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观山湖区美的中学2025年义务教育质量提升检测试卷
九年级 数学
全卷共 8页，三个大题,共 25 题,满分 150 分.考试时间为 120 分钟.考试形式闭卷.
一、选择题（每小题 3分,共 36分.每小题均有 A,B,C,D四个选项,其中只有一个选项正确）
1.下列各数中，是负数的为 （ ）
A 2． B．0 C．﹣3 D．2
3
2.若等式 a3+□＝3a3成立，则“□”中填写的单项式是 （ ）
A．2 B．2a3 C．﹣2a3 D．4
3.某几何体的三视图如图所示,则该几何体为 ( )
4.大多斜拉式大桥采用三角形盖梁支架,这样做的原理是 ( )
A.三角形的稳定性 B.三角形任意两边之和大于第三边
C.垂线段最短 D.三角形任意两边之差小于第三边
5.不等式 3x≥x﹣4的解集是 （ ）
A．x≥﹣2 B．x≤﹣2 C．x＞﹣2 D．x＜﹣2
6.某校学生期末操行评定奉行五育并举，德智体美劳五方面按 3∶2∶2∶1∶2确定最终成绩，
小星本学期五方面得分如图所示，则小星期末操行最终得分为 （ ）
A．9.2 B．9.3 C．9.1 D．9.4
7.已知 a﹣b＝5，ab＝3，则（a+1）（b﹣1）的值为 （ ）
A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．3
8.如图，在△ABC中，以点 A为圆心，适当长为半径画弧，交 BC于点 D，E，再分别以点 D，
E 1为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 F，作射线 AF交 BC于点 G，可得线
2
段 AG一定是△ABC的 （ ）
A．中线 B．高 C．角平分线 D．垂直平分线
（第 8题） （第 9题） （第 10题）
9.数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有 4个白球、3个
红球、2个黄球和 1个黑球，这些球除颜色外无其他区别．从袋子中随机取出一个球，某
一颜色的球出现的频率如图所示，则该球最有可能是 （ ）
A．黑球 B．红球 C．黄球 D．白球
10.俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”
其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设
每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，设每天“遗忘”的百分比为 x，则
x满足的方程是 （ ）
A．（1+0.5x）＝0.5 B．（1﹣0.5x）2＝0.5
C．（1+x）2＝0.5 D．（1﹣x）2＝0.5
11.七巧板又称七巧图,是中国民间流传的智力玩具.如图是由七巧板拼成的正方形,将其放入
平面直角坐标系中,若点 A与点 B关于原点成中心对称,且 B(-1,-1),则点 C的坐标为（ ）
A.（-2,2） B.（2,-2） C.（1,-1） D.（-1,1）
12.如图，在 Rt△AOB 中，AB⊥OB，且 AB=OB=3，设直线 x=t 截此三角形所得阴
影部分的面积为 S，则 S与 t之间的函数关系的图象为下列选项中的 （ ）
A B C D
二、填空题（每小题 4分,共 16分）
13.计算（ 2）2的结果是 .
14.玻璃瓶中装入不同量的水,敲击时能发出不同的音阶.实验发现,当水面高度与瓶高之比为
黄金比(约等于 0.618)时,可以敲击出音阶“sol”.如图,若瓶高 AB=10 cm,且敲击时发出音阶
“sol”,则液面高度 AC约为 cm.
（第 14题） （第 16题）
15.下列表格中给出的几组数都是关于 x,y的二元一次方程 ax-by=3的解,表格中 m的值
为 .
x 0 1 2 5
y 3 1 -1 m
16. ABCD tan = 24如图，菱形 中， ．点 P是菱形内一点，且 PA＝10，PB＝5，PC＝8，则
7
菱形 ABCD的边长为 ．
三、解答题（本大题共 9题,共 98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本题满分 12分）
（1 3）计算： 27 cos 60° ( 1)0．
2 1
2 1
（ ）先化简(1 ) ÷ ，再从﹣2，﹣1，1，2中选择一个合适的 a的值代入求值．
+2 +2
18.（本题满分 10分）
某校从甲、乙两名学生中选一名参加市小数学家评比，该校将甲、乙两人的 6次测
试成绩绘制成如下统计图，并对数据统计如下表：
学生 平均分（分） 中位数（分） 方差
甲 95 ▲ 4
乙 ▲ 95 5
（1）这 6次测试中，成绩更稳定的学生是 （填“甲”或“乙”）；甲学生成绩的中位数
为 分；
（2）求乙学生成绩的平均分；
（3）学校为了在小数学家评比中尽可能取得好成绩，请你从相关统计量和统计图进行分析，
并给出合理的选择建议．
19.（本题满分 10分）
如图，在平行四边形 ABCD中，∠BDC＝90°，E是 AD边上一点，延长 BE与 CD
的延长线交于点 F，连接 AF．
（1）请从下列条件中选择一个能证明四边形 ABDF是矩形的条件，并写出证明过程.
①AE＝DE；②BF＝BC．
（2）在（1）的条件下，若 AB＝3，AD＝5，
求四边形 ABCF的面积．
20.（本题满分 10分）
为响应国家“双碳”目标，某市加快新能源汽车充电桩布局．现有甲、乙两支专业安装
队参与充电桩铺设，信息如下：
信息一 信息二
安装队 每天安装个数（台）每天安装成本（元） 甲队完成某区域 600个充电桩的安装所需天数，
甲 x+20 5000 与乙队完成同区域 400个充电桩的安装所需天
数相等．
乙 x 3000
（1）求 x的值；
（2）某项目要求甲队先单独施工若干天，再由乙队单独继续施工，总工期为 20天，且
安装总量不少于 1000个，求该项目安装成本的最小值．
21.（本题满分 10分）
如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板 ABC（∠BCA＝90°）放在第二
象限，斜靠在两坐标轴上，点 C的坐标为（﹣1，0），点 A的坐标为（0，2），一次函数
y＝kx+b的图象经过点 B，C，反比例函数 = 的图象也经过点 B．

（1）求反比例函数的解析式；
2 x 0 （ ）直接写出当 ＜ 时， + ＜0的解集.

22.（本题满分 10分）
某综合实践活动小组，尝试通过利用无人机（无人机限高 120米）测算某山体的海
拔，设计了如下两种方案．
测量示意图 方案说明
无人机位于海拔为 60米的 C处，测得与山顶 A处的
仰角α为 45°，与山脚 D处的俯角β为 65°．
方案一 （参考数据：sin65°≈0.90，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）
当无人机位于海拔为 60米的 C处时，测得与山顶 A
处的仰角γ为 45°；当无人机垂直上升到海拔为 113
米的 G处时，测得与山顶处 A的仰角θ为 25°．（参
方案二
考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.90，tan25°≈0.47）
（1）请你选择其中一种可行的测算方案是 ；（填“方案一”或“方案二”）
（2）在（1）的条件下，计算该山体的海拔（AB的长）．（结果精确到 1米）
23.（本题满分 12分）
如图，在△ABC中，AB＝AC，以 AB为直径作半圆 O，交 BC于点 D，交 AC于点 E．
（1）求证：BD＝CD．
（2）若连接 OD，OE，∠DOE＝50°，求∠C的度数．
（3）过点 D作 DF⊥AB于点 F，若 BC＝16，AF＝3BF，求弧 BD的长．
24.（本题满分 12分）
体育课上，甲、乙两名学生站在一排，同时在同一高度处抛出相同品质的铅球，两
只铅球的运动路径都可抽象为抛物线的一部分，为研究两个铅球的运动情况，将从侧面
看到的两铅球运动情况画在同一直角坐标系中，x轴为地面，出手点在与地面垂直的 y
轴上，单位长度为 1m，如图，两只铅球出手时和落地时的位置相同，乙抛出的铅球总
在甲抛出的铅球的正上方，甲抛掷的铅球的路径为抛物线 y＝ax2+bx+1.6的一部分，铅
球落地时，离出手点的水平距离是 8m，铅球运行的水平距离为 3m时达到最大高度，乙
抛掷的铅球在距出手点水平距离为 3.5m时达到最大高度．
（1）求甲抛掷的铅球运行路径所在抛物线的表达式；
2 49（ ）若 0≤x≤k时，乙铅球的最大值与最小值的差总为 m，求 k的取值范围；
20
（3）求两个铅球之间距离的最大值并求此时铅球运行的水平距离．
25.(本题满分 12分)
图 1 是一张三角形纸片 ABC，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，沿垂直于斜边
AC 的方向裁剪一刀（裁剪线为 MN），会分得两个图形．
（1）【操作发现】
当裁剪线 MN 恰好经过顶点 B 时，如图 2，求 MN 的长；
（2）【思考操作】
要使经过沿 MN 裁剪的三角形纸片 ABC，分得的其中一个图形为轴对称
图形 .
①小星想出了一个作法：先作出∠C 的平分线 CN 交 AB 于点 N，如图 3，
再过点 N 沿垂直于 AC 的方向裁剪，得到的四边形 BCMN 一定是轴对称图
形．在图 3 中，请用无刻度的直尺和圆规过点 N 作出 AC 的垂线 MN，垂足
为点 M（保留作图痕迹，不写作法）；
②试对 CB 与 CM 相等进行说理，并求出裁剪线 MN 的长．
（3）【拓展延伸】
在（2）的情形中，小红说：“裁剪线 MN 还应有另一个不同的值．”请画
出图形并求出 MN 的长．
备用图参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B C A A C B B C D A D
二、填空题
13.2
14.6.18
15.-7　 由表格可知,当x=0时,y=3;当x=1时,y=1,代入ax-by=3,得解得∴2x+y=3.当x=5时,2×5+y=3,解得y=-7,即m=-7.
16. ∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠D＝∠ABC.将△BPC绕点B逆时针旋转使点C与点A重合，点P的对应点为点E，连接EP交AB于点O，过点E作EF⊥PB于F，过点B作BH⊥PE于H，如图.由旋转的性质可知△BEA≌△BPC，∴∠ABE=∠CBP，EB＝PB＝5，EA＝PC＝8，∴∠EBP=∠ABC.∵tanD，∠D＝∠ABC，∴tan∠ABC.在Rt△BEF中，tan∠EBP，∴.设EF＝24k，BF＝7k，由勾股定理得EF2+BF2＝BE2，即（24k）2+（7k）2＝52，解得k（负值已舍去），∴EF＝24k，BF＝7k.∵PF＝PB﹣BF＝5.在Rt△EFP中，由勾股定理得PE6.
∵S△BEPPE BHPB EF，∴PE BH＝PB EF，即，∴BH＝4.∵EB＝PB＝5，BH⊥PE，∴EH＝PHPE＝3.∵AE＝8，PE＝6，PA＝10，∴PE2+AE2＝PA2，∴△PAE为直角三角形，即∠AEP＝90°，∴∠AEO＝∠BHO＝90°.∵∠AOE＝∠BOH，∴△AOE∽△BOH，∴ ＝2，∴AO＝2BO，EO＝2OH.∵EH＝3，∴EO＝2，OH＝1.在Rt△BOH中，由勾股定理得BO，∴AO＝2BO，∴AB＝AO+BO，∴菱形ABCD的边长为．
三、解答题
17.【参考答案】
（1）
(3分)
． (6分)
（2）
. (3分)
∵a+2≠0，a2﹣1≠0，
∴a≠﹣2，±1，
当a＝2时，原式． (6分)
18.【参考答案】（1）甲 95.5 (4分)
（2）乙成绩的平均分为：×（97+98+91+95×2+94）=95（分）. . (7分)
（3）建议选甲参加市小数学家评比，理由如下：
两人是平均数相同，但甲6次测试成绩的方差比乙小，且甲每次的成绩稳中有进，所以建议选甲参加市小数学家评比．（答案不唯一） (10分)
19.【参考答案】（1）选①． (1分)
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∴∠ABE＝∠DFE.. (2分)
在△ABE和△DFE中，
∴△ABE≌△DFE（AAS），∴AB＝DF.. (3分)
∵AB∥DF，AB＝DF，
∴四边形ABDF是平行四边形.
∵∠BDC＝90°，∴∠BDF＝90°，∴四边形ABDF是矩形. (5分)
（选②的答案略）
（2）∵四边形ABDF是矩形，∴AB＝DF. (6分)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∴AB＝DF＝CD＝3，
∴CF＝DF+CD＝3+3＝6. (7分)
在Rt△BDC中，BC＝AD＝5，CD＝3，
∴BD4. (8分)
∵AB∥CF，∴四边形ABCF的面积BD（AB+CF）4×（3+6）＝18. (10分)
20.【参考答案】（1）由题意得， (2分)
解得x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，
答：x的值为40. (5分)
（2）设甲队单独施工m天，则乙队单独施工（20﹣m）天，
由题意得（40+20）m+40（20﹣m）≥1000，
解得m≥10. (7分)
设该项目安装成本为w元，
由题意得w＝5000m+3000（20﹣m）＝2000m+60000.
∵2000＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝10时，w有最小值，最小值为2000×10+60000＝80000.
答：该项目安装成本的最小值为80000元． (10分)
21.【参考答案】（1）如图，过点B作BF⊥x轴于点F，则∠BFC=90°.
∵∠BCA＝90°，
∴∠BCF+∠ACO＝90°． (2分)
∵∠CAO+∠ACO＝90°，∴∠BCF＝∠CAO.
∵∠BFC＝∠COA＝90°，BC＝AC，
∴△BFC≌△COA（AAS），∴CF＝OA＝2，BF＝OC＝1，
∴点B的坐标为（﹣3，1）. (5分)
将点B的坐标代入反比例函数的解析式可得1，
解得m＝﹣3，
故反比例函数的解析式为y. (7分)
（2）结合点B的坐标及图象，
可得当x＜0时，的解集为﹣3＜x＜0. (10分)
22.【参考答案】（1）方案二. (2分)
（2）由题意得四边形GCEH和四边形CFBE都是矩形，
∴BE=CF=60,HE=CG=113-60=53,GH=CE.
∵∠ACE＝45°，∠AEC＝90°，
∴AE＝CE. (4分)
∵∠AGH＝25°，∠AHG＝90°，
∴，
∴， (7分)
∴，
∴AB＝AE+EB＝CE+CF＝100+60=160，
∴该山体的海拔约为160米． (10分)
23.【参考答案】（1）证明：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BD.
∵AB＝AC，∴BD＝CD. (3分)
（2）∵∠DOE＝50°，
∴∠CAD50°＝25°，
∴∠C＝90°﹣25°＝65°. (7分)
（3）解法一：如图，连接OD，
∵AF=3BF,
∴OF=BF.
∵DF⊥AB,
∴易得△OFD≌△BFD,
∴OD=BD=BC=8,
∴OD=BD=OB,
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BOD=60°，
∴的长为.
解法二：由（1）知BD=CD=BC=8，如图，连接OD，
∵DF⊥AB，BD⊥AD，
∴∠BFD＝∠BDA＝90°.
∵∠B＝∠B，∴△BDF∽△BAD， (8分)
∴.
设BF＝x，则AF＝3x，∴AB＝4x，
∴，解得x＝4（负值已舍去），
经检验x＝4是原方程的根，
即BF＝4，
∴AC＝AB＝4x＝16. (10分)
∵OA＝OB，BD＝CD，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，ODAC＝8，
∴OD＝BD＝OB＝8，
∴△BOD是等边三角形，∴∠BOD＝60°，
∴弧BD的长为π． (12分)
24.【参考答案】（1）∵甲抛掷的铅球的路径为抛物线y＝ax2+bx+1.6的一部分，
铅球运行的水平距离为3m时达到最大高度，
∴，即b＝﹣6a，∴y＝ax2﹣6ax+1.6．
将（8，0）代入表达式，得64a﹣48a+1.6＝0，
解得 a＝﹣0.1，
∴b＝0.6， (3分)
故甲抛掷的铅球运行路径所在抛物线的表达式为y＝﹣0.1x2+0.6x+1.6. (4分)
（2）根据题意可设乙抛掷铅球时，铅球运动路径所在抛物线的表达式为y乙＝mx2+nx+1.6，
由题意知，该抛物线的对称轴为直线 x＝3.5，且该抛物线经过点（8，0），
则n＝﹣7m，
∴y乙＝mx2﹣7mx+1.6.
∵铅球落地时，离出手点的水平距离是8m，
将（8，0）代入y乙＝mx2﹣7mx+1.6，得64m﹣56m+1.6＝0，
解得m＝﹣0.2，
∴y乙＝﹣0.2x2+1.4x+1.6＝﹣0.2（x﹣3.5）2+4.05. (6分)
∵﹣0.2＜0，∴当x＝3.5时，y取最大值，最大值为4.05.
∵4.05﹣1.6，（0，1.6）的对称点为（7，1.6），
∴当3.5≤k≤7时，乙铅球的最大值与最小值的差总为 m. (8分)
（3）两个铅球之间的距离＝y′﹣y
＝﹣0.2x2+1.4x+1.6﹣（﹣0.1x2+0.6x+1.6）
＝﹣0.1x2+0.8x
＝﹣0.1（x﹣4）2+1.6， (10分)
∵﹣0.1＜0，∴当x＝4时，两个铅球之间距离取最大值，最大值为1.6m．
答：两个铅球之间距离的最大值为1.6m，此时铅球运行的水平距离为4m． (12分)
25.【参考答案】（1）∵∠B=90°，AB=6，BC=8，
∴AC==10. (1分)
∵S△ACB=AB BC=AC MN，
∴AB BC=AC MN，
∴6×8=10MN，
∴MN=4.8. (3分)
（2）①尺规作图如图所示.
(5分)
②∵CN平分∠ACB，NB⊥BC，NM⊥AC，
∴NB=NM.
又CN=CN，
∴Rt△BCN≌Rt△MCN（HL），
∴CB=CM．
设MN=BN=x,则AN=BA-BN=6-x,BC=CM=8，
∴AM=2.
在Rt△AMN中，由勾股定理，得x2+22=（6-x）2，
解得x=，
裁剪线MN的长为. (8分)
（3）如图，四边形ABNM是轴对称图形，
(10分)
∵△ABN与△AMN关于AN成轴对称，
∴AB=AM=6，BN=MN，∠ABN=∠AMN=∠NMC=90°，
∴CM=AC-AM=10-6=4.设MN=BN=x,则CN=BC-BN=8-x,
在Rt△CMN中，由勾股定理，得x2+42=（8-x）2，
解得x=3，
∴MN=3． (12分)

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