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2024-2025学年江苏省徐州市第三中学高二下学期4月期中调研
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.四个同学排成一排，甲不站在排头，乙不站在排尾的排法总数是( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
2.若的展开式各项系数之和为，则实数为( )
A. B. C. D.
3.西峡猕猴桃是河南省的特产，是中国国家地理标志产品．据统计，西峡县某种植基地猕猴桃的单果质量单位：克近似服从正态分布，则估计该基地猕猴桃的单果质量在区间内的概率为( )附：若，则，，．
A. B. C. D.
4.二项式的展开式中有理项的个数为( )
A. B. C. D.
5.已知，为的导函数，则的大致图象是( )
A. B.
C. D.
6.设，为两个事件，若，，则等于( )
A. B. C. D.
7.已知随机变量的分布列：满足，则的值为( )
A. B. C. D.
8.设，若为函数的极大值点，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，若，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D.
10.甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是( )
A. 如果甲乙丙按从左到右的顺序可以不相邻，则不同排法共有种
B. 如果甲乙不相邻，则不同排法共有种
C. 如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有种
D. 如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有种
11.下列选项正确的是( )
A. 若随机变量服从两点分布，也称分布，且，则
B. 若随机变量满足，则
C. 若随机变量，则
D. 某人在次射击中，击中目标的次数为，若，则此人最有可能次击中目标
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某流水线上生产的一批零件，其规格指标可以看作一个随机变量，且，对于的零件即为不合格，不合格零件出现的概率为，现从这批零件中随机抽取个，用用表示个零件的规格指标位于区间的个数，则随机变量的方差是 ．
13.盒中装有个黄球和个红球，现从盒中每次随机取出个球且不放回，直至取出红球设在此过程中，取到黄球的个数为，则
14.若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
随着互联网的高速发展和新媒体形式的不断丰富，微短剧作为一种新兴的文化载体，正逐渐成为拓展文化消费空间的重要途径某媒体为了了解微短剧消费者的年龄分布，随机调查了名消费者，得到如下列联表：
年龄不超过岁 年龄超过岁 合计
是微短剧消费者
不是微短剧消费者
合计
根据小概率值的独立性检验，能否认为“是微短剧消费者”与“年龄不超过岁”有关联？
记年的年份代码依次为，，，，，下表为年中国微短剧市场规模及年中国微短剧预测的市场规模单位：亿元与的统计数据：
年份代码
市场规模
根据上表数据求得关于的经验回归方程为，求相关系数，并判断该经验回归方程是否有价值．
参考公式：，其中，．
，相关系数．．
若，则认为经验回归方程有价值．
16.本小题分
已知函数在处取得极小值．
求实数的值；
当时，求函数的值域．
17.本小题分
我国是全球制造业大国，制造业增加值自年起连续年位居世界第一，主要产品产量稳居世界前列，为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破设备生产的零件的直径为单位：
现有旧设备生产的零件共个，其中直径大于的有个现从这个零件中随机抽取个记表示取出的零件中直径大于的零件的个数，求的分布列及数学期望；
技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立现任取个零件进行检测，若合格的零件数超过半数，则可认为技术攻坚成功求技术攻坚成功的概率及的方差；
若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的零件中随机取出个，求至少有一个零件直径大于的概率．
参考数据：若，则，，
18.本小题分
设新能源车性能测试分为实验室检测和路面检测两个阶段实验室检测合格后才能进入路面检测，路面检测合格后该车才可投入量产，这两个检测阶段是否合格相互独立其中实验室检测阶段包括环节和环节，两个环节至少通过一个才算实验室检测合格，且这两个环节检测结果相互独立某公司汽车研发出甲乙两款车型，现对其进行性能检测实验室检测阶段中甲车通过环节的概率分别为，乙车通过环节的概率分别为，路面测试环节中甲乙款车合格的概率分别为．
求甲，乙两款车型中恰有一款车进入路面检测的概率；
设甲，乙两款车型可投入量产的种数为，求的分布列与均值．
19.本小题分
已知函数，．
若曲线在处的切线与直线垂直，求的值；
讨论的单调性；
当时，，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.列联表如下：
年龄不超过岁 年龄超过岁 合计
是微短剧消费者
不是微短剧消费者
合计
零假设“是微短剧消费者”与“年龄不超过岁”无关联，
因为，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为“是微短剧消费者”与“年龄不超过岁”有关联，此推断犯错误的概率不超过．
由的取值依次为，，，，，得，，
因为经验回归方程为，
所以，
所以，
所以．
因为，所以该经验回归方程有价值．

16.【详解】由题意可知，
因为在处取极小值，所以，解得，
此时，
所以在上单调递减，在上单调递增
所以在时取极小值，符合题意
所以，又，所以．
综上．
由得，所以
列表如下：
极大值
极小值
故时，的值域为．

17.【详解】由题意，可知可取，，，，
，，，，
所以的分布列为：
从而的数学期望．
可取的值为，，，，，，，显然，
，，
．
所以技术攻坚成功的概率，
所以的方差．
由，得，由，得，
则，
于是，则，
记“从生产的零件中随机取出个，至少有一个零件直径大于”为事件，
则．
所以至少有一个零件直径大于的概率为．
【点睛】方法点睛：判断随机变量是否服从二项分布：一是要看在一次试验中是否只有两种试验结果，且两种试验结果发生的概率分别为，；二是看是否为次独立重复试验，且随机变量是否为某事件在这次独立重复试验中发生的次数．

18.【详解】设事件表示甲车通过实验室测试，事件表示乙车通过实验室测试，
则，，
则甲、乙中恰有一款车进入路面测试的概率为：
；
随机变量可能的取值为：，
由题意，甲、乙车投产的概率分别为，
所以，
，
，
所以数学期望．

19.【详解】因为，所以，
所以，
又在处的切线与直线垂直，所以，
即，所以．
，．
当时，，所以在上单调递增．
当时，令，得，又，所以．
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
由，得在上恒成立．
令，，则，令，得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以，即，
则在上恒成立．
令，，
则
．
因为，所以，则，
令，得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以，
所以，即的取值范围是．

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