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2024-2025学年安徽省固镇县毛钽厂实验中学高二下学期4月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某质点沿直线运动，位移单位：米与时间单位：秒之间的关系为，则该质点在秒时的瞬时速度是 ．
A. 米秒 B. 米秒 C. 米秒 D. 米秒
2.甲乙丙丁四名同学参加学校组织的植树活动，学校共组织了个植树小组，每人只能参加一个植树小组，则甲乙不在同一个植树小组的安排方法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
3.已知函数则式子表示( )
A. 在处的导数 B. 在处的导数
C. 在上的平均变化率 D. 在上的平均变化率
4.若，则的个位数字是( )
A. B. C. D.
5.已知函数，则( )
A. B. C. D.
6.下列坐标系中是一个函数与其导函数的图象，其中一定错误的是( )
A. B. C. D.
7.若，则( )
A. B. C. D.
8.已知，则的大小关系正确的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于排列组合数，下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
10.下列关于函数的判断正确的是( )
A. 的单调递减区间是 B. 是极小值，是极大值
C. 没有最小值，也没有最大值 D. 有最大值，没有最小值
11.我国南宋数学家杨辉年所著的详解九章算法一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究则下列结论正确的是( )
A.
B. 第行的第个数最大
C. 第行、第行、第行的第个数之和为第行的第个数
D. 第行中从左到右第个数与第个数之比为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则 ．
13.某城市新修建的一条道路上有盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有 种．
14.已知函数，，若关于的不等式有解，则的最小值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在的展开式中，第项、第项、第项的二项式系数成等差数列．
求的值；
求展开式中含的项．
16.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
若直线与曲线相切于点，求的值．
17.本小题分
已知函数．
求的极值；
若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
每小问均须用数字作答在中选出个数字组成一个四位数
可以组成多少个没有重复数字的四位数？
可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？
若和至多出现个，可以组成多少个没有重复数字的四位数？
19.本小题分
已知函数．
若函数是单调函数，求实数的取值范围；
证明：对任意的都成立．
参考答案
1.
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13.
14.
15.【详解】在的展开式中，第项、第项、第项的二项式系数分别为，
因为的展开式中第项、第项、第项的二项式系数成等差数列，
所以，即，
化简得：，因为，所以，
解得或．
时，展开式只有项，不符合题意；
所以．
由知，通项公式为，
令，得，则．
所以展开式中含的项为．
16.【详解】，则，，
因此，曲线在点处的切线方程为，即．
直线过原点，则，
由点在曲线上，得，
，
又，所以．
，整理得，，
，则．
17.【详解】解：由函数，可得，
令，即，解得；
令，即，解得，
所以函数在区间单调递减，单调递增，
当时，取得极小值，极小值为，无极大值．
解：由不等式恒成立，即恒成立，
即对于任意，不等式恒成立，
设，可得，
令，即，解得；
令，即，解得，
所以在上单调递减，在单调递增，
所以，当时，函数取得极小值，同时也时最小值，，
所以，即，所以实数的取值范围为．
18.【详解】若选到，则不能排在首位，有种方法，
若没有选到，则有种方法，
综上可知，共有种方法；
个位是偶数的数是偶数，
若个位是，则有种方法，
若个位不是，则个位是，，中的一个数字，有种方法，千位有种方法，中间两位有种方法，则有种方法，
综上可知，共有种方法；
中选出个数字组成一个四位数，共有个数字，其中四位数有且有的数字，有个四位数，
则个四位数，
综上可知，若和至多出现个，可以组成个没有重复数字的四位数．
19.【详解】由题意，，
设，，
所以，，
故在上单调递减，在上单调递增，
从而，又，
所以的值域为
因为是单调函数，所以，当且仅当时，解得，
故实数的取值范围是．
证明：由可得当时，在上单调递增，
所以当时，，即，所以，
取可得：，
所以，故，
依次取得：
，，，，，
以上各式相加得：
．
所以对任意的都成立．

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