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2024-2025学年四川省成都市盐道街中学高二下学期半期考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等差数列中，若，，则公差( )
A. B. C. D.
2.集合，，从集合中取一个元素作为点的横坐标，从集合中取一个元素作为点的纵坐标，则该点在第一象限内有 种
A. B. C. D.
3.已知数列满足，若，则等于( )
A. B. C. D.
4.若函数无极值，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知数列为等比数列，其中，为方程的两根．则( )
A. B. C. D.
6.设函数是上可导的偶函数，且，当，满足，则的解集为( )
A. B.
C. D.
7.南宋数学家杨辉在详解九章算术中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列为一阶等差数列，或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列为二阶等差数列，依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列，，，，，是一阶等比数列，则该数列的第项是( )
A. B. C. D.
8.若曲线与，恰有条公切线，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数的导函数的图象如图所示，则( )
A.
B.
C. 有个极大值点，个极小值点
D. 的单调递减区间为，
10.已知数列的前项和为，则下列说法正确的是( )
A. 若是等差数列，，，则使的最大正整数的值为
B. 若是等比数列，为常数，则必有
C. 若是等比数列，，，也为等比数列
D. 若，，则数列为递增等差数列
11.已知，若存在，，使得成立，则下列结论中正确的是( )
A. 当时， B. 当时，
C. 存在，使得成立 D. 恒成立，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若抛物线经过点，则该抛物线的焦点到准线的距离为 ．
13.已知数列的前项和，设为数列的前项和，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．
14.已知函数，则下列命题叙述正确的是 填写番号
当时，；
若不等式至少有个正整数解，则；
过点作函数图象的切线有且只有一条；
设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，，．
证明：平面．
若，求二面角的余弦值．
16.本小题分
已知函数，．
求曲线在点处的切线方程．
求函数的极值．
若函数在区间上为单调递增函数，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知数列的前项和为且满足；等差数列满足，且，，成等比数列．
求数列与的通项公式；
求数列的最大项；
记数列的前项和为，求，
18.本小题分
已知椭圆上的点到其右焦点的最大距离为．
求椭圆的方程；
设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点异于
若的面积为，求直线的方程；
若直线与直线交于点，证明：点在一条定直线上．
19.本小题分
已知函数为自然对数的底数，．
讨论的单调性；
若有两个零点，求实数的取值范围；
当时，对任意的恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
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4.
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8.
9.
10.
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13.
14.
15.解：证明：因为底面为正方形，所以．
又因为，，平面，所以平面；
因为平面，所以．
因为，与相交，平面．
所以平面．
解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设，则，，，，则，，．
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
所以平面的一个法向量为．
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
所以平面的一个法向量为．
，
易知二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为．

16.解：，，，，
曲线在点处的切线方程为，即；
，，
由，得，由得，
在单调递减，在单调递增，
当时，有极小值，无极大值；
设函数，则，
函数在区间上为单调递增函数，
在恒成立，即在恒成立，
设，，则，
，，在区间上单调递减，
，，
实数的取值范围为．

17.解：，且，，
，
，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，则．
设等差数列的公差为，
则由，得，
解得：舍，或，所以．
由可知，
当时，，所以，
当时，，所以．
经分析可知当时，最大，且最大值为．
由可知，，设，
则，
两式相减得
故．

18.解：由题意可知，，所以．
又，
所以椭圆的方程为；
设过点的直线方程为，点，
联立，得，
则，
则．
又因为点到直线的距离．
令，解得，
所以直线的方程为．
由知，
则直线，直线，
由，整理得．
由知，得，
所以，
即，解得，
所以点在直线上．


19.解：易知定义域为，又，
当时，在恒成立，此时在单调递增，
当时，令，则，
又时，；时，
所以在单调递增，在单调递减．
综上所述，当时，在区间单调递增，
时，在区间单调递增，在区间单调递减．
因为有两个零点关于的方程有两个相异实根，
由，知，由，得到，即，
有两个零点有两个相异实根，
令，则，令，得到，
当时，，当时，，
在区间上单调递增，在区间上单调递减，
，又时，，时，，
则的图象如图，
由图知，当有两个零点时，实数的取值范围为．
当时，，
所以原命题等价于对一切恒成立，
即对一切恒成立，
令，则，
又，令，，
则恒成立，所以在上单调递增，
又，，所以，使，
即，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，由知，
，
令，则恒成立，
所以函数在单调递增，
所以，即，则，
所以，故实数的取值范围为．

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