数值相等，等于，
∴当时，的取值范围为，故错误；
由得，
即，
画函数和图象如下：
由，解得，，
∴，，
由图形可得，当或时，，即，故错误；
综上，正确的结论为 ，
故答案为： ．
15．解：（1）①把代入得，
解得，
，
∴当时，
解得，，
∴该函数图象与x轴的交点坐标为和；
②点向上平移2个单位长度，向右平移k个单位长度后得，
代入得：，
，；
（2）把、代入得：
图象与x轴的交点和之间的距离为2，
到和的距离均小于2
，
，
，
∴．
16．（1）解：图中点Q所表示的实际意义是：
当售价定为35元件时，销售数量为300件；
（2）由题意可得：，
设与之间的函数表达式为，
将点、代入中，
得：，，
与之间的函数表达式为；
（3）设第二个月的利润为元，
由已知得：，
在中，
当时，，
自变量的取值范围为，
，
当时，取最大值，最大值为4500．
故第二个月的销售单价定为35元时，可获得最大利润，最大利润是4500元．
17．（1）解：由题意得：，
则，则，
抛物线的解析式为：，
则；
（2）解：当时，，
解得，，
点，
当时，，
点．
由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，
当时，函数的最小值是2，即时，函数取得最小值，
则，则（舍去），
∴的值为；
（3）解：存在点，理由如下：
∵，，
∴，
，
①当点在左侧时，如图，在轴上取点，延长交抛物线于点，
在和中，
，，，
，
，
，
设直线的解析式为，
由点、的坐标得，直线的解析式为，
联立上式和抛物线的表达式得：，
则（舍去）或，故点；
②当点在右侧时，如上图，作关于的对称，交二次函数于点，
则，，，
，
，
四边形是正方形，
，
令中，，则，
解得或，
，，
，，
，
，
，
在点抛物线上，即点满足条件，
故存在满足条件的点有两个，分别为：或．
18．（1）解：∵，
∴，
∵的面积为8，
∴，解得，
∴，
将，代入得：
，解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：设直线为，将代入得：，解得，
直线为，
，，D是中点，
，
过点P作轴交于点Q，如图：
设，则，
，
，
，，
时，有最大值，最大值为2；
即面积的最大值是2；
（3）解：由得抛物线的对称轴为直线，
根据题意，设，
∴，，，
若是等腰三角形，分三种情况：
当时，，
则，解得，不合题意，舍去；
当时，，
则，解得，此时；
当时，，
则，解得或，
此时或，
综上，满足条件的点P的坐标为或或．
19．解：（1）将，分别代入，
得
解这个方程组，得
所以二次函数的表达式为．
（2）设，
由，，可得直线的表达式为，
则，
∴
当时，，
故点D的坐标为时，的最大值为4．
（3）存在，理由如下：
如图，连接，交于点M，
设点，
若四边形为菱形，
则，，
∴，
∴，即，
解得，
∵点D在第一象限，
故当点D的坐标是时，四边形为菱形．
20．解：（1）将点，代入函数解析式得
解得
故答案为：，；
（2）对于，当，
∴，
设直线的解析式为，
∵直线经过和，
∴，解得，
∴直线：．
∵直线平移得到直线，且直线与轴交于点，
∴直线：，
∵双曲线经过点，
∴，
∴．
∵直线与双曲线有公共点，
联立解析式得：，
∴，
整理得：，
∵直线与双曲线有且只有一个交点，
∴，
即，
整理得：，
化简得：，
∴，
∵点在第二象限，
∴，
解得，．
∵，
∴当时，可以取得最大值，最大值为2．
（3）解：如图1，当直线与抛物线有交点时，联立直线与抛物线的解析式.
得：，
得：，
整理得：，
∴，
即，
∴，
当时，直线：与抛物线有且只有一个交点．
①当时，四边形的顶点分别为，，，．
第一种情况：如图2，当直线经过时，此时与重合.
∴时，直线与四边形，抛物线都有交点，且满足直线与矩形的交点的纵坐标都不大于与抛物线的交点的纵坐标．
第二种情况：当直线经过点时，如图3所示.
，解得，，
当直线经过点时，如图4所示
，解得，，
∴，
综上所述，的取值范围为：或．

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