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数学试题
（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；
2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项；
3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成；
4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回．
参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为．
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案其中，只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 的绝对值是（ ）
A. B. 5 C. D.
2. 港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被称为“新世界七大奇迹之一”，其总长度为55000米，则数据55000用科学记数法表示为（）
A. B. C. D.
3. 若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A. 打开电视机，正在播放新闻 B. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
C. 任意画一个三角形，其内角和为 D. 明天会下雨
5. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的面积比为，则为的值为（ ）
A B. C. D.
6. 估计的值在（ ）
A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间
7. 《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问人数、物价各几何 ”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱．问一共有多少人 这个物品的价格是多少 设共有x人，物品的价格为y钱，则可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，中，，过点作的平行线交过点的圆的切线于点，若，则的度数是（ ）
A. 74° B. 67° C. 66° D. 60°
9. 如图，正方形为中点，为对角线上一点，在延长线上，连接与交于点，若且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
10. 设整式，其中为整数且．下列说法：
①可以表示为关于的二次多项式；
②若且，则；
③满足且的正整数解有7组．
其中正确的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11. 计算：______．
12. 如图，中，是边上的高，是的平分线，则的度数是______．
13. 在一个不透明的袋子里装有3个分别标有数字2，3，4的小球，这些球除标号外完全相同．从袋中随机抽取一个小球并记下数字后放回，将袋中小球摇匀，再随机抽取一个小球记下数字，两次记下的数字之和是奇数的概率为___________．
14. 若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数m的值的和是_____．
15. 如图，是的外接圆，过圆心作交于点，延长交于点，连接，点是劣弧的中点．在延长线上取一点，连接，使得．若，，则的半径为___________，___________．
16. 对于四位数，若百位数字与千位数字差等于个位数字与十位数字的差的二倍，则称为“好事成双数”，将“好事成双数”的个位数字去掉记为，将千位数字去掉记为，并规定，则___________；若一个四位数，其中，均为整数）是“好事成双数”，且除以14余4，则满足条件的的最大值与最小值的差为___________．
三、解答题（本大题8个小题，17、18题各8分，其余每小题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程和推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程写在答题卡中对应的位置上．
17. 解不等式组：
18. 小明在探究“夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后所构成的四边形的形状”时做了如下操作，请你完成小明的操作：如图，在四边形中，，是对角线．
（1）用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，，于点，连接．（只保留作图痕迹）
（2）在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形．（请完成下面的填空）
证明：垂直平分，
在和中
______________________
四边形为平行四边形
又______________________
四边形为菱形
19. 先化简再求值：，其中是从中选取的一个合适的数．
20. 某校对八、九年级学生进行了“环保知识竞赛”，并从中分别随机抽取20名学生的测试成绩，整理、描述和分析如下：得分用表示，分成四组：A． ，B．，C． ，D．．
八年级20名学生的成绩是：80，82，83，83，85，85，86，87，89，90，90，91，94，95，95，95，95，96，99，100；九年级20名学生的成绩在组中的数据是：90，91，90，93，94，92，93：
八、九年级所抽学生的竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数
八年级 90 90
九年级 90 100
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：___________，___________，___________；
（2）根据以上数据分析，你认为在此次“环保知识竞赛”中哪个年级的成绩更好？请说明理由；
（3）若八年级有500名学生，九年级有550名学生，学校计划对竞赛成绩不低于95分的学生进行奖励，估计八年级和九年级共有多少学生可以获得奖励？
21. 某学校去年通过采购平台在某体育用品店购买品牌足球共花费元，品牌足球共花费元，且购买品牌足球数量是品牌数量的倍，每个足球的售价品牌比品牌便宜元．
（1）求去年品牌足球和品牌足球的单价；
（2）今年需要从该店再购买、两种足球共个，已知今年该店对每个足球的售价进行了调整，品牌比去年降低了，品牌比去年提高了，如果今年购买、两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校至少要购买多少个品牌足球？
22. 如图，在中，，，，点以每秒2个单位长度从点出发，沿方向匀速运动，至点停止．点以每秒1个单位长度从点出发，沿方向匀速运动，至点停止．两点同时出发，设运动时间为秒，取中点为，连结和．过点作于点．运动过程中，的面积为的周长与与的周长之比为．
（1）请直接写出和关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（注：三角形的面积不得取0）
（2）在给定的平面直角坐标系中画出和的图象，并写出函数图象的一条性质；
（3）结合图象，请直接写出当时，的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）
23. 某中学组织学生到重庆植物园进行植树，一志愿者团队在点集合，计划前往位于其正北方向的点植树，但由于段损毁严重，道路不能通行，于是该志愿者团队根据现场情况拟定了两种方案：
方案一：从点沿着路线步行前进，其中点在点的正东方向，点在点的西北方向，志愿者在段步行过程中清除路障需花10分钟；
方案二：从点沿着路线步行前进，其中点在的延长线上，点在点的北偏西方向，点为和的交点，全程道路畅通，已知，米，志愿者步行速度为80米/分钟．
（1）求的长；（结果保留整数）
（2）哪种方案到达点所花时间更短？请说明理由．（参考数据：）
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点是线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，交轴于点，点和点是直线上的两个动点（点在点的下方），且，连接．当有最大值时，求的最小值；
（3）如图2，在轴上取点，将抛物线沿射线平移，平移后的新抛物线与轴交于点，交轴于点点，点在线段上运动，线段关于线段的对称线段所在直线交新抛物线于点，直线与直线所成夹角为，直接写出点的横坐标，并写出其中一个点的求解过程．
25. 如图，和为等腰直角三角形，．
（1）如图1，点、点分别在、上，连接，若，求的长度：
（2）如图2，连接，点为上一点，连接、，满足，，请探究的数量关系并证明；
（3）如图3，在（1）的条件下，将绕着点旋转度得到，连接，当最小时，求的面积．
数学试题
（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；
2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项；
3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成；
4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回．
参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为．
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案其中，只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】A
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】D
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】B
【9题答案】
【答案】C
【10题答案】
【答案】B
二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
【11题答案】
【答案】3
【12题答案】
【答案】##100度
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
【15题答案】
【答案】 ①. ②.
【16题答案】
【答案】 ①. ②.
三、解答题（本大题8个小题，17、18题各8分，其余每小题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程和推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程写在答题卡中对应的位置上．
【17题答案】
【答案】
【18题答案】
【答案】（1）见详解 （2）①；②；③；④；
【19题答案】
【答案】；
【20题答案】
【答案】（1），，
（2）九年级成绩更好，理由见解析
（3）人
【21题答案】
【答案】（1）去年品牌足球单价为元，则去年品牌足球的单价为元
（2）学校至少要购买个品牌足球
【22题答案】
【答案】（1），
（2）图见详解，在时，随的增大而减小．
（3）或．
【23题答案】
【答案】（1）
（2）方案一到达点所花时间更短
【24题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）点横坐标为或
【25题答案】
【答案】（1）
（2），理由见解析
（3）

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