2024-2025学年四川省资阳市某校高二下学期期中考试数学试卷(含答案)

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2024-2025学年四川省资阳市某校高二下学期期中考试数学试卷(含答案)

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2024-2025学年四川省资阳市某校高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数满足,则( )
A. B. C. D.
2.在等比数列中,是方程的两个实数根,则( )
A. B. C. D.
3.已知函数有个不同的零点,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
4.数列满足,,其前项的积为,则( )
A. B. C. D.
5.若函数在上单调递增,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知数列满足,且,则( )
A. B. C. D.
7.已知数列满足,则其前项和为( )
A. B. C. D.
8.过点可以做三条直线与曲线相切,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.下列求导数的运算中正确的是( )
A. B.
C. D.
10.已知无穷等差数列的前项和为,且,则( )
A. 在数列中,最大 B. 在数列中,最大
C. D. 当时,
11.如图是导函数的导函数的图象,则下列说法正确的是( )
A. 函数在区间上单调递减
B. 函数在区间上单调递增
C. 函数在处取极大值
D. 函数在,处取极小值
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.曲线在处的切线方程为 .
13.已知两个等差数列与的前项和分别是和,其中,则 .
14.设、分别是定义在上的奇函数和非零偶函数,当时,,且,则不等的解集是 .
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知为等比数列,是,的等差中项.
求的通项公式;
求数列的前项和.
16.本小题分
已知函数.
当时,求函数的单调区间;
若在时取得极值,求函数在区间上的最小值.
17.本小题分
已知数列的前项和为,且满足,.
证明:数列为等比数列;
求的通项公式及.
18.本小题分
设为数列的前项和,且是和的等差中项.
求数列的通项公式;
令,数列的前项和为,证明:.
19.本小题分
已知函数.
求函数的极值;
若函数恰有两个零点,求实数的取值范围.
参考答案
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15.【详解】设的公比为,因为为,的等差中项,
所以,即,
则,解得,
所以.
设的前项和为,又,


得,
所以.

16.【详解】由题得,且定义域为.
当时,函数,因此,
所以当或时,,当时,,
所以函数的递增区间是,递减区间是.
由函数在时取得极值,得,解得,
由可知在上单调递增,在上单调递减,
满足在时取得极小值,故,
又,
所以函数在区间上的最小值是.

17.【详解】证明:因为,
数列的首项为,
所以数列是首项为,公比为的等比数列;
因为,所以,
所以


18.【详解】解法:因为是和的等差中项,
所以,即
当时,,得.
当时,,
得,得,即.
所以数列是以首项为,公比为的等比数列.
所以.
解法:因为是和的等差中项,
所以,即.
当时,,得.
当时,,得.
当时,,得.
猜想:.
下面用数学归纳法证明
当时,可知猜想成立,
假设时,猜想成立,即,
依题意,得,得,
又,得,
则,
得.
即当时,猜想也成立.
由,可知猜想成立,即.
因为,
得,
所以.
由于,得,
得,
所以.

19.【详解】由题设,
当或,,在、上单调递增,
当,,在上单调递减,
所以极大值为,极小值为.
由时,趋向于,时,趋向于,且,
结合知,在上,且,

要使函数恰有两个零点,则或.

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