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2024-2025学年浙江省强基联盟高一下学期5月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.化简所得的结果是( )
A. B. C. D.
4.函数的大致图象是( )
A. B.
C. D.
5.已知，，则( )
A. B. C. D.
6.如图，在海面上有两个观测点，相距，点在的正南方向，某天观察到某航船在点西南方向的处，距离点也为，分钟后该船行驶至处，此时测得，，则该船行驶的距离( )
A. B. C. D.
7.圆台的上下底面半径分别为，，，为圆台的两条母线，且，则四边形的面积的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数有且仅有两个零点，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若实数，，满足，则下列不等式成立的有( )
A. B.
C. D.
10.已知函数，则下列正确的是( )
A. 的最大值是
B. 若是偶函数，则
C. 在上单调递增
D. 若在区间上恰有个零点，则
11.已知平面向量，，，满足，为单位向量，，则( )
A.
B. 的最小值为
C. 在方向上的投影长度的范围为
D. 若，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数满足，则的最大值为 ．
13.在中，若，，，则的周长为 ．
14.已知三棱锥的底面是等腰直角三角形，，且，，则当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知平面向量，．
当实数为何值时，与垂直
若与所成的角为锐角，求实数的取值范围．
16.本小题分
如图，在四面体中，平面平面，且，，是的中点，是的中点，在线段上，且．
求证：平面
求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知函数是偶函数．
求的值
若对任意，恒成立，求的取值范围．
18.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，满足．
求角．
为边上一点，且．
若，求当取最小值时的值
若为角平分线，求的取值范围．
19.本小题分
已知每个正整数都可以唯一写成一些不同的“的幂”的和例如：，定义：若的这种表示中用了偶数个“的幂”，则，否则记．
求，的值
若，求的取值
是否存在正整数，使得对于任意正整数，均有，并证明你的结论．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为 ， ，所以 ， ， ．
因为 与 垂直，
所以 ，
即 ，解得 ，
故实数的值为 ．
，
，
因为 与 所成的角为锐角，
所以 ，且 与 不共线，
即 ，解得
当 与 共线时， ，解得 ，
故 ，
综上可知，实数的取值范围为 ．
16.解：如图，取的中点，连接，，
因为，分别为，的中点，所以，
又平面，平面，所以平面，
因为，，所以，
又平面，平面，所以平面，
又因为，，平面，
所以平面平面，
又因为平面，所以平面．
如图，作，垂足为，连接，
因为平面平面，且，平面平面，平面，
所以平面．
又因为平面，所以．
因为，所以，
又因为，，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
又因为，，，平面，所以平面．
则为直线与平面所成角．
在中由等面积法有，
即，则，
所以．
17.解：因为是偶函数，
所以，
所以．
令，当且仅当时等号成立，
则，
即对任意的，，
所以恒成立，
则，
所以的取值范围为
18.解：，
由正弦定理得，，
展开得，
即，
因为，
所以，
所以，
化得，即，
因为，所以
所以，即；
由，得，
所以，
所以，
得，
又．
令，则，
则当时，取最小值；
在中，由正弦定理得，即，
所以，
又因为，
所以，
则
19.解：因为，，
所以，；
因为在中，奇数个“的幂”和偶数个“的幂”个数一样多末尾有为奇数，末尾无为偶数，
则与各占一半，
则，，
则，
又因为，，，
所以的取值为，，；
不存在，证明如下：
令，不妨设且均为自然数，
若为奇数，取，则；
若为偶数，取，则，．
综上所述，不存在这样的正整数．
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