资源简介

小专题6 平行四边形的证明思路
类型1 已知(已证)四边形中边的关系
(1)已知一组对边平行，可以证这一组对边相等或另一组对边平行；
(2)已知一组对边相等，可以证这一组对边平行或另一组对边相等.
1.(2023·宁夏)如图,已知EF∥AC,B,D分别是AC和EF上的点,∠EDC=∠CBE.求证:四边形 BCDE 是平行四边形.
2.如图,在四边形ABCD中,AB=DC,点E,F在对角线 AC上,且 AE=CF,连接 BE,DF.若BE=DF,求证:四边形ABCD是平行四边形.
3.(2023·扬州节选)如图,E,F,G,H分别是平行四边形 ABCD 各边的中点,连接 AF,CE相交于点 M,连接 AG,CH 相交于点 N.求证：四边形 AMCN 是平行四边形.
4.如图,在 ABCD中,AE⊥BD 于点E.老师给出了如下尺规作图步骤：
(1)以点 C为圆心，适当长为半径画弧，交BD于点M,N;
(2)分别以点 M，N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P；
(3)连接CP并延长,交 BD 于点F;
(4)连接CE,AF.
请根据以上步骤，证明：四边形 AECF 是平行四边形.
5.如图，分别以Rt△ABC的直角边AC 及斜边AB 为边向外作等边三角形ACD 及等边三角形ABE,已知∠BAC=30°,EF⊥AB,垂足为F,连接DF.求证:
(1)AC=EF.
(2)四边形ADFE 是平行四边形.
类型2 已知条件(已证结论)与对角线有关，则可以通过证明对角线互相平分得到平行四边形
6.如图，将 ABCD的对角线BD 向两个方向分别延长至点E 和点 F,使 BE=DF.求证:AE∥CF,AE=CF.
7.如图, 的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与 AB，CD的延长线相交于点 E,F.求证:四边形 AECF 是平行四边形.
8.如图,在 ABCD中,O是对角线AC 的中点,EF 过点O,与AD,BC 分别相交于点 E,F,GH 过点O,与AB,CD 分别相交于点G,H,连接EG,FG,FH,EH.求证:四边形EGFH是平行四边形.
小专题6 平行四边形的证明思路
1.证明:∵EF∥AC,∴∠EDC+∠C=180°.又∵∠EDC=∠CBE,∴∠CBE+∠C=180°.∴EB∥DC.又∵DE∥BC,∴四边形 BCDE是平行四边形.
2.证明:在△AEB 和△CFD 中, ∴△AEB≌△CFD(SSS).∴∠EAB=∠FCD.∴AB∥DC.又∵AB=DC,∴四边形ABCD是平行四边形.
3.证明:∵E,F,G,H分别是平行四边形ABCD 各边的中点,∴AH∥CF,AH=CF.∴四边形AFCH 是平行四边形.∴AM∥CN.同理可得,四边形AECG 是平行四边形.∴AN∥CM.∴四边形 AMCN是平行四边形.
4.证明:由题意可知,CF⊥BD,∴∠CFD=∠CFE=90°.∵AE⊥BD,∴∠AEB=∠AED=90°.∴∠CFE=∠AEF=∠AEB=∠CFD=90°.∴AE∥CF.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD. ∴ ∠ABE = ∠CDF. 在 △ABE 和 △CDF 中,
(ABE=∠CDF,∴△ABE≌△CDF(AA5).∴AE=CF.又∵
AE∥CF,∴四边形AECF 是平行四边形.
5.证明:(1)∵Rt△ABC中,∠BAC=30°,∴AB=2BC.又∵△ABE是等边三角形,EF⊥AB,∴AB=2AF,AE=AB.∴AF=BC.在Rt△BCA和 Rt△AFE 中, ∴Rt△BCA≌Rt△AFE(HL).∴AC=EF.(2)∵△ACD是等边三角形,∴∠DAC=60°,AC=AD.∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°.∴AD⊥AB.又∵EF⊥AB,∴EF∥AD.∵AC=EF,AC=AD,∴EF=AD.∴四边形ADFE是平行四边形.
6.证明:连接AC交BD 于点O.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO,BO=DO.∵BE=DF,∴BO+BE=DO+DF,即OE=OF.∴四边形AECF 是平行四边形.∴AE∥CF,AE=CF.
7.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OD=OB,OA=OC,AB∥CD.∴∠DFO=∠BEO,∠FDO=∠EBO.在△FDO和△EBO中,
(∠EDO=∠EBO,∴△FDO≌△EBO(AAS).∴OF=OE.又∵
OA=OC,∴四边形AECF 是平行四边形.
8.证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC.∴∠EAO=∠FCO.∵O为AC 的中点,∴OA=OC.在△OAE 和△OCF 中,证,OG=OH.∴四边形EGFH是平行四边形.

展开更多......

收起↑