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2024-2025学年广东省深圳市龙岗区布吉高级中学高二下学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一件工作可以用种方法完成，有人只会用第种方法完成，另有人只会用第种方法完成，从中选出人来完成这件工作，则不同的选法种数是( )
A. B. C. D.
2.的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
3.一个教室有五盏灯，一个开关控制一盏灯，每盏灯都能正常照明，那么这个教室能照明的方法有种( )
A. B. C. D.
4.为提高学生的身体素质，某校开设了游泳、武术和篮球课程，甲、乙、丙、丁位同学每人从中任选门课程参加，则不同的选法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5.有四位朋友于七夕那天乘坐高铁从武汉出发只会在长沙、广州、深圳停，分别在每个停的站点至少下一个人，则不同的下车方案有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.某种灯泡的使用寿命为小时的概率为，超过小时的概率为，若某个灯泡已经使用了小时，那么它能使用超过小时的概率为( )
A. B. C. D.
7.投篮测试中，每人投次，至少投中次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )
A. B. C. D.
8.设一仓库中有箱同种规格的产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有箱，箱，箱，三厂产品的废品率依次为，，从这箱产品中任取一箱，再从这箱中任取一件产品，取得的正品概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列问题属于排列问题的是( )
A. 从个人中选人分别去种树和扫地
B. 从个人中选人去扫地
C. 从班上名男生中选出人组成一个篮球队
D. 从数字，，，中任取两个不同的数作幂运算
10.下列说法中正确的是( )
A. 将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变
B. 设有一个线性回归方程，变量增加个单位时，平均增加个单位
C. 设具有相关关系的两个变量的相关系数为，则越接近于，和之间的线性相关程度越强
D. 在一个列联表中，由计算得的值，则的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大
11.为弘扬我国古代“六艺”文化，某研学旅行夏令营主办单位计划在暑假开设“礼、乐、射、御、书、数”六门体验课程，若甲乙丙三名同学各只能体验其中一门课程．则( )
A. 甲乙丙三人选择课程方案有种方法
B. 恰有三门课程没有被三名同学选中的概率为
C. 已知甲不选择课程“御”的条件下，乙丙也不选择“御”的概率为
D. 设三名同学选择课程“礼”的人数为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知变量和的经验回归直线方程为，则时的观测值为，此时残差为 注：观测值减去预测值称为残差．
13.从名男生和名女生中选出人分别担任项不同的社区活动服务者，要求男、女生各人，那么不同的安排有 种用数字做答；
14.把椅子摆成一排，人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
假设某地区高二学生的身高服从、的正态分布，即均值为单位：，下同在该地区任意抽取一名高二学生，求：
这名学生的身高不高于的概率；
这名学生的身高在区间内的概率；结果精确到
这名学生的身高不高于的概率．结果精确到
参考数据：．
16.本小题分
已知，计算：
展开式二项式系数之和；
展开式各项系数之和；
；
．
17.本小题分
一批笔记本电脑共有台，其中品牌台，品牌台．如果从中随机挑选台．
求这台电脑中至多有台品牌电脑的概率；
求这台电脑中品牌台数的分布列及均值和方差．
18.本小题分
应对严重威胁人类生存与发展的气候变化，其关键在于“控碳”，其必由之路是先实现“碳达峰”，而后实现“碳中和”，年第七十五届联合国大会上，我国向世界郑重承诺：力争在年前实现“碳达峰”，努力争取在年实现“碳中和”近年来，国家积极发展新能源汽车，某品牌的新能源汽车在某区域销售年月至年月这个月的销售量单位：百辆的数据如下表：
月份 年月 年月 年月 年月 年月
月份代码
销售量
依据表中的统计数据，请判断月份代码与该品牌的新能源汽车区域销售量单位：百辆是否具有较高的线性相关程度？参考：若，则线性相关程度一般；若，则线性相关程度较高．
求销售量与月份代码之间的线性回归方程；
预测年月份该区域的销售量单位：百辆．
参考数据：，，，．
参考公式：一组数据、、、的线性相关系数．
线性回归方程中，，．
19.本小题分
淮安西游乐园推出的西游主题毛绒公仔，具有造型逼真可爱、触感柔软等特点，深受学生喜爱．某调查机构在参观西游乐园的游客中随机抽取了名学生，对是否有购买西游主题毛绒公仔的意愿进行调查，得到以下的列联表：
有购买意愿 没有购买意愿 合计
男
女
合计
完成上述列联表，根据以上数据，根据小概率值的独立性检验，能否认为购买西游主题毛绒公仔与学生的性别有关？
某文创商店为了宣传推广西游主题毛绒公仔产品，设计了一个游戏：在三个外观大小都一样的袋子中，分别放大小相同的个红球和个蓝球，个红球和个蓝球，以及个红球和个蓝球．游客可以从三个袋子中任选一个，再从中任取个球，若取出个红球，则可以获赠一套西游主题毛绒公仔．现有名同学参加该游戏，表示名同学中获赠一套毛绒公仔的人数，求随机变量的概率分布及数学期望．
附：，其中．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.【详解】设该学生的身高为，由题意可知．
；
；
由以及正态曲线的对称性可知，
由概率加法公式可知：
．

16.【详解】二项式展开式二项式系数之和为．
令得展开式各项系数之和为
令得．
令得，即，由得．

17.【详解】根据题意，这台电脑全部是品牌的概率为，
所以这台电脑中至多有台品牌电脑的概率为．
依题意，的可能取值为，
则，，，
则的分布列为：
所以，
．

18.【详解】解：由表中的数据可得，，
，
所以，
故与具有较高的线性相关程度．
解：，，
所以线性回归方程为．
解：令可得，估计年月份该区域的销售量约为百辆．

19.【详解】由题可得列联表如下：
有购买意愿 没有购买意愿 合计
男
女
合计
提出假设：购买西游主题毛绒公仔与学生的性别无关，根据列联表中的数据，可以求得
，
因为当成立时，的概率大于，所以没有的把握认为购买西游主题毛绒公仔与学生的性别有关．
一次游戏中取出个红球的概率，
由题可知，，，，则，
所以，，
，，
所以随机变量的概率分布为
所以．

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