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2024-2025学年湖北省重点中学高二年级5月联合测评数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线与直线间的距离为
A. B. C. D.
2.数学家杨辉在其专著中提出了一些新的高阶等差数列，其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列，，，，从第二项起，每一项与前一项的差组成的新数列，，，为等差数列，则称数列，，，，为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其中前几项分别为，，，，记该数列从第二项起，每一项与前一项之差组成新数列，则
A. B. C. D.
3.已知函数，当时，有极大值，则
A. B. C. D. 或
4.若展开式的二项式系数之和为，则展开式中含项的系数为
A. B. C. D.
5.给图中五个区域染色，有种不同的颜色可供选择，要求有公共边的区域染上不同的颜色，则不同的染色方法有
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.如图，在四面体中，与为等边三角形，且，，分别为棱，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为
A. B. C. D.
7.设为坐标原点，直线：与抛物线：交于，两点，与的准线交于点若，为的焦点，则与的面积之比为
A. B. C. D.
8.函数，若恒成立，则的取值范围是
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知双曲线：和：，其中，，且，则
A. 与虚轴长相等 B. 与焦距相等
C. 与离心率相等 D. 与渐近线相同
10.在空间直角坐标系中，已知过点，，且一个法向量为的平面的方程为；过点，，且一个方向向量为的直线的方程为根据上述材料，解决以下问题：已知平面的方程为，直线是平面与的交线，则下列说法正确的是
A. 直线经过点
B. 直线的一个方向向量为
C. 直线与平面所成角的余弦值为
D. 若点，则点到平面距离为
11.已知函数，其中实数，，则下列结论正确的是
A. 当时，必有两个极值点
B. 过点可以作曲线的条不同切线，则
C. 若有三个不同的零点，，，且，，成等差数列，则
D. 若有三个不同的零点，，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知多项式，则________．
13.已知过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为________．
14.已知数列满足，，设，设，则整数________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等比数列的各项均为正数，首项，为其前项和，且．
求数列的通项公式；
，，求数列的前项和．
16.本小题分
已知函数 ．
若，求函数在点处的切线方程；
若函数在区间内有极值点，求的取值范围．
17.本小题分
如图，是以为直径的半圆上的动点，已知，且，平面平面．
求证：；
当三棱锥的体积取得最大值时，在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值等于？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
已知椭圆：的上、下焦点分别为，，，顶点在原点的抛物线的焦点与椭圆的上焦点相同，过点的直线与交于，两点，与抛物线交于，两点，当直线垂直于时，．
求椭圆和抛物线的标准方程；
若的内切圆的半径为，求直线的方程；
分别以，为切点作抛物线的切线，，则两切线的交点是否在定直线上？证明你的结论．
19.本小题分
已知是定义在上的函数，若对任意，恒成立，则称为上的非负函数．
判断是否为区间上的非负函数，并说明理由；
已知为正整数，为区间上的非负函数，记的最大值为，求证：数列为等差数列；
已知且，函数，若为区间上的非负函数，为中的等差数列，求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.解：由题意，设正项等比数列的公比为，则
由，可得，
即，
整理，得，
解得舍去，或．
数列的通项公式为，．
由知，．
则．
故
．
16.解：当时，，
则，故点为．
求导得：，则，
所以切线方程：，即
函数在内有极值点，即在内有解，
方程变形为：，
设，，
由，故在内严格递减，
，，
所以 在的值域为，
故的取值范围为．
17.解：证明：过点作于，
平面平面，平面平面，，
平面，
又平面，故BH，
又为直径，，
又，，平面，
平面，
又平面，
，且，、平面，，
平面，
平面，
；
据知，平面，
，
当时，最大；
过点作于，
以为坐标原点，，所在直线为，轴，过点垂直于平面的方向为轴，建立空间直角坐标系，
设线段上存在一点，满足，
设平面的法向量为，
则点，，，，
，则，
，
，
则
令，可得，，
故平面的一个法向量为，
因为平面的法向量为，
则平面与平面夹角的余弦值
，
解得或不合题意舍去，
所以，即时平面与平面夹角的余弦值等于．
18. 解：据题意可得，，从而直线方程为，
由，解得，
所以，解得，
故椭圆的标准方程为，
得，从而设抛物线的标准方程为，
则，得，
抛物线的标准方程为；
据题意设直线的方程为，，，
由，消去得，显然，
则，，
的面积
，
三角形面积公式
，
从而，解得或，
故直线方程为或，即或
设，，
由，消去得，显然
所以，，
对于，，
则点处的切线的方程为，因为，所以，
整理得，
同理，点处的切线的方程为，
设两切线交点为，则．
得 ，
将代入第一个方程得，
所以无论为何值，纵坐标恒为，故交点在定直线上

19.解：函数是上的非负函数．
因为，
所以当时，；时，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，所以，
因此在恒成立，所以函数是上的非负函数．
证明：因为，，
所以当时，；当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数取得最小值，最小值为．
因为函数是上的非负函数，所以，而，
因此，所以，因此数列是首项和公差都为的等差数列．
证明：因为，且 ，
所以当时， 当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数取得最小值，最小值为．
因为为区间上的非负函数，所以．
因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，
因此当时，函数取得最小值，最小值为，所以由得．
因为由题意知：，所以．
令，则，
因此函数是增函数，所以，即，当且仅当时，等号成立，
所以当且 时，，
因此
，
即．

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