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2024-2025学年四川省资阳市某校高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数满足，则( )
A. B. C. D.
2.在等比数列中，是方程的两个实数根，则( )
A. B. C. D.
3.已知函数有个不同的零点，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
4.数列满足，，其前项的积为，则( )
A. B. C. D.
5.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知数列满足，且，则( )
A. B. C. D.
7.已知数列满足，则其前项和为( )
A. B. C. D.
8.过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导数的运算中正确的是( )
A. B.
C. D.
10.已知无穷等差数列的前项和为，且，则( )
A. 在数列中，最大 B. 在数列中，最大
C. D. 当时，
11.如图是导函数的导函数的图象，则下列说法正确的是( )
A. 函数在区间上单调递减
B. 函数在区间上单调递增
C. 函数在处取极大值
D. 函数在，处取极小值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线在处的切线方程为 ．
13.已知两个等差数列与的前项和分别是和，其中，则 ．
14.设、分别是定义在上的奇函数和非零偶函数，当时，，且，则不等的解集是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知为等比数列，是，的等差中项．
求的通项公式；
求数列的前项和．
16.本小题分
已知函数．
当时，求函数的单调区间；
若在时取得极值，求函数在区间上的最小值．
17.本小题分
已知数列的前项和为，且满足，．
证明：数列为等比数列；
求的通项公式及．
18.本小题分
设为数列的前项和，且是和的等差中项．
求数列的通项公式；
令，数列的前项和为，证明：．
19.本小题分
已知函数．
求函数的极值；
若函数恰有两个零点，求实数的取值范围．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.【详解】设的公比为，因为为，的等差中项，
所以，即，
则，解得，
所以．
设的前项和为，又，
，
，
得，
所以．

16.【详解】由题得，且定义域为．
当时，函数，因此，
所以当或时，，当时，，
所以函数的递增区间是，递减区间是．
由函数在时取得极值，得，解得，
由可知在上单调递增，在上单调递减，
满足在时取得极小值，故，
又，
所以函数在区间上的最小值是．

17.【详解】证明：因为，
数列的首项为，
所以数列是首项为，公比为的等比数列；
因为，所以，
所以
．

18.【详解】解法：因为是和的等差中项，
所以，即
当时，，得．
当时，，
得，得，即．
所以数列是以首项为，公比为的等比数列．
所以．
解法：因为是和的等差中项，
所以，即．
当时，，得．
当时，，得．
当时，，得．
猜想：．
下面用数学归纳法证明
当时，可知猜想成立，
假设时，猜想成立，即，
依题意，得，得，
又，得，
则，
得．
即当时，猜想也成立．
由，可知猜想成立，即．
因为，
得，
所以．
由于，得，
得，
所以．

19.【详解】由题设，
当或，，在、上单调递增，
当，，在上单调递减，
所以极大值为，极小值为．
由时，趋向于，时，趋向于，且，
结合知，在上，且，

要使函数恰有两个零点，则或．

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