2024-2025学年天津市第一中学高二下学期期中数学试卷(含答案)

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2024-2025学年天津市第一中学高二下学期期中数学试卷(含答案)

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2024-2025学年天津市第一中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题:本大题共10小题,共30分。
1.已知函数的导函数为,且,则( )
A. B. C. D.
2.设曲线在点处的切线与直线平行,则( )
A. B. C. D.
3.已知,则等于( )
A. B. C. D.
4.如图是的导函数的图象,对于下列四个判断,其中正确的判断是( )
A. 当时,取得极小值
B. 在上是增函数
C. 当时,取得极大值
D. 在上是增函数,在上是减函数
5.若,则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知,函数的单调递增区间为( )
A. B. C. D.
7.把件不同产品随机摆成一排,则产品与产品相邻,且产品与产品不相邻的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知方程有两个零点,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
9.在哪吒之魔童闹海中,哪吒成仙三关检测中第一关收服土拨鼠,土拨鼠小队眼神清澈,手拿破碗,穿着破烂,吃着南瓜粥,过着自给自足,与世无争的生活若在某天清晨,土拨鼠小队长带领另外只土拨鼠排队出门巡逻,小队长只能在排头或结尾;甲土拨鼠是新手,不能离队长超过只土拨鼠距离;乙丙土拨鼠太吵闹不能相邻,请问这支土拨鼠小队总共有 种排队巡逻方式.
A. B. C. D.
10.若定义在上的函数,,,,可以作为一个三角形的三条边长,则称是上的“三角形函数”已知函数是定义在区间上的“三角形函数”,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题:本大题共6小题,共24分。
11.在的展开式中,项的系数为 .
12.过原点的直线与及的图象都相切,则实数的值为 .
13.已知的展开式中各项系数的和与二项式系数的和相等,则展开式中含项的系数为 用数字作答
14.已知函数在定义域上单调递增,则实数的最大值是 .
15.某大学开设了“九章算术”,“数学原理”,“算术研究”三门选修课程甲、乙、丙、丁四位同学进行选课,每人只能等可能地选择一门课程,每门课程至少一个人选择
若甲和乙选择的课程不同,则四人选课的不同方案共有 种
若定义事件为丙和丁恰好有一人选择的是“九章算术”,则 .
16.设实数,若对任意的,不等式恒成立,则实数的最小值为 .
三、解答题:本题共4小题,共46分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(11分)已知四棱柱中,底面为梯形,,平面,,其中,,是的中点,是的中点.

求证平面;
求平面与平面的夹角余弦值;
求点到平面的距离.
18.(11分)已知函数在处取得极值.
求函数的解析式;
求曲线在上的最大值和最小值;
19.(12分)已知函数
当时,求的展开式中二项式系数最大的项;
若,且,
求的值;
求的最大值.
20.(12分)已知函数 .
求的单调区间;
若恒成立,求实数的取值范围;
若正实数,满足证明:
参考答案
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17.解:

如图,取中点,连接,由是的中点得,且,
由是的中点得,且,
,即四边形是平行四边形,故,
平面,平面,平面.
如图,以为原点建立空间直角坐标系,则,,,,,
,,.
设平面的法向量为,则
令,得,故,
设平面的法向量为,则
令,得,故,
,故平面与平面的夹角余弦值为.
由得,,
点到平面的距离为.

18.解:因为,则,
因为函数在处取得极值,则
解得或
当,时,则恒成立,
此时,函数在上为增函数,不合乎题意;
当,时,,
由可得或,列表如下:
增 极大值 减 极小值 增
此时,函数在处取得极小值,合乎题意.
综上所述,.
由可知,函数在区间上单调递增,在区间上单调递减,在区间上单调递增,
故当时,函数的极大值为,极小值为,
又因为,,
故当时,函数的最大值为,最小值为.

19.解:当时,的展开式共有项,二项式系数最大的项为第四项或第五项,所以或;
的通项公式为,且,所以,解得,
所以,,令,得
的通项公式为,所以,
设为中的最大值,则
解得,,,所以,
所以.

20.解:依题意,的定义域为,,
得;得,
故在区间上单调递减,在区间上单调递增.
由,即对恒成立,
设,,则,

当时,,则在上单调递增,
故,符合题意;
当时,令,则,因,则该一元二方程存在两个根,又,则,
则得;得,
则在区间上单调递增,在区间上单调递增减,
则当时,不符合题意,
综上可知,实数的取值范围为.
令,,
令,


设,,则,则在上单调递增,
当时,,则,;
当时,,则,,
则在上单调递减,在上单调递增,
则,
由可知,当时,,则
综上可知,.

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