资源简介

小专题7 作图题与平行四边形的综合
类型 1 尺规作图
1.(2024·赤峰)如图,在△ABC中,D 是AB 的中点.
(1)求作：AC的垂直平分线l(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹).
(2)若l交AC 于点 E,连接 DE 并延长至点F,使 EF=2DE,连接BE,CF.补全图形,并证明四边形 BCFE 是平行四边形.
2.(2024·河南)如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB 上的中线,BE∥DC交AC 的延长线于点 E.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作∠ECM，使∠ECM=∠A,且射线 CM 交 BE 于点 F(保留作图痕迹，不写作法).
(2)证明(1)中得到的四边形CDBF 是菱形.
3.如图,在 ABCD中,AD>AB.
(1)作出∠ABC的平分线(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法).
(2)若(1)中所作的角平分线交 AD 于点 E,AF⊥BE,垂足为 O,交 BC 于点 F,连接EF.求证:四边形 ABFE为菱形.
类型2 无刻度直尺作图
4.(2024·江西)如图,AC为菱形ABCD 的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图(保留作图痕迹).
(1)如图1,过点 B 作AC 的垂线.
(2)如图 2,E 为线段 AB 的中点,过点 B 作AC 的平行线.
类型3 补全图形
5.如图,在正方形ABCD中,点 E 在边CD 上,过点 B作BF⊥BE,交 DA 的延长线于点F,作∠CBF 的平分线BP,交边 AD 于点 P.
(1)根据题意，补全图形(画图工具不限).
(2)求证:BE=BF.
(3)若AB=3,CE=1,求AP 的长.
微 专题 6 特殊平行四边形中等面积法的应用
【模型展示】 如图,在△ABC中,AB=AC,P为BC 上任意一点,PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点 F,BM⊥AC 于点 M.求证:PE+PF=BM.
证明：连接AP.
∵PE⊥AB,PF⊥AC,BM⊥AC,
∴S△ABP = ,S△ACP = ,S△ABC= .
∵ + =S△ABC,
∵AB=AC,∴PE+PF=BM.
针对训练
1.如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,P是AD 上不与点A，D重合的一个动点，过点 P 分别作AC 和BD 的垂线，垂足分别为E,F,则PE+PF= .
2.如图,在菱形ABCD中,P 是对角线AC 上一动点,过点 P 作PE⊥BC于点 E,PF⊥AB 于点F.若菱形 ABCD 的周长为20,面积为24,则 PE+PF 的值为 .
3.如图，E 是边长为1 的正方形ABCD的对角线BD 上一点,且 BE=BC,P 为CE 上任意一点,PQ⊥BC于点 Q,PR⊥BE 于点R,则 PQ+PR的值是 .
小专题7 作图题与平行四边形的综合
1.解:(1)图略.(2)证明:补全图形略.由作图可知,AE=EC.∵D是AB的中点,∴AD=DB.∴DE∥BC,BC=2DE.∵EF=2DE,∴EF=BC.∵EF∥BC,∴四边形 BCFE是平行四边形.
2.解:(1)图略.(2)证明:由(1)得,∠ECF=∠A,∴CF∥AB.∵BE∥DC,∴四边形CDBF是平行四边形.∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线,∴CD=BD.∴□CDBF是菱形.
3.解:(1)图略.(2)证明:∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠FBE.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.∴∠FBE=∠AEB.∴∠ABE=∠AEB.∴AB=AE.∵AO⊥BE,∴BO=EO,∠AOB=∠FOB=90°.在△ABO 和△FBO中,.△ABO≌△FBO(ASA).∴AO=FO.∴四边形ABFE为平行四边形.又∵AF⊥BE,∴平行四边形ABFE为菱形.
4.解:(1)图略.(2)图略.
5.解:(1)图略.(2)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABC=∠C=∠BAD=90°,AB=BC.∴∠ABE+∠CBE=90°.∵BF⊥BE,∴∠FBE=∠ABF+∠ABE=90°.∴∠ABF=∠CBE.∵∠BAD+∠BAF=180°,∴∠BAF=90°.∴∠BAF=∠C=90°.∴△CBE≌△ABF(ASA).∴BE=BF.(3)在Rt△EBC中,BC=AB=3,CE= 由(2)得,BF=BE= .∵BP平分∠CBF,∴∠PBC=∠PBF.∵AD∥BC,∴∠BPF=∠PBC.∴∠BPF=∠PBF.∴PF=BF= .由(2)得,△CBE≌△ABF,∴AF=CE=1.∴AP=PF-AF= -1.
微专题6
【模型展示】 针对训练
1. 2. 3.

展开更多......

收起↑