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18.1.2平行四边形的判定
平行四边形的判定1
A 基础题
知识点1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
1.如图，A 是直线l外一点，在 l上取两点B，C，分别以点 A，C为圆心，BC，AB 的长为半径画弧,两弧交于点 D,连接AB,AD,CD,则四边形 ABCD 是平行四边形，理由是
2.现有长为5，5，7的三根木棍，要想钉一个平行四边形的木框，则选用的第四根木棍的长度应该为 ( )
A.5 B.7 C.2 D.12
3.下列图形中，一定可以拼成平行四边形的是( )
A.两个等腰三角形B.两个全等三角形
C.两个锐角三角形D.两个直角三角形
4.如图，在4×4的方格图中，△ABC的三个顶点都在格点(网格线的交点)上.
(1)画出 ABEC,其中E 是格点.
(2)请用平行四边形的判定方法说明(1)中所画图形的合理性.
知识点2 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
5.下列∠A:∠B:∠C:∠D的值中,能判定四边形 ABCD 是平行四边形的是 ( )
A.1:2:3:4 B.1:4: 2:3
C.1 : 2:2: 1 D.3:2:3:2
6.下列条件中，不能判定四边形 ABCD 为平行四边形的是 ( )
A.∠A=∠C,∠B=∠D
B.∠A=∠B=∠C=90°
C.∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°
D.∠A+∠B=180°,∠C+∠D=180°
知识点3 对角线互相平分的四边形是平行四边形
7.小玲的爸爸在制作平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条AC，BD的中点重叠并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形.这种方法的依据是
8.(2024·乐山)如图，下列条件中不能判定四边形ABCD 为平行四边形的是 ( )
A. AB∥DC,AD∥BC B. AB=DC,AD=BC
C. AO=CO,BO=DOD. AB∥DC,AD=BC
9.已知:如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F 是直线AC 上的两点,且 AE=CF.求证：四边形 BFDE 是平行四边形.
B 中档题
10.如图,E 是□ABCD 的边 AD 延长线上一点,连接 BE,CE,BD,BE 交CD 于点 F.添加以下条件，其中不能判定四边形 BCED 为平行四边形的是 ( )
A.∠ABD=∠DCE
B. DF=CF
C.∠AEB=∠BCD
D.∠AEC=∠CBD
11.(2024·辽宁)如图,□ABCD的对角线AC,BD 相交于点 O,DE∥AC,CE∥BD.若AC=3,BD=5,则四边形OCED的周长为( )
A.4 B.6 C.8 D.16
12.(教材习题变式)如图，在四边形ABCD中，对角线 AC,BD 相交于点 E,∠CBD=90°,BC=4,BE=ED=3,AC=10,则四边形ABCD的面积为 .
13. 如图,在 四 边 形 ABCD 中,AB∥CD,AD⊥CD,∠B=45°,延长 CD 到点 E,使DE=DA,连接AE.求证:AE=BC.
14.如图,四边形ABCD 是平行四边形,∠BAD的平分线AE 交CD 于点 F,交 BC 的延长线于点 E.
(1)求证:BE=CD.
(2)若 BF恰好平分∠ABE,连接 AC,DE,求证：四边形ACED是平行四边形.
C 综合题
15.如图,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,在“①AB∥CD;②AO=CO;③AD=BC”中任意选取两个作为题设，“四边形 ABCD 是平行四边形”为结论构造命题.
(1)以①②作为题设构成的命题是真命题吗 若是，请证明；若不是，请举出反例.
(2)写出按题意构成的所有命题中的假命题，并举出反例加以说明(命题请写成“如果 那么 ”的形式).
第2课时 平行四边形的判定2
A基础题
知识点1 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
1.如图，将一条长为2cm 的线段 AB 向右平移3c m后，连接对应点得到的图形的形状是
2.小明是这样画平行四边形的：如图，将三角板ABC 的一边 AC 贴着直尺推移到△A B C 的位置，这时四边形 ABB A 就是平行四边形.小明这样做的依据是 ( )
A.有两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B.有两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C.有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D.对角线互相平分的四边形是平行四边形
3.(教材习题变式)如图,已知AB∥CD,AB=CD,CD∥EF,CD=EF,则图中的平行四边形有 ( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4.(教材习题变式)如图,在□ABCD中,E,F分别是BC,AD边上的点,且DF=BE.求证:四边形 AECF 是平行四边形.
知识点2 平行四边形判定方法的灵活选用
5.依据所标数据，下列图形中一定为平行四边形的是 ( )
6. 新考向 开放性问题如图，已知点 E，F在四边形ABCD的对角线 BD 所在的直线上，且BE=DF,AE∥CF.请再添加一个条件(不能在图中再增加其他线段和字母)，使四边形ABCD 是平行四边形，并证明.
你所添加的条件为 .
证明：
知识点3 平行四边形的性质与判定的综合运用
7.如图, ABCD的对角线AC,BD 相交于点O,EF过点O交AD 于点E,交BC于点F,G是OA 的中点，H是OC 的中点.求证：四边形EGFH是平行四边形.
B中档题
8.如图,已知四边形 ABCD 的面积为 8 cm ,AB∥CD,AB=CD,E 是AB 的中点,那么△AEC的面积为 cm .
9.如图,在 ABCD中,点 E,F分别在边BC,AD上,连接AE,CF,AC,EF,AC与EF 相交于点O，则添加下列条件后，不能使四边形AECF成为平行四边形的是 ( )
A. BE=DF B. AE∥CF
C. OE=OF D. AF=AE
10.如图1,在 ABCD中,AD>AB,∠ABC为锐角.要在对角线 BD上找点N，M，使四边形 ANCM为平行四边形.现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案有 ( )
A.甲、乙 B.甲、丙
C.乙、丙 D.甲、乙、丙
11.如图,在△ABC中,D是边AB 上的任意一点,F是AC 的中点,过点 C作CE∥AB,交DF的延长线于点 E,连接AE,CD.
(1)求证：四边形ADCE 是平行四边形.
(2)若 D是AB的中点,求证:DE=BC.
C综合题
12.(教材习题变式)如图,在 ABCD中,AB=6 cm,AD=10cm,点 P 在边 AD 上以1 cm/s的速度从点 A 向点D 运动.点Q 在边BC 上以 4 cm/s的速度从点 C 出发,在点 C,B 之间往返运动.两点同时出发，当点 P 到达点D 时停止(同时点 Q也停止运动)，设运动时间为 ts.若5第 3 课时三角形的中位线
A基础题
知识点1 三角形的中位线定理
1. 新考向 情境素材(2024·兰州)如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在AB外取一点C，然后步测出AC，BC的中点 D，E，并步测出 DE 的长约为18m，由此估测A，B之间的距离约为 ( )
A.18 m B.24m C.36 m D.54 m
2.(2024·广安)如图,在△ABC中,D,E分别是AC,BC的中点.若∠A=45°,∠CED=70°,则∠C= ( )
A.45° B.50° C.60° D.65°
3.如图,在△ABC中,AD 是△ABC的中线,E,F 分别是 AC,AD 的中点,连接 EF.已知BC=8,则EF的长为 .
4.如图，在平面直角坐标系中，△AOB 的边AO,AB的中点C,D的横坐标分别是1,4,则点 B 的横坐标是 .
知识点 2 三角形的中位线与平行四边形
5.如图,在 ABCD中,对角线 AC,BD 相交于点O,E 是 BC 的中点.若OE=3c m,则 AB的长为( )
A. 3cm B.6 cm C.9 cm D.12 cm
6.如图,在△ABC中,D,E,F分别是BC,AC,AB的中点.若 AB=6,BC=8,则四边形BDEF的周长是 ( )
A.28 B.14 C.10 D.7
7.如图,在 ABCD中,M为边AD 上的一点,AM=2MD,E,F分别是BM,CM的中点.若EF=6,则 AM的长为 .
8.如图,在△ABC中,D,E,F分别是AB,BC,AC的中点.求证:AE 与DF 互相平分.
B中档题
9.如图,D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点,∠ABC的平分线交DE 于点 F,AB=10,BC=12,则EF的长为 ( )
A.1
B.1.5
C.2
D.2.5
10.如图,在四边形 ABCD中,P 是对角线 AC 的中点,E,F分别是 AB,CD的中点,AD=BC,∠FPE=128°,则∠PFE的度数是 .
11.如图,△ABC的周长为20,点 D,E在边 BC上,∠ABC的平分线垂直于 AE,垂足为 N,∠ACB的平分线垂直于 AD，垂足为 M.若BC=8,则 MN的长为 .
12.如图,在△ABC中,D,E分别是 AC,AB的中点,F是CB延长线上的一点,且CF=3BF,连接DB,EF.
(1)求证：四边形 DEFB 是平行四边形.
(2)若∠ACB=90°,AC=12 cm,DE=4 cm,则四边形 DEFB的周长为 cm.
C 综合题
13.如图1,在△ABC中,D,E分别是边AB,AC上的点.对“三角形中位线定理”逆向思考，可得以下3个命题：
Ⅰ.若D是AB 的中点, 则 E 是AC的中点；
Ⅱ.若 则 D,E 分别是AB,AC的中点;
Ⅲ.若 D 是AB 的中点,DE∥BC,则 E 是AC 的中点.
(1)小明通过对命题Ⅰ的思考，发现命题Ⅰ是假命题.
他的思考方法如下：在图2 中使用尺规作图作出满足命题Ⅰ条件的点 E，从而直观判断E不一定是AC 的中点.
小明尺规作图的方法步骤如下：
①作边 BC 的垂直平分线，交 BC 于点M;
②以点 D 为圆心，BM的长为半径画弧，与边 AC交于点E 和E'.
请在图2中完成以上作图.
(2)小明通过对命题Ⅱ和命题Ⅲ的思考，发现这两个命题都是真命题，请从这两个命题中选择一个，并借助图1进行证明.
微专题 4 构造三角形中位线的技巧
【方法指导】 构造三角形中位线的方法：
(1)已知双中点：连接两中点或连接第三边；
(2)已知单中点：取另一边中点并连接这两个中点；
(3)已知角平分线+垂直：延长有关的线段(被平分角的边或垂直的边).
针对训练
1.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AB=12,AD=5,M,N分别为线段BC,AB上的动点,E，F分别为DM，MN的中点，则 EF的长度可能为( )
A.2 B.2.3 C.4 D.7
2.如图,在△ABC中,D是BC 边的中点,AE是∠BAC的平分线,AE⊥CE 于点E,连接DE.若AB=7,DE=1,则AC的长度是( )
A.4 B.4.5 C.5 D.5.5
3.如图,已知在四边形 ABCD中,AC⊥BD,AC=10,BD=12,E,F分别是边AD,BC的中点,连接 EF,则EF的长是 .
18.1.2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定1
1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2. B 3. B
4.解：(1)图略.(2)设小正方形方格的边长为1，则. BE= ,CE= .∴AC=BE,AB=CE.∴四边形 ABEC是平行四边形.
5. D 6. D 7.对角线互相平分的四边形是平行四边形 8. D
9.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB=OD,OC=OA.∵AE=CF,∴OA+AE=OC+CF,即OE=OF.∵OB=OD,∴四边形BFDE是平行四边形.
10. C 11. C 12.24
13.证明:∵AB∥CD,∴∠B+∠C=180°.∴∠C=180°-45°=135°.∵AD⊥CD,DE=DA,∴∠E=45°.∴∠C+∠E=180°.∴AE∥BC.又∵AB∥CD,∴四边形ABCE是平行四边形.∴AE=BC.
14.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB=CD.∴∠DAE=∠AEB.∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE.∴∠BAE=∠AEB.∴BE=AB.∴BE=CD.(2)∵BE=AB,BF平分 ∠ABE, ∴ AF = EF. 在 △ADF 和 △ECF 中,
∴△ADF≌△ECF(ASA).∴DF=CF.又∵
AF=EF,∴四边形 ACED 是平行四边形.
15.解:(1)以①②作为题设构成的命题是真命题.证明:∵AB∥CD,∴∠OAB=∠OCD.在△AOB 和△COD中, .△AOB≌△COD(ASA).∴OB=OD.∴四边形ABCD 是平行四边形.(2)以①③作为题设构成的命题是假命题：如果四边 ABCD中,AB∥CD,AD=BC,那么四边形 ABCD是平行四边形.反例:图1略,等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AD=BC,但它不是平行四边形；以②③作为题设构成的命题是假命题：如果四边形 ABCD的对角线交于点O,且OA=OC,AD=BC,那么四边形ABCD是平行四边形.反例：图2略，根据已知条件不能推出四边形 ABCD是平行四边形.
第2课时 平行四边形的判定2
1.平行四边形2. C 3. C
4.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AD∥BC.又∵BE=DF,∴AD-DF=BC-BE,即AF=CE.∴四边形AECF是平行四边形.
5. D
6.解:AE=CF(答案不唯一) 证明:∵AE∥CF,∴∠E=∠F.∵BE=DF,AE=CF,∴△ABE≌△CDF(SAS).∴AB=CD,∠ABE=∠CDF.∴∠ABD=∠CDB.∴AB∥CD.∴四边形 ABCD 是平行四边形.
7.证明:∵四边形 ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,OA=OC.∴∠OAE=∠OCF,∠OEA=∠OFC.∴△AOE≌△COF(AAS).∴OE=OF.∵G是OA 的中点,H 是OC 的中点, = OC.∴OG=OH.∴四边形 EGFH 是平行四边形.
8.2 9. D 10. D
11.证明:(1)∵CE∥AB,∴∠FAD=∠FCE,∠ADF=∠CEF.∵F是 AC 的 中点, ∴ AF = CF. 在 △AFD 和 △CFE 中,
(∠ADE=∠CEF.∴△AFD≌△CFE(AAS).∴DFEFF.∴四
边形ADCE是平行四边形.(2)∵四边形ADCE是平行四边形，∴CE=AD.∵D是AB的中点,∴AD=BD.∴CE=BD.又∵CE∥BD,∴四边形 BCED是平行四边形.∴DE=BC.
12.解:∵四边形ABCD为平行四边形,∴PD∥BQ.若要以P,D,Q,B为顶点的四边形是平行四边形，则PD=BQ.当 时,AP=t cm,PD=(10-t) cm,BQ=(30-4t) cm,∴10-t=30-4t,解得 当 时,AP=t cm,PD=(10-t) cm,BQ=(4t—30cm,∴10—t=4t—30,解得t=8.综上所述,当t的值为 8时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形.
第3课时 三角形的中位线
1. C 2. D 3.2 4.6 5. B 6. B 7.8
8.证明:∵D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,∴DE,EF 是△ABC的中位线.∴DE∥AC,EF∥AB.∴四边形ADEF 为平行四边形.∴AE与DF 互相平分.
9. A 10.26° 11.2
12.解:(1)证明:∵D,E分别是AC,AB的中点,∴DE是△ABC的中位线.∴DE∥BC,BC=2DE.∵CF=3BF,∴BC=2BF.∴DE=BF.又∵DE∥BF,∴四边形DEFB是平行四边形.(2)28
13.解:(1)图略.(2)选命题Ⅱ,证明:图略,过点 E作EM∥AB交BC边于点M,连接DM.又∵DE∥BC,∴四边形 EDBM是平行四边形.∴BD=EM,DE=BM.又∵DE= BC,∴DE=BM=CM.∴四边形DECM 是平行四边形.∴DM=CE,DM∥CE.∴DM∥AE.又∵EM∥AD,∴四边形ADME是平行四边形.∴AD=EM,DM=AE.∴AD=BD,AE=CE.∴D,E分别是AB,AC的中点.选命题Ⅲ,证明:图略,延长ED至点F,使DF=DE,连接BF.∵D是AB边的中点,∴AD=BD.又∵∠ADE=∠BDF,∴△ADE≌△BDF(SAS).∴AE=BF,∠AED=∠BFD.∴AC∥BF.∵EF∥BC,∴四边形 BCEF 是平行四边形.∴BF=CE.∴CE=AE.∴E是AC的中点.
微专题4
1. C 2. C 3.

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