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2024-2025学年天津市第一中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本大题共10小题，共30分。
1.已知函数的导函数为，且，则( )
A. B. C. D.
2.设曲线在点处的切线与直线平行，则( )
A. B. C. D.
3.已知，则等于( )
A. B. C. D.
4.如图是的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是( )
A. 当时，取得极小值
B. 在上是增函数
C. 当时，取得极大值
D. 在上是增函数，在上是减函数
5.若，则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知，函数的单调递增区间为( )
A. B. C. D.
7.把件不同产品随机摆成一排，则产品与产品相邻，且产品与产品不相邻的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知方程有两个零点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
9.在哪吒之魔童闹海中，哪吒成仙三关检测中第一关收服土拨鼠，土拨鼠小队眼神清澈，手拿破碗，穿着破烂，吃着南瓜粥，过着自给自足，与世无争的生活若在某天清晨，土拨鼠小队长带领另外只土拨鼠排队出门巡逻，小队长只能在排头或结尾；甲土拨鼠是新手，不能离队长超过只土拨鼠距离；乙丙土拨鼠太吵闹不能相邻，请问这支土拨鼠小队总共有 种排队巡逻方式．
A. B. C. D.
10.若定义在上的函数，，，，可以作为一个三角形的三条边长，则称是上的“三角形函数”已知函数是定义在区间上的“三角形函数”，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共6小题，共24分。
11.在的展开式中，项的系数为 ．
12.过原点的直线与及的图象都相切，则实数的值为 ．
13.已知的展开式中各项系数的和与二项式系数的和相等，则展开式中含项的系数为 用数字作答
14.已知函数在定义域上单调递增，则实数的最大值是 ．
15.某大学开设了“九章算术”，“数学原理”，“算术研究”三门选修课程甲、乙、丙、丁四位同学进行选课，每人只能等可能地选择一门课程，每门课程至少一个人选择
若甲和乙选择的课程不同，则四人选课的不同方案共有 种
若定义事件为丙和丁恰好有一人选择的是“九章算术”，则 ．
16.设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为 ．
三、解答题：本题共4小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（11分）已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，，是的中点，是的中点．

求证平面；
求平面与平面的夹角余弦值；
求点到平面的距离．
18.（11分）已知函数在处取得极值．
求函数的解析式；
求曲线在上的最大值和最小值；
19.（12分）已知函数
当时，求的展开式中二项式系数最大的项；
若，且，
求的值；
求的最大值．
20.（12分）已知函数 ．
求的单调区间；
若恒成立，求实数的取值范围；
若正实数，满足证明：
参考答案
1.
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14.
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16.
17.解：

如图，取中点，连接，由是的中点得，且，
由是的中点得，且，
，即四边形是平行四边形，故，
平面，平面，平面．
如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，，，
，，．
设平面的法向量为，则
令，得，故，
设平面的法向量为，则
令，得，故，
，故平面与平面的夹角余弦值为．
由得，，
点到平面的距离为．

18.解：因为，则，
因为函数在处取得极值，则
解得或
当，时，则恒成立，
此时，函数在上为增函数，不合乎题意；
当，时，，
由可得或，列表如下：
增 极大值 减 极小值 增
此时，函数在处取得极小值，合乎题意．
综上所述，．
由可知，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故当时，函数的极大值为，极小值为，
又因为，，
故当时，函数的最大值为，最小值为．

19.解：当时，的展开式共有项，二项式系数最大的项为第四项或第五项，所以或；
的通项公式为，且，所以，解得，
所以，，令，得
的通项公式为，所以，
设为中的最大值，则
解得，，，所以，
所以．

20.解：依题意，的定义域为，，
得；得，
故在区间上单调递减，在区间上单调递增．
由，即对恒成立，
设，，则，
，
当时，，则在上单调递增，
故，符合题意；
当时，令，则，因，则该一元二方程存在两个根，又，则，
则得；得，
则在区间上单调递增，在区间上单调递增减，
则当时，不符合题意，
综上可知，实数的取值范围为．
令，，
令，
则
，
设，，则，则在上单调递增，
当时，，则，；
当时，，则，，
则在上单调递减，在上单调递增，
则，
由可知，当时，，则
综上可知，．

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