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第十章 二元一次方程组 单元测试
一、单选题
1．下列方程是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．将代入可得（ ）
A． B．
C． D．
3．小亮打算购买“冰敦敦”和“雪融融”送给同学，根据图中的信息，购买两个“冰敦敦”和两个“雪融融”需要花费（ ）
A．450元 B．455元 C．460元 D．465元
4．利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（ ）
A．要消去，可以将 B．要消去，可以将
C．要消去，可以将 D．要消去，可以将
5．已知关于，的二元一次方程组的解为，若，满足二元一次方程组，则（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
6．用大小完全相同的长方形在直角坐标系中摆成如图所示图案，已知点A的坐标为，则点B的坐标是（　　）
A． B． C． D．
7．二元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
8．明代数学名著《算法统宗》全称《直指算法统宗》．其中有如下的类似问题：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少二十五，八两多十五，试问能算者，合与多少肉”，意思是一个哑巴来买肉，说不出钱的数目，他带的钱买一斤（16两）还差二十五文钱，买八两多十五文钱，问哑巴所带的钱共能买到（ ）两肉？
A．9 B．10 C．11 D．12
9．方程在正整数范围内的解有（ ）
A．1个 B．3个 C．4个 D．无数个
10．一条铁路线A，B，C三个车站的位置如图所示，已知B，C两车站之间相距500千米．火车从B站出发，向C站方向行驶，经过30分钟，距A站130千米；经过2小时，距A站280千米．火车从B站开出多少时间后可到达C站？（ ）
A．4小时 B．5小时 C．6小时 D．7小时
11．现有A，B，C三种型号的纸片若干张，大小如图所示．从中取出一些纸片进行无空隙、无重叠拼接，拼成一个长宽分别为11和5的新矩形，在各种拼法中，B型纸片最多用了（ ）张．
A．5 B．6 C．7 D．前三个答案都不对
12．在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是（　　）

A．b的值为6
B．a为奇数
C．乘积结果可以表示为
D．a的值小于3
二、填空题
13．关于、的二元一次方程组，小华用加减消元法消去未知数，按照他的思路，用①②得到的方程是 ．
14．把三元一次方程组化为关于x、y的二元一次方程组 ．
15．用代入法解方程组把________代入________，可以消去未知数________，方程变为________．（不用化简）
16．已知，则的值为 ．
三、解答题
17．解方程组：．
18．小明和爸爸去超市买了12袋牛奶和24个面包，花去60元．两天后去该超市时，全场商品打8折，他们花去60元，却比上次多买了同样的4袋牛奶和3个面包．打折前牛奶和面包的单价各是多少元？
19．解下列方程组：
(1)
(2)
20．已知关于x，y的方程组．
(1)请直接写出方程的所有正整数解；
(2)若方程组的解满足，求m的值；
(3)无论实数m取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解？
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C C A D B C B B
题号 11 12
答案 C D
1．A
【分析】本题考查二元一次方程的定义，含有2个未知数，且含有未知数的项的次数均为1的整式方程叫做二元一次方程，据此进行判断即可，掌握该知识点是解题的关键．
【详解】解：A、是二元一次方程，故符合题意；
B、含有未知数的项的次数为2，不是二元一次方程，故不符合题意；
C、不是整式方程，不是二元一次方程，故不符合题意；
D、是一元一次方程，不是二元一次方程，故不符合题意；
故选：A．
2．B
【分析】本题考查了代入消元法的运用，掌握代入消元法的计算是解题的关键．
根据题意，代入计算即可．
【详解】解：将代入可得，，
∴，
故选：B ．
3．C
【分析】设“冰敦敦”每个x元，“雪融融”每个y元，根据题意列出方程组然后化简即可．
【详解】解：设“冰敦敦”每个x元，“雪融融”每个y元，
根据题意可得：，
①+②得：4x+4y=920，
∴2x+2y=460，
∴2个“冰敦敦”和2个“雪融融”花费460元，
故选：C．
【点睛】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程组是解题关键．
4．C
【分析】本题考查加减消元法．根据加减消元法，逐一进行判断即可．
【详解】解：
要消去，可以将，要消去，可以将
故选：C．
5．A
【分析】根据关于，的二元一次方程组的解为，得到，求解即可解答．
【详解】解：∵关于，的二元一次方程组的解为，
∴把关于，满足二元一次方程组看作关于m+n和m-n的二元一次方程组，
∴，解得，
∴m+2n=0，
故选：A．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，利用了类比的方法，弄清题中方程组解的特征是解题的关键．
6．D
【分析】设长方形的长边长为a，短边长为b，根据点A的横坐标的绝对值为3个长边加上1个短边，纵坐标为1个长边加上1个短边减去2个短边列出方程组求出a、b的值即可得到答案．
【详解】解：设长方形的长边长为a，短边长为b，
∵，
∴，
解得，
∴点B的横坐标为，纵坐标为，即，
故选D．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，解二元一次方程组，正确列出方程组求出长方形长边和短边的长是解题的关键．
7．B
【分析】用代入消元法解方程组即可得出答案．
【详解】解：，
由②得y＝8﹣2x③，
把③代入①得7x﹣3（8﹣2x）＝2，
解得x＝2，
把x＝2代入③得y＝4，
∴方程组的解为，
故选：B．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
8．C
【分析】设肉价为每两x文，他所带钱数为y文，列方程组求出，由此可求出他所带钱数能买肉的两两数．
【详解】解：设肉价为每两x文，他所带钱数为y文，
由题意得：
解得，
∴他所带钱数能买肉为55÷5=11两．
故答案为：C．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，正确地理解题意列出方程组是解题关键．
9．B
【分析】二元一次方程有无数组解，但它的正整数解是有数的，首先用其中一个未知数表示另一个未知数，然后可给定y一个正整数的值，计算x的值即可．
【详解】解：∵方程可变形为x=7 2y，
∴当y=1时，x=5；当y=2时，x=3；当y=3时，x=1，
∴方程x+2y=7的正整数解有：，，，
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程，二元一次方程有无数组解，确定二元一次方程的特殊解，解题的关键是用其中一个未知数表示另一个未知数．
10．B
【分析】本题考查了二元一次方程组在行程问题中的应用，等量关系式：列车小时行驶的路程站与站的距离千米，列车小时行驶的路程站与站的距离千米，据此列出方程组，即可求解；找出等量关系式是解题的关键．
【详解】解：设火车的速度为千米／小时，站与站相距千米，由题意得
，
解得：，
（小时），
故答案：B．
11．C
【分析】设需要的A卡片x张，B卡片y张，C卡片z张，x、y、z均为正整数，从面积入手，A的面积为4，B的面积为6，C的面积为9，再结合总面积为55，来讨论求解．
【详解】由图可知，A的面积为4，B的面积为6，C的面积为9，则有方程，x、y、z均为正整数，则未知数的取值范围为：x取0至11的正整数，y取0至9的正整数，z取0至6的正整数；
当时，此时表明只选择了B、C两张纸片，则有：，即，55无法被3整除，显然此时y、z无法取正整数，不合题意，则必选了A纸片；
当时，此时表明只选择了A、B两种纸片，则有：，即，55无法被2整除，显然此时x、y无法取正整数，不合题意，则必选了C纸片；
从题目所求可知，不必讨论当时的情况，
综上可以发现除B纸张外，A、C至少都取了一张，
则有，即，
即B型纸张最多用了7张，
故选：C．
【点睛】本题考了三元一次方程的正整数解的知识，解题关键是通过题中条件找到未知数的范围．
12．D
【分析】本题考查了有理数的乘法和一元一次方程组．解题的关键熟练掌握用格子的方法计算两个数相乘的“铺地锦”，建立一元一次方程组．
设的十位数字是m，个位数字是n，根据“铺地锦”的方法将图2补全完整，由此建立方程组，求解，逐一判断即可．
【详解】如图，设的十位数字是m，个位数字是n，

∴，
∴，
∴D正确；
∴，
∴B正确，D不正确；
∴乘积结果可以表示为．
∴C正确．
故选：D．
13．
【分析】利用加减消元法进行计算即可．
【详解】解：，
①②得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
14．
【分析】利用加减消元法消掉未知数化成关于x、y的二元一次方程组．
【详解】解：，
①②得：，
②③得：，
方程组为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三元一次方程组、二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法．
15．①，②，y，2x+3（x-3）=7
【解析】略
16．/0.8
【分析】本题考查了解二元一次方程组，代数式求值，先利用加减法求出方程组的解，再把的值代入代数式计算即可求解，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
【详解】解：，
得，，
∴，
把代入①，得，
∴，
∴，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查解二元一次方程组，涉及加减消元法解二元一次方程组，由加减消元法解二元一次方程组即可得到答案，熟记加减消元法解二元一次方程组的方法步骤是解决问题的关键．
【详解】解：，
，
得；
把代入①，
得；
原方程组的解为．
18．打折前牛奶的单价是3元，面包的单价是1元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，
设打折前牛奶的单价是元，面包的单价是元，根据两次购买牛奶和面包的总价均为60元，列出方程组，求出解即可．
【详解】解：设打折前牛奶的单价是元，面包的单价是元，根据题意，得
，
解得
答：打折前牛奶的单价是3元，面包的单价是1元．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，熟练掌握方程组的解法是解题的关键；
（1）利用加减消元法即可解答；
（2）方程①是用未知数x表示y的式子，将①代入②可得关于x、z二元一次方程组，利用加减消元法解方程组，再将x的值代入①可得y的值．
【详解】（1）解：，得④
，得
，得
，得
原方程组的解为；
（2）把①代入②，得．④
由④和③组成方程组
解得
把代入①，得，
原方程组的解为
20．(1)，；
(2)
(3)
【分析】（1）将方程化为，再由x，y为正整数，即可得出结论；
（2）将与组成新的方程组解出x，y的值，代入第二个方程：中，可得m的值；
（3）根据方程总有一个固定的解，m的值不影响，所以含m的项为0，可得这个解．
【详解】（1）解：，
，
又因为，为正整数，
，
即：只能取2或4；
方程的所有正整数解：，；
（2）由题意得：，
解得，
把代入，
解得；
（3）方程总有一个固定的解，
即方程总有一个固定的解，
，．
．
【点睛】此题考查了解二元一次方程的整数解和二元一次方程组的解，二元一次方程组的解法，理解题意，熟练掌握求方程组的解的方法是本题的关键．

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