2024-2025学年天津市第九中学高二下学期4月期中考试数学试卷(含答案)

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2024-2025学年天津市第九中学高二下学期4月期中考试数学试卷(含答案)

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2024-2025学年天津市第九中学高二下学期4月期中考试数学试卷
一、单选题:本大题共9小题,共45分。
1.已知则( )
A. B. C. D.
2.高二某班共人需要订午饭,其中人每天都订饭,有人可能订饭,可能不订饭,则该班级订饭人员名单共有种情况.
A. B. C. D.
3.,则( )
A. B. C. D.
4.设随机变量,,则( )
A. B. C. D.
5.通过随机询问某中学名中学生是否爱好跳绳,得到列联表,并由计算得:参照附表,则下列结论正确的是( )
A. 根据小概率值的独立性检验,我们认为爱好跳绳与性别无关
B. 根据小概率值的独立性检验,我们认为爱好跳绳与性别无关,这个结论犯错误的概率不超过
C. 根据小概率值的独立性检验,我们认为爱好跳绳与性别无关
D. 在犯错误的概率不超过的前提下,我们认为爱好跳绳与性别无关
6.的展开式中,二项式系数最大的项是第四项和第五项,则的系数为( )
A. B. C. D.
7.某学校一同学研究温差与本校当天新增感冒人数 人的关系,该同学记录了天的数据:
经过拟合,发现基本符合经验回归方程,则下列结论错误的是( )
A. 样本中心点为 B.
C. 时,残差为 D. 相关系数
8.已知是定义在上的奇函数,当时,,则的解集为( )
A. B.
C. D.
9.已知函数,则下列说法正确的有 个
在定义域上有最大值是 在上单调递减
,都有
A. B. C. D.
二、填空题:本大题共6小题,共30分。
10.已知离散型随机变量服从二项分布,则 , .
11.函数,则 .
12.袋子中有个大小相同的球,其中个白球,个黑球,摸出的球不放回在第一次摸到白球的条件下,第二次摸到白球的概率是 ;两次摸到的都是白球的概率是 .
13.函数在上单调递增,则的取值范围是 .
14.,二项式系数和为,则 , 结果用数字表示.
15.若直线与曲线有个交点,则的取值范围为 .
三、解答题:本题共5小题,共75分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
16.计算:
求导:
求导:
17.甲同学参加一项抽奖活动,在一个盒子中,有大小形状完全相同的个球,其中个白球,个红球,一次随机抽取两个球,若取到的两个球颜色相同,则中奖,取的颜色不同则不中奖,抽完奖之后把球再放回盒子里以便于再次抽奖.
求甲抽取一次,至少有一个白球的概率;
求甲抽取一次,中奖的概率;
甲一共抽取了三次,中奖次数为,求的分布列及数学期望.
18.已知在处取得极值为.
求的值;
求的单调性;
求在的值域.
19.某小区有男女共名志愿者,准备从中选择名志愿者参与志愿活动.
求恰好有名男志愿者的概率;
已知选取的志愿者是男女,计划从中选取两人先去从事活动.
选取两人中至少一名女志愿者的概率;
选取女志愿者人数记为,求的分布列及数学期望.
20.已知函数
当时,求在处的切线方程;
当时, 单调递增,求的取值范围;
若恒成立,求的取值范围.
参考答案
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16.【详解】易知,
由可得

因为,
所以


17.【详解】记甲抽取一次,至少有一个白球为事件,
则;
记甲抽取一次,中奖为事件,
则;
因为甲每次抽奖都是独立的,且每次抽奖中奖的概率是相同的,
故中奖次数,
所以,
所以,,
,,
所以的分布列为


18.【详解】易知的定义域为,则,
依题意可得,且,
联立
解得;
由可得,
所以,
令,解得或;
当时,,此时在上单调递增,
当时,,此时在上单调递减;
当时,,此时在上单调递增,
综上可得,在和上单调递增,在上单调递减;
由可知,在上单调递减,在上单调递增,
即在处取得极小值,也是区间内的最小值,
易知,,
又,
因此可得在的值域为.

19.【详解】记“恰好有名男志愿者”为事件,
则可得;
易知从人中选取两人共有种选法,
其中两人全是男志愿者的情况共有种,
因此可知选取两人中至少一名女志愿者的概率为;
易知随机变量的所有可能取值为,
则,,;
所以的分布列为
期望.

20.【详解】当时,由,得,
则,又,
所以曲线在处的切线方程为,
即.
因为时,单调递增,
所以时,恒成立,
即在时恒成立,
设,则,
则时,,所以在上单调递减,可得;
当时,,
所以,所以,单调递增时,的取值范围是.
因为恒成立,所以恒成立,
所以恒成立,
设,则,则,
因为,所以,
令单调递增,,所以,,
所以单调递减;单调递增;
因为,所以,
所以,
所以.

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