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2024-2025学年四川省泸州市古蔺县蔺阳中学校高二下学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
3.抛物线的焦点为，为抛物线上一点，若，则点的横坐标为( )
A. B. C. D.
4.如图，在棱长为的正方体中，是棱的中点，则( )
A. B. C. D.
5.在二项式的展开式中，常数项为( )
A. B. C. D.
6.已知函数的定义域为且导函数为，函数的图象如图，则下列说法正确的是( )
A. 函数的增区间是
B. 函数的减区间是
C. 是函数的极大值点
D. 是函数的极大值点
7.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”又称“角谷猜想”等已知数列满足：，，则( )
A. B. C. D.
8.已知，则，，大小关系为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列的前项和，则下列正确的是( )
A. B.
C. 取最小值时， D. 为递增数列
10.某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理即确定一个居民月均用水量标准：用水量不超过的部分按照平价收费，超过的部分按照议价收费为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了位居民某年的月均用水量单位：吨，按照分组，，制作了频率分布直方图，下列说法正确的有( )
A. 第一组的频率为
B. 该市居民月均用水量的众数的估计值为
C. 如果希望的居民每月的用水量不超出标准，则月均用水量吨的最低标准的估计值为
D. 在该样本中月均用水量少于吨的个居民中用随机抽样的方法抽取人，则抽到的人月均用水量都不低于吨的概率为
11.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 函数在上单调递减，则
B. 当时，若有个零点，则实数或
C. 当时，若，则
D. 若直线与曲线有个不同的交点，，，且，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.甲、乙等位大学生分配到所单位实习，每人只能到一所单位实习，每所单位至少接收一人，则甲、乙分到同一单位的方案有 种．
13.曲线在点处的切线方程为 ．
14.已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数，若，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数在时取得极小值．
求的值；
求在区间上的最值．
16.本小题分
已知数列满足：，．
证明：是等差数列；
设，记数列的前项和．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，平面，是边长为的正三角形，，，分别为，的中点．

求证：平面；
求直线与平面所成角的余弦值．
18.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
当时，证明；
若对任意的不等正数，总有，求实数的取值范围．
19.本小题分
在圆上任取一点，过点作轴的垂线段为垂足，当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹为曲线当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合．
求曲线的方程；
为曲线与轴的交点，过点作直线交于两点与，不重合，直线与交于点．
证明：点在定直线上；
是否存在点使得，若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.解：因为，所以，
依题意，解得或
若，则，则无极值点，不满足题意，
经检验符合题意，所以．
由知，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，上单调递增，
则在处取得极小值，
又，，，
所以在上的最小值为，最大值为．

16.解：由已知得，由
得，即，
又，所以数列是以为首项，为公差的等差数列；
由得，即；
所以，
所以，，
两式相减可得
，
可得．

17.解：在三棱柱中，由底面，平面，得，
由为等边三角形，为的中点，得，
而平面，所以平面．
取中点，连结，由为的中点，得，
由知平面，平面，则，而，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，
，，设平面的法向量，
则，令，得，而，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的余弦值为．


18.解：由题意得：定义域为，；
当时，，，在上恒成立，
在上单调递增；
当时，令，解得：，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．
由知：；
要证，只需证，即证；
设，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，；
又，，即．
不妨设，则由得：，
即，
令，则在上单调递增，
在上恒成立，
即，又，；
令，则，
令，解得：舍或，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
，，解得：；
的取值范围为．

19.解：设点的坐标为，由轴于，为线段的中点，得点，
由点在圆上，得，即，
所以点的轨迹的方程是．
由不妨令，直线不垂直于轴，
设直线，，
由，得，由，得或，
则，，
直线方程为，直线方程为，
联立消去，得，
解得，所以点在直线上
由，得，则点在以为直径的圆上，
设，则，解得，即，
于是直线的方程为，由消去得，
而点横坐标为，则点横坐标，纵坐标，
所以直线的斜率．


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