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2024-2025学年天津市第九中学高二下学期4月期中考试数学试卷
一、单选题：本大题共9小题，共45分。
1.已知则( )
A. B. C. D.
2.高二某班共人需要订午饭，其中人每天都订饭，有人可能订饭，可能不订饭，则该班级订饭人员名单共有种情况．
A. B. C. D.
3.，则( )
A. B. C. D.
4.设随机变量，，则( )
A. B. C. D.
5.通过随机询问某中学名中学生是否爱好跳绳，得到列联表，并由计算得：参照附表，则下列结论正确的是( )
A. 根据小概率值的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关
B. 根据小概率值的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过
C. 根据小概率值的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关
D. 在犯错误的概率不超过的前提下，我们认为爱好跳绳与性别无关
6.的展开式中，二项式系数最大的项是第四项和第五项，则的系数为( )
A. B. C. D.
7.某学校一同学研究温差与本校当天新增感冒人数 人的关系，该同学记录了天的数据：
经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则下列结论错误的是( )
A. 样本中心点为 B.
C. 时，残差为 D. 相关系数
8.已知是定义在上的奇函数，当时，，则的解集为( )
A. B.
C. D.
9.已知函数，则下列说法正确的有 个
在定义域上有最大值是 在上单调递减
，都有
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共6小题，共30分。
10.已知离散型随机变量服从二项分布，则 ， ．
11.函数，则 ．
12.袋子中有个大小相同的球，其中个白球，个黑球，摸出的球不放回在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到白球的概率是 ；两次摸到的都是白球的概率是 ．
13.函数在上单调递增，则的取值范围是 ．
14.，二项式系数和为，则 ， 结果用数字表示．
15.若直线与曲线有个交点，则的取值范围为 ．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.计算：
求导：
求导：
17.甲同学参加一项抽奖活动，在一个盒子中，有大小形状完全相同的个球，其中个白球，个红球，一次随机抽取两个球，若取到的两个球颜色相同，则中奖，取的颜色不同则不中奖，抽完奖之后把球再放回盒子里以便于再次抽奖．
求甲抽取一次，至少有一个白球的概率；
求甲抽取一次，中奖的概率；
甲一共抽取了三次，中奖次数为，求的分布列及数学期望．
18.已知在处取得极值为．
求的值；
求的单调性；
求在的值域．
19.某小区有男女共名志愿者，准备从中选择名志愿者参与志愿活动．
求恰好有名男志愿者的概率；
已知选取的志愿者是男女，计划从中选取两人先去从事活动．
选取两人中至少一名女志愿者的概率；
选取女志愿者人数记为，求的分布列及数学期望．
20.已知函数
当时，求在处的切线方程；
当时， 单调递增，求的取值范围；
若恒成立，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.【详解】易知，
由可得
；
因为，
所以
．

17.【详解】记甲抽取一次，至少有一个白球为事件，
则；
记甲抽取一次，中奖为事件，
则；
因为甲每次抽奖都是独立的，且每次抽奖中奖的概率是相同的，
故中奖次数，
所以，
所以，，
，，
所以的分布列为
．

18.【详解】易知的定义域为，则，
依题意可得，且，
联立
解得；
由可得，
所以，
令，解得或；
当时，，此时在上单调递增，
当时，，此时在上单调递减；
当时，，此时在上单调递增，
综上可得，在和上单调递增，在上单调递减；
由可知，在上单调递减，在上单调递增，
即在处取得极小值，也是区间内的最小值，
易知，，
又，
因此可得在的值域为．

19.【详解】记“恰好有名男志愿者”为事件，
则可得；
易知从人中选取两人共有种选法，
其中两人全是男志愿者的情况共有种，
因此可知选取两人中至少一名女志愿者的概率为；
易知随机变量的所有可能取值为，
则，，；
所以的分布列为
期望．

20.【详解】当时，由，得，
则，又，
所以曲线在处的切线方程为，
即．
因为时，单调递增，
所以时，恒成立，
即在时恒成立，
设，则，
则时，，所以在上单调递减，可得；
当时，，
所以，所以，单调递增时，的取值范围是．
因为恒成立，所以恒成立，
所以恒成立，
设，则，则，
因为，所以，
令单调递增，，所以，，
所以单调递减；单调递增；
因为，所以，
所以，
所以．

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