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2024-2025学年湖北省武汉市问津联盟高二下学期5月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数在区间上的平均变化率为( )
A. B. C. D.
2.已知为各项均为正数的等比数列，和是方程的两个根，则( )
A. B. C. D.
3.二项式的展开式中常数项为( )
A. B. C. D.
4.甲，乙，丙等五位同学站成一排合影留念，在甲和乙相邻的条件下，丙和甲也相邻的概率为( )
A. B. C. D.
5.曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
6.不能被整除；若随机变量，且，则；如图，现要用种不同的颜色对某市的个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有种不同的着色方法以上说法错误的个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
7.在排列，，，，中，任取两个数，且，如果，则称这两个数，为该排列的一个逆序，一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数在排列，，，，中任取两数，则这组数是逆序的概率是( )
A. B. C. D.
8.抛掷一枚质地均匀的硬币次其中为不小于的整数，设事件表示“次中至少有一次正面和一次反面朝上”，事件表示“次中至多有一次正面朝上”，若事件与事件是独立的，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列四个命题正确的为( )
A. 若，则
B. 抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上点数之和不小于的概率为
C. 新高考改革实行“”模式，某同学需要从政治、地理、化学、生物四个学科中任选两科参加高考，则在选择化学的条件下，选择生物的概率是
D. 在的展开式中含项的系数为
10.年月日至月日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂隆重召开，这是在全党全国各族人民迈上全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的关键时刻召开的一次十分重要的大会某单位组织大家深入学习、领会党的二十大精神，并推出了道有关二十大的测试题供学习者学习和测试已知甲答对每道题的概率都是，乙能答对其中的道题，规定每次测试都是从这道题中随机抽出道，答对一题加分，答错一题或不答减分，总分低于分记为分，甲、乙两人答对与否互不影响，则( )
A. 乙得分的概率是 B. 乙得分的数学期望是
C. 甲得分的概率是 D. 甲、乙的得分都是正数的概率是
11.已知函数，则下列命题中正确的是( )
A. 是的极大值
B. 当时，有且仅有一个零点，且
C. 当时，
D. 若存在极小值点，且，其中，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知的分布列如下表，则______．
13.已知随机变量，则取最小值时，______．
14.定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”将数列进行“美好成长”，第一次得到数列；第二次得到数列；，设第次“美好成长”后得到数列为，记，则数列的通项公式为_______________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知．
求展开式中二项式系数最大的项
求的值．
16.本小题分
已知是等差数列的前项和，且满足是的等差中项，是的等差中项．
求数列的通项公式
记，求数列的前项和
17.本小题分
已知是函数的极值点则
求实数的值
过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围
18.本小题分
为了普及全运知识．某中学举办了一次全运知识闯关比赛．比赛分为初赛与复赛．初赛胜利后才能进入复赛．初赛规定：三人组队参赛．每次只派一个人．且每人只派一次：如果一个人闯关失败．再派下一个人重新闯关：三人中只要有人闯关成功即视作初赛胜利．无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参加初赛．他们各自闯关成功的概率分别为假定互不相等．且每人能否闯关成功相互独立．
若计划依次派丙、乙、甲进行初赛闯关．求该小组初赛胜利的概率：
已知现有两种初赛人员派出方案：
方案一：依次派出甲乙丙： 方案二：依次派出丙乙甲
设方案一和方案二派出人员数目分别为随机变量求并比较它们的大小；
初赛胜利小组的三名成员都可以进入复赛．复赛规定：单人参赛．每个人回答三道题．全部答对获得一等奖：答对两道题获得二等奖：答对一道题获得三等奖：全部答错不获奖．已知某学生进入了复赛．该学生在复赛中前两道题答对的概率均为第三道题答对的概率为若该学生获得一等奖的概率为，设该学生获得二等奖的概率为求的最小值．
19.本小题分
教育部印发的进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知中提出，中小学校要保障学生每天校内、校外各小时体育活动时间，每天统一安排分钟的大课间体育活动一学校某体育项目测试有的人满分，而该校有的学生每天运动时间超过两个小时，这些人体育项目测试满分率为．
从该校随机抽取三人，三人中体育项目测试相互独立，求三人中满分人数的分布列和期望；
现从每天运动时间不超过两个小时的学生中任意调查一名学生，求他体育项目测试满分的概率；
体育测试前甲、乙、丙三人传球做热身训练，每次传球，传球者等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，第次由甲将球传出，求第次传球后球在乙手中的概率．
参考答案
1.
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14.
15.解： 展开式的通项公式为 ，
二项式系数最大为 ，
即 ， ．
由题意 ，
令 ，得
令 ，得 ，
所以．
16.解：设数列 的公差为 ，由 是 的等差中项得 ，即 ，整理得
是 的等差中项得 ，即 ，解得
代入 ，求得 ，故
由得，
当 为偶数时，

当 为奇数时，则 为偶数， ，

综上
17.解：由得，，
因为是的极值点，
故，整理得，
解得或，
当时，，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以为函数的极值点，满足要求；
当时，，
因为，当且仅当时，，
所以函数在上单调递增，
不是函数的极值点，不符合题意，
故；
由可知，，，
设切点坐标为，切线的斜率为，
则切线方程为，
将点代入并整理得，
记，
由题意得，直线与曲线有三个不同的交点，
，
令 ，得 或 ，
当或时，，单调递减，
当时，，单调递增，
且，且
直线与曲线有三个不同的交点，故．
18.解：设事件表示该小组获胜．则 ，
所以该小组初赛胜利的概率为 ．
的可能取值为，，则 ，
此时 ，
的可能取值为，，则 ，
此时 ，
所以
因为 ，
所以 所以 ．
由题意可得 ， ，
则 ，
令 ，则 ，令 ，
所以当 时， ， 为减函数，
当 时． ， 为增函数，
所以 所以 的最小值为 ．
19.解：该校随机抽取三人，每个人满分的概率为，设抽取的三人中满分人数为 ，则 ，
则，，，，
则的分布列为：
所以数学期望
用表示事件“抽到每天运动时间超过两个小时的学生”，则，
用表示事件“抽到体育项目测试满分的学生”，则，且，
又因为，所以，
故，所以 ；
记 表示事件“经过 次传球后，球在乙的手中”，设 次传球后球在乙手中的概率为 ， ，
则有 ，所以 ，所以
，
即 ， ，所以 ，且 ，
所以数列 表示以 为首项， 为公比的等比数列，所以 ，
所以 ，即第 次传球后球在乙手中的概率为

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