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小专题2 利用勾股定理探索两点间距离公式
学习探究
探究平面直角坐标系中两点间的距离，设
(1)如图 1,当 P ,P 纵坐标相同时, ;当 P ,P 横坐标相同时,
(2)如图2, 由勾股定理，得
实战演练
1.如图,平面直角坐标系中,A(-4,0),C(1,0),以点 A 为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点 B，则点 B 的坐标为 ( )
A.(0,3) B.(3,0)
C.(2,0) D.(0,2)
2.在平面直角坐标系中，点P(3，4)，则点 P 到原点的距离为 ( )
A.3 B. -5
C.5 D.4
3.在平面直角坐标系中,点 A(2,-1),B(5,3),则AB的长为 ( )
B.5 C.4 D.3
4.(教材习题变式)如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A(1,2),C(5,2),B(5,4),则AB的长为 .
5.已知一个三角形各顶点坐标为A(--1，4)，B(-3,1),C(1,1),请判定此三角形的形状,并说明理由.
6.如图,已知A(3,0),B(0,4),在x轴上找一点C，使△ABC 为等腰三角形，求所有点 C 的坐标.
小专题3 方程思想在勾股定理中的运用
类型1 单勾股列方程求解
【例 1】 如图,在△ABC 中,∠C=90°,AC=10,BC=6,EF 为AB 的垂直平分线,求AE的长.
解题思路:连接BE,设AE=x,则BE=x,CE= .
根据勾股定理，得(
可列方程为 .
解得x= .
针对训练
1.(2023·随州)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=8,BC=6,D为AC 上一点.若 BD是∠ABC的平分线,则AD= .
类型2 双勾股列方程求解
方法技巧1
作高，利用勾股定理构建方程
条件：已知△ABC的三边长.
方法:作 AD⊥BC,垂足为 D.
结论：
【例 2】 如图，在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,AD⊥BC,求BD的长.
解题思路:设 BD=x,则CD= .
根据勾股定理，得 CD ,可列方程为 .
解得x= .
针对训练
2.如图,在△ABC中,BC=4,AC=13,AB=15,求△ABC的面积.
方法 技巧2
共边，利用勾股定理构建方程
条件:∠ACB=90°,CD⊥AB于点 D.
结论:(1)AC,BC,AB,AD,DB,CD 中,知二可求四；
3.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于点D,BD=2,CD=4,求 AD的长.
小专题4 利用勾股定理解决折叠问题
【例】 如图，在直角三角形纸片ABC中，∠B=90°,AB=8,BC=6,折叠三角形纸片ABC,使点 A 与 BC 的中点 D 重合,折痕为MN,求线段BN的长.
【思路点拨】 先求得BD的长，由翻折的性质可知 AN=DN,设 BN=x,则 AN=DN=8--x,在Rt△DBN中,由勾股定理列出关于x的方程求解即可.
方法 指导
解决折叠问题的关键是抓住对称性.勾股定理的数学表达式是一个含有平方关系的等式，求线段的长时，可利用勾股定理直接计算，也可设未知数，由勾股定理列出方程，运用方程思想解决问题.
针对训练
1.如图,在长方形ABCD中,AB=3 cm,AD=9 cm，将此长方形折叠，使点B 与点 D 重合，折痕为 EF，则△ABE的面积为 ( )
A.3 cm B.4 cm C.6 cm D.12 cm
2.如图，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC=4,BC=3.将斜边AB翻折,使点 B落在直角边 AC 的延长线上的点 E 处，折痕为AD,则 BD的长为 ( )
A. B.1.5 C. D.3
3.如图，正方形纸片ABCD的边长为3，E，F分别在边 BC,CD上,将 AB,AD 分别沿AE,AF 折叠,点 B,D 恰好都落在点 G 处.若BE=1,则EF的长为 .
4.如图,在长方形ABCD中,AB=5,BC=6,P是射线BC 上一动点，l为长方形ABCD 的一条对称轴，将△ABP沿AP 折叠，当点 B 的对应点B'落在l上时，BP 的长为 .
5.如图,在长方形 ABCD 中,E 是AD 的中点,将△ABE 沿直线BE 折叠后得到△GBE,延长 BG交CD 于点F.
(1)求证:DF=FG.
(2)若AB=6,BC =96,求DF的长.
小专题5 利用勾股定理解决最短路径问题
类型1 平面中的最短路径问题
【例1】 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,P 为直线AB 上一动点,连接PC，则线段 PC的最小值是 .
【例2】 如图,A(0,1),B(3,2),点 P 为x轴上任意一点，则PA+PB的最小值为 .
方 法 指导
模型 图例 基本策略
模型一 确定动点 P 所在的直线； 利用对称性，将同侧的A，B两点转化为异侧两点 A',B,则最短路径即为线段A'B; 常构造直角三角形(Rt△CBA'), 利 用勾股定理求解
模型二 利用“垂线段最短”确定最短路径； 构造直角三角形，利用勾股定理求解
针对训练
1.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=8,∠ABC的平分线BD 交AC 于点D,且BD=10,E 是边AB 上一动点,则 DE 的最小值为
2.如图,△ABC为等腰直角三角形,AB=BC=2,Q为BC 的中点,P 为边 AC 上一动点,则BP+PQ的最小值为 .
类型2 几何体中的最短路径问题
【例3】 (教材习题变式)如图，有一个圆柱，它的高等于12 cm，底面半径等于 3c m.在圆柱的底面点 A 处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点 B 的食物，需要爬行的最短路程是多少(π取3)
【思路点拨】 要求蚂蚁爬行的最短路程，需将空间图形转化为平面图形(即立体图形的平面展开图)，把圆柱沿着过点 A 的直线AA'剪开，因为“两点之间，线段最短”，所以蚂蚁应沿着平面展开图中线段 AB 这条路线走.
方法 指导
几何体中最短路径基本模型如下：
类型 图例
圆柱
长方体
阶梯问题
基本思路 将立体图形展开成平面图形→利用“两点之间，线段最短”确定最短路线→构造直角三角形→利用勾股定理求解
针对训练
3.如图，圆柱形容器的底面周长是24 cm，高为17 cm，在外侧底面 S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1 cm的点 F 处有一苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长是 ( )
A.20cm
D.24 cm
4.如图，一个无盖的长方体盒子的长、宽、高分别为3.5cm ,3. 5cm ,24 cm,一只蚂蚁想从盒底的点 A 沿盒的表面爬到盒顶的点B，则它爬行的最短路程是 cm.
5.如图，有一个边长为6 的正方体木箱，点Q 在上底面的棱上，AQ=2，一只蚂蚁从点 P 出发沿木箱表面爬行到点Q，则蚂蚁爬行的最短路程是 .
6.(本专题 T4 变式)如图，长方体的底面边长分别为1 cm 和3cm,高为6 cm.如果用一根细线从点 A 开始经过四个侧面缠绕一圈达到点B，那么所用细线最短需要 cm.
7.如图，一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20，3，2，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，点A 有一只蚂蚁，想到点 B 去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点 B 的最短路程是 .
8.(2023·广安)如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点 A 处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点 B处，则蚂蚁从外壁 B 处到内壁A 处所走的最短路程为 cm.(杯壁厚度不计)
9.如图，长方体的高为5cm ，底面长为4 cm，宽为1 cm.
(1)点 A 到点 C 之间的距离是多少
(2)若一只蚂蚁从长方体的表面点 A 爬到点C ，则爬行的最短路程是多少
小专题2 利用勾股定理探索两点间距离公式——教材 P26练习T2的变式与拓展
1. A 2. C 3. B 4.2
5.解:△ABC 是 等 腰 三 角 形, 理 由 如 下: ∵ AB = BC .∴△ABC为等腰三角形.
6.解:设C(x,0).∵A(3,0),B(0,4),∴ ①当AB=AC时,△ABC为等腰三角形.∴|3-x|=5,解得x=-2或x=8.∴点C的坐标为(-2,0)或(8,0);②当AB=BC时,△ABC为等腰三角形.. 解得x=3或x=-3.当x=3时,点A,C重合,不合题意,舍去.∴点C的坐标为(-3,0);③当AC=BC时,△ABC为等腰三角形.∴|3-x|= 解得 ∴点C的坐标为 综上所述，点C的坐标为(-2,0)或(8,0)或(-3,0)或
小专题3 方程思想在勾股定理中的运用
【例1】
【例2】
针对训练
1.5
2.解:过点 A 作AD⊥BC于点 D.设( 解得
3.解:设 AD=x.在Rt△ACD中,. 在Rt△BCD中, 在 Rt△ABC 中,AC + 即 解得x=8.∴AD=8.
小专题4 利用勾股定理解决折叠问题
【例】 解:∵D为BC的中点,∴BD=CD=3.设BN=x,则AN=DN=8-x.在Rt△BDN中,由勾股定理,得( 解得 故 BN的长为
针对训练
1. C 2. C 3. 4. 或15
5.解:(1)证明:由折叠的性质可知,∠A=∠EGB=90°,AE=EG.∵E是AD的中点,∴AE=EG=DE.在 Rt△EGF 和 Rt△EDF 中,{EG=ED,∴Rt△EGF≌Rt△EDF(HL).∴DF=GF.(2)设 DF=x,则GF=x,BF=6+x,CF=6-x.在Rt△BFC中, +BC ,即( ,解得x=4.∴DF的长为4.
小专题5 利用勾股定理解决最短路径问题【例1】
【例2】 3
【例3】 解：平面展开图略.由题意，得 3=9 cm. 在 Rt△AA'B 中,根据勾股定理,得 ∴需要爬行的最短路程是15 cm.
针对训练
1.6 2. 3. A 4.25 5.10 6.10 7.25 8.10
9.解:(1)∵长方体的高为5cm,底面长为4 cm,宽为1 cm,∴A C = (2)图1 略, 图 2 略, 图3 略, ∴爬行的最短路程是

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