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中考观察归纳型专项练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在同一平面内有条直线，，，，如果，，，，，依此类推，那么与的位置关系是( )
A. 垂直 B. 平行 C. 垂直或平行 D. 重合
2.用小棒摆图形，如图，第个图用根小棒，第个图用根小棒，第个图用根小棒，，按这样的规律摆下去，第个图用根小棒．
A. B. C. D.
3.将一个边长为的等边三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作等边三角形，并擦去中间一段，得图，如此继续下去，得图不断重复这样的过程，便产生了雪花曲线．记为下图中第个图形的面积，则等于 ( )
A. B. C. D.
4.如图，在平面直角坐标系上有点，点第一次跳动至点，第二次点向右跳到点，第三次点跳到点，第四次向右跳动个单位至点依此规律跳动下去，点第次跳动至点的坐标是( )
A. B. C. D.
5.如图，，以为直角边作，使，再以为直角边作，使，，依此法继续作下去，则的长为
A. B. C. D.
6.小明用相同的积木玩一个拼图游戏，该积木每个角都是直角，长度如图所示，小明用个这样的积木，按照如图所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙则图形的总长度与图形个数之间的关系式为( )
A. B. C. D.
7.如图，长方形的各边分别平行于轴或轴，物体甲和物体乙分别由点同时出发，沿长方形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以个单位长度秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以个单位长度秒匀速运动，则两个物体运动后的第次相遇地点的坐标是( )
A. B. C. D.
8.一只跳蚤每秒跳一格，起点处用有序数对表示为，按如图所示的规律一直跳下去，第秒时跳蚤的位置用有序数对表示为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题。
9.计算：__________．
10.如图，双曲线与直线相交于点，，在直线上取点，，，，，，，依次以，，，为对角线分别向外作左、右一组对边垂直于轴的矩形，，，。矩形的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：，，，矩形的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：，，，矩形的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：，，，。按此规律，则点的坐标为 。
11.为了书写简便，世纪数学家欧拉引进了求和符号“”其中，且和表示正整数，例如：，，若，则 ______．
12.如图，将一根绳子按如图方式剪开，剪刀，绳子变成段；剪刀，绳子变成段；剪刀，绳子变成______段；剪______刀，绳子变成段．
13.下表中每行所给的三个数，，均满足，则根据表中已有数据的规律，可得出：当时，的值为 ，的值为 ．
，， ，， ，， ，，
三、解答题：本题共13小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14．观察下列等式：
；
；
；
这些等式反映了某种规律．
请你写出第个等式 ______________________________，
试用含，且为正整数的式子，表示你发现的规律，并证明你发现规律的正确性．
15.
观察下列等式：
将以上三个等式两边分别相加得：
猜想写出 ______；
计算；
探究计算．
16.
观察下列等式．
第个等式：
第个等式：
第个等式：
．
根据以上规律，解决下列问题．
计算：
请写出第个等式： 用含的式子表示，且为正整数
若，且，均为正整数，求的值．
17.
【教材呈现】
探究人教版初中数学七年级上册页的活动自然数被整除的规律．
在小学，我们知道像，，，，，这样的自然数能被整除一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被整除，那么这个自然数能被整除你能说出其中的道理吗？
先来看两位数的情形．
若一个两位数的十位，个位上的数字分别为，，则通常记这个两位数为于是显然能被整除，因此，如果能被整除，那么就能被整除，即能被整除．
请你用类似的方法表示三位数，四位数，并说明前面结论的道理，你还可以继续研究五位数情形吗？
【方法运用】
我们用表示一个三位数其中，，分别表示百位，十位，个位上的数，即若能被整除，则能被整除．
证明：
______ ______，
又和能被整除，能被整除，
能被整除．
若四位数能被整除，则的值为______．
【类比应用】
已知三位数中，能被整除，求证：能被整除．
【拓展提升】
当五位数能被整除时，直接写出的值．
18.
化学中把仅有碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烃如图，这是部分碳氢化合物的结构式，第个结构式中有个和个，分子式是；第个结构式中有个和个，分子式是；第个结构式中有个和个，分子式是按照此规律，回答下列问题．
第个结构式的分子式是______；
第个结构式的分子式是______；
试通过计算，说明分子式为的化合物是否属于上述的碳氢化合物？
19.
将整数，，，，按下列方式排列成数表，用斜十字框“”框出任意的个数如图，如果用，，，，处于斜十字中心表示类似“”形框中的个数，记．
若最小，那么 ______，若最大，那么 ______；
用等式表示与之间的关系______；
若，求的值；
能等于吗？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
20.
【感知】，
．
【应用】计算：；
【拓展】填空： ______为整数，
______．
方程的解为______．
21.
在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：
，，
，．
根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式： ．
用合理的方法计算：．
22.
观察以下等式：
第个等式：， 第个等式：，
第个等式：， 第个等式：，
按照以上规律，解决下列问题：
写出第个等式：________；
写出你猜想的第个等式：________用含的等式表示，并证明．
23.
【填空】点是平行四边形的边上一点，连接并延长交的延长线于点，已知平行四边形的面积为．
若，如图，则的面积为；
若，如图，则的面积为______用含的式子表示，下同；
若，如图，则的面积为______；
【论证】请选用【填空】中或中的一种情况，证明你的结论；
【猜想】观察【填空】中的结论，发现规律，猜想若，则的面积为______用含和的式子表示，不用说理．
24.
综合与实践：根据以下素材，探索解决问题：
素材一：据国际田联田径场地设施标准手册，米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成，有条跑道，每条跑道宽米，直道长米：跑道的弯道是半圆形，跑道第一圈最内圈边线弯道半径为米到米之间．
素材二：某校根据国际田联标准和学校场地实际，建成第一圈最内圈边线弯道半径为米的标准跑道如图按田径竞赛规程规定：第一分道计算线又称运动员的实跑线是距离内突沿外沿米计算，其余各条分道计算线是距离里侧分道线外沿米处计算举例：
第一分道米；
第二分道米；
第三分道米；
第四分道米，
问题解决：
小明同学计算的第分道 ______米；化简后的式子含
小明同学在为学校运动会规划比赛场地时，需要画出米跑道的平面示意图，若小明选取的比例尺是：，那么直道长米的图上距离是______取整数；
小明同学在为米跑的选手划定起跑位置时，第道选手应在第一道选手的起跑位置基础上向前延伸______米取，结果取整数；
暑假第一天，小明与小亮晨练时，两人从第一分道起跑线的同一位置同时出发，小明以米秒的平均速度沿着第一分道实跑线逆时针跑步小亮沿着第一分道实跑线顺时针慢跑，平均速度是小明的平均速度的一半，请直接写出两人在第二次相遇前相距米的时间第一分道实跑线长度取米．
25.
观察以下等式：
第个等式：．
第个等式：．
第个等式：．
第个等式：．
按照以上规律，解决下列问题：
写出第个等式： ．
写出第个等式： ．
写出你猜想的第个等式用含的式子表示．
26.
【问题背景】
在古代，人们通过观察日出日落时间来确定二十四节气、安排农事活动某校综合实践小组希望通过建立数学模型来探究年某地在冬至日前后昼长的变化规律．
【数据收集】
研究小组收集了如下几个节气的数据：
日期 日出时间 日落时间 白昼时长
日落时间日出时间小时
月日立冬 ： ：
月日小雪 ： ：
月日大雪 ： ：
月日冬至 ： ：
月日小寒 ： ：
月日大寒 ： ：
月日立春 ： ：
【建立模型】
从月日开始的每天记作一个单位时间，记为时间，白昼时长记为单位：小时，列出表格，并在直角坐标系中描出表格中各对数值所对应的点，然后连接这些点，画出该函数的图象如图实践小组观察曲线发现，可以用抛物线近似地刻画与的关系．
任务：请求出以点为顶点，且过点的抛物线的解析式；
【反思优化】
经检验，发现图中有其他的点不在任务中的抛物线上，存在偏差小组决定利用以下方法优化函数解析式，减少偏差选取为，，，，，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与表格中对应的值之差的平方和若的值越小，则偏差越小．
任务：请求出的值，使得的值最小；
【模型应用】
很多智能手机开发了护眼模式，可以识别日出、日落时刻，并在黑夜时长内开启该模式．
任务：请利用任务中优化后的函数解析式来推测年月日年月日期间手机开启护眼模式时长即黑夜时长超过小时的天数．
白昼时长黑夜时长小时，参考数据：，
第14页，共14页答案解析
【答案】
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.

14.
解：
证明：
；
15. ；
；
．
16. 解：；
．
；
，
，，
，，
．
17.
18.
19. ，；
；
；
不能，理由见解析．
20. ；
，；
．
21. 【小题】

【小题】
解：原式．

22. 解：；
第个等式：， 第个等式：，
第个等式：， 第个等式：，
第个等式为：；
第个等式为：；
，
猜想第个等式为：；
证明：左边，
右边，
左边右边，
等式成立．
23. ；
；
【论证】证明见解析；
【猜想】．
24. ； ； ； 两人在第二次相遇前相距米的时间为秒或秒或秒或秒．
25. 解：
结合规律猜想第个等式：
为正整数，
证明：左边右边，
即成立．
26. 任务：；任务：；任务：天．
【解析】
1. 解：，，，，，
，，，
以此类推，从开始，每条直线是一个循环，与每个循环内的条直线的位置关系依次是垂直、垂直、平行、平行，
，
，
与的位置关系是平行．
故选B．
2. 解：第一个图中小棒数为根，
第二个图中小棒数为根，
第三个图中小棒数为根，
第四个图中小棒数为根，
第五个图中小棒数为根，
则第个图中小棒数为：根，
由题意得：，
解得：，
故选：．
根据图形变化规律发现发现每多个四边形就多根小棒，归纳列出代数式，进而列方程即可解答．
本题主要考查数与形结合的规律，根据图形变化规律发现每多个四边形就多根小棒是解本题的关键．
3. 解：初始三角形的面积为，
第一次操作后，增加了个边长为的等边三角形，
所以面积，
第二次操作后，增加了个边长为的等边三角形，
所以面积
4. 【分析】
本题考查了规律型中点的坐标变化，根据点的坐标变化找出变化规律“”是解题的关键．
根据图中给定的点的坐标：，，，，，即可找出规律“”，依此规律即可得出结论．
【解答】
解：观察图形可知：，，，，，
．
，
点的坐标是．
故选：．
5. 解：，，，
，
由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
，
同理：，，
，，
的长，
故选：．
6. 解：当时，，
当时，，
当时，，
，
图形的总长度与图形个数之间的关系式为．
故选：．
根据变量之间的变化规律解答即可．
本题考查函数关系式、图形的变化规律，找到变量之间的变化规律是解题的关键．
7. 解：设两物体第次相遇时运动了秒
，，秒，
甲共行走个单位长度，圈，
个单位长度，甲到达．
8. 本题考查坐标类规律探索，先根据图形找到点的变化规律，再求出周期，即可求解．
【详解】解：由图可得：从起点开始，坐标依次为，，，，，，，，，，
纵坐标的循环周期为，
，
纵坐标为，
横坐标每个周期增加，
横坐标为：，
即第秒时跳蚤的位置用有序数对表示为，
故选：．
9. 【分析】
此题主要考查了数字的变化类问题，解答此题的关键是将原式灵活变形．首先把每个加数化成两个分数的差的形式，然后再计算即可．
【解答】
解：不妨令，
且有，
则将上面两个式子对应项相加得，
所以．
由上可知
．
故答案为．
10. 解：点，，，，，在直线上，
把横坐标代入直线方程可得：
对于，；
对于，；
对于，；
对于，
每一个矩形有个交点，，即到为矩形的交点，到为矩形的交点；
，
是第个矩形的第一个交点从第一象限逆时针数，
由前面点的坐标规律可知，第个矩形中，的横坐标为，
的横坐标为，
是第个矩形在第一象限的第一个交点，且该矩形的边垂直于轴，
的横坐标与的横坐标相同，即为，
在双曲线上，
把代入双曲线方程可得，
综上所述，点的坐标为
故答案为
11. 解：，
，
，
，，
．
故答案为：．
根据题目中的式子，可以将展开，从而可以得到和的值，本题得以解决．
本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出、的值．
12. 解：每剪刀，绳子的段数增加段，
剪为正整数刀时，段．
当时，段；
当剪得段时，，
解得：，
剪刀，绳子变为段；若绳子剪开后，正好剪得段，则剪了刀．
故答案为：，．
根据剪法，可得出剪为正整数刀时，绳子变成段，代入，可求出剪刀时绳子的段数，由剪得段，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值．
本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，熟练掌握以上知识点是关键．
13. 略
14. 【分析】
本题考查的是数式规律有关知识
根据题目的规律进行解答
根据题目的规律找出含，且为正整数的式子，最后再证明
【解答】
解：由题意可得：第个等式为
见答案
15. 解：，
，
，
，
；
原式
；
，
，
，
原式
．
观察等式，找到规律即可求解；
将中的式子两边分别相加即可求解；
根据，，，将以上式子两边分别相加，进而即可求解．
本题考查了数字的变化规律，找到式子的规律，利用有理数的运算法则进行计算是解题的关键．
16. 详细解答和解析过程见【答案】
17. 解：证明：，
又和能被整除，能被整除，
能被整除；
故答案为，．
由题意得：，
由条件可知能被整除，
；
故答案为：；
，且能被整除，
能被整除．
，且五位数能被整除，
能被整除，
或．
根据题意可直接进行求解；
由可知能被整除，然后问题可求解；
由题意得，且能被整除，进而问题可求解；
由，且五位数能被整除可进行求解．
本题主要考查整式加减的应用，解题的关键是理解题意．
18. 解：第个结构式有个，有个，
第个结构式的分子式是．
故答案为：．
由得，第几个结构式就有几个，且的个数比的个数的倍多个，
第个结构式的分子式是．
故答案为：．
令时，则，
分子式为的化合物属于上述的碳氢化合物．
观察前个碳氢化合物的结构式，发现第几个结构式就有几个，且的个数比的个数的倍多个，由此规律即可解答．
由的观察规律，用表示分子的结构式即可；
代入验证的值是否为即可解答．
本题考查了图形的规律变化，根据题意观察图形的变化规律是解题的关键．
19. 由图中数表关系可得：当，取最小值，，
当时，取最大值，，
故答案为：，；
由图可得，，，，，
，
即，
故答案为：；
当时，，
；
不能，理由如下：
当时，，
，
为的倍数时在最右列，不符合要求，
四数的和不能为．
由图中数表关系解答即可求解；
利用图中数表关系表示出、、、与的关系，再根据计算即可求解；
把代入所得关系计算即可求解；
把代入所得关系计算即可判断求解．
本题考查了有理数的加法运算，整式的加减，代数式是应用，由数表求出与之间的关系是解题的关键．
20. 解：，
，
，
，
．
相加后，中间项抵消，剩余：．
通分计算：．
故答案为：；
．
．
根据上述推导，直接填写；
故答案为：，；
将方程左边拆项：，
，
．
相加后抵消中间项，得：．
整理方程：．
，
．
经检验，时分母不为，所以是原方程的解．
利用分式拆项法，将每个分式转化为两个分数的差，通过相邻项抵消简化求和．
通过通分计算分式差，推导出一般形式的分式拆分公式．
将分式方程拆项后抵消，转化为整式方程求解，注意排除使分母为零的增根．
本题考查规律型：数字的变化类，分是的混合运算，解题的关键是找到规律，掌握相关知识的灵活运用．
21. 略
略
22. 详细解答和解析过程见【答案】
23. 解：填空：设四边形高为，点是平行四边形的边上一点，连接并延长交的延长线于点，已知平行四边形的面积为，
则，
由平行线的性质可得：，，
∽，
设和的高分别为，，
，
：：
：：：，
：：，
，
故答案为：；
填空：上一问中的证明同理可得：当时，：：，：：，
，
故答案为：；
论证：证明：设平行四边形的高为，则，
，
，，
∽，
根据题意：设和的高分别为，，
，
：：
：：：，
：：，
，
猜想：
当时，；
当，；
当，；
从而得到：当，．
填空：设平行四边形的高为，可得，由，易证∽，设和的高分别为，，根据，可得：：：，进而推出：：，，同理可得：当时，的面积；
论证：证明见解析；
猜想：观察【填空】中的结论，发现规律，从而得到答案．
本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形性质是解题的关键．
24. 解：
米．
故答案为：；
设图上距离为，
选取的比例尺是：，
，
．
直道长米的图上距离是．
故答案为：；
米，米，
米，
第道选手应在第一道选手的起跑位置基础上向前延伸米．
故答案为：；
两人在第二次相遇前相距米的时间为秒或秒或秒或秒．理由：
出发后相距米时的时间为秒；
出发后到第一次相遇前相距米时的时间为秒；
第一次相遇后相距米时的时间为秒；
第一次相遇后且在第二次相遇前相距米时的时间为秒．
综上，两人在第二次相遇前相距米的时间为秒或秒或秒或秒．
利用题干中给出的计算通式解答即可；
利用比例尺的意义列式解答即可；
利用即可；
利用分类讨论的思想方法分四种情况讨论结合时间路程速度的关系式解答即可；
本题主要考查了圆的有关性质，圆的周长，分类讨论的思想方法，比例尺的意义，弧长公式，本题是阅读型，正确理解题干中的通式的意义是解题的关键．
25. 解：结合以上规律容易得出第个等式为：，
故答案为：；
结合以上规律容易得出第个等式为：，
故答案为：；
见答案．
根据题目中所给的三个等式，结合规律即可写出答案．
找到等式的规律，写出第个等式，通过化简证明等式成立．
本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，找到等式的特点，得出一般规律是解题的关键．
26. 解：任务：二次函数的顶点坐标为，
可设抛物线解析式为，
该二次函数过，
，
解得，
与的函数解析式为，
任务：当，，，，时，
对应的函数值分别为，，，，，
，
当时，最小，
；
任务：由任务得到优化后的函数解析式为，
白昼时长黑夜时长小时，
若黑夜时长小时，则白昼时长为小时，
令，则，即或．
从月日开始，每天记作一个单位时间，
或，
白昼时长小于小时的天数从年月日年月日共天，即黑夜时长大于小时的天数为天．
任务：把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可；
任务：求出当，，，，时，对应的函数值，进而根据题意求出关于的函数关系式，据此利用二次函数的性质求解即可；
任务：根据任务所求，求出当时，对应的自变量的值，再根据从月日开始，每天记作一个单位时间即可求出答案．
本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数解析式是解题的关键．
第15页，共15页

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