2024-2025学年福建省泉州市晋江市第一中学高一下学期期中考试数学试卷(含答案)

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2024-2025学年福建省泉州市晋江市第一中学高一下学期期中考试数学试卷(含答案)

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2024-2025学年福建省泉州市晋江市第一中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知一个圆锥的底面半径为,母线长为,则圆锥的侧面展开图的圆心角为( )
A. B. C. D.
2.已知复数,为的共轭复数,则( )
A. B. C. D.
3.如图,四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形,已知,,则四边形的周长为( )
A. B. C. D.
4.在九章算术中,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.如图,已知在鳖臑中,满足平面,且,,,则此鳖臑外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
5.已知,则( )
A. B. C. D.
6.如图的方斗杯古时候常作为盛酒的一种容器,有如图的方斗杯,其形状是一个上大下小的正四棱台,,,现往该方斗杯里加某种酒,当酒的高度是方斗杯高度的一半时,用酒,则该方斗杯可盛该种酒的总容积为( )
A. B. C. D.
7.已知,是球的球面上两点,且,是该球面上的动点,是该球面与平面交线上的动点,若四面体体积的最大值为,则球的体积为( )
A. B. C. D.
8.已知平面向量,且,向量满足,则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.在长方体中,,,点为线段上的一动点,则( )
A. 所在的直线与所在的直线为异面直线
B. 平行于平面内的任意一条直线
C. 的最小值为
D. 三棱锥的体积为定值
10.在中,内角的对边分别为为内一点,则下列命题正确的是( )
A. 若,则的面积与的面积之比是
B. 若,则满足条件的三角形有两个
C. 若,则为等腰三角形
D. 若点是的重心,且,则为直角三角形
11.设复数,且,其中为确定的复数,下列说法正确的是 .
A. 若,则是实数
B. 若,则存在唯一实数对使得
C. 若,则在复平面内对应的点的轨迹是射线
D. 若,则
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.已知向量的夹角为,且,则 .
13.如图,为测量山高,选择和另一座山的山顶为测量观测点.从点测得点的仰角,点的仰角以及;从点测得,已知山高,则山高 .
14.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,若函数和在上都恰好存在两个零点,则的取值范围是 .
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在平行四边形中,和分别是边和的中点,设,.
若,其中、,求的值;
若,,与的夹角为,求在上的投影向量用和表示.
16.本小题分
在中,内角所对的边分别为且
求角的大小;
若点在边上,平分,,,求线段长.
17.本小题分
如图,在直三棱柱中,为的中点在中,内角、、的对边分别为、、,若的面积为.
求;
求证:平面;
求三棱锥的体积.
18.本小题分
已知平面向量、满足,,.
求的最小正周期及单调递减区间;
在平面四边形中,如图所示:
若锐角满足,,求线段长度的最大值;
若,,求四边形面积的最大值.
19.本小题分
对于数集,其中,,定义向量集,若对任意,存在使得,则称具有性质.
判断是否具有性质;
若,且具有性质,求的值;
若具有性质,求证:且当时,.
参考答案
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15.解:在平行四边形中,,,
因为和分别是边和的中点,,,
所以,,
所以,
又,,又,
,.
记投影向量为,

因为若,,与的夹角为,所以,
所以.
所以投影向量为

16.解:因为
由正弦定理得两边除以

整理为即,
解得或舍去,
又因为可得
在中,根据余弦定理,
有,即,
解得,或舍去,
因为平分,所以,
设则
在中,由正弦定理得,即
在中,由正弦定理得,即,
所以
又因为,所以
在中,
在中,
所以

17.解:.
所以.
又由,可得,所以.
连接,设,连接,

在直三棱柱中,四边形为平行四边形,则为的中点,
又因为为的中点,则,因为平面平面,
因此平面.
因为平面,则点到平面的距离等于点到平面的距离,
所以.
在中,为的中点,,
所以.
因此.

18.解:

的最小正周期为:;
当时,
即当时,函数单调递减,
所以函数单调递减区间为:;
设,
在中,根据余弦定理可知,,
满足,所以,
设,,

在和中,

得,

,,
,当,即时,函数取得最大值.
所以的最大值为;
在中,,
中,,
两式相加得,则,
两边平方后得,
根据余弦定理可知,,
即,得,
两边平方后,,
式两边乘以后得,,

即,
当时,的最大值为,
所以四边形的面积取得最大值为.

19.解:具有性质.
因为,
所以,
若对任意,存在使得,
所以具有性质.
因为,且具有性质,
所以可取,
又中与垂直的元素必有形式中的一个,
当时,由,可得,不符合题意;
当时,由,可得,符合题意;
当时,由,可得,不符合题意;
所以.
证明:取,设,满足,
所以,所以异号,
因为是中的唯一的负数,
所以中之一为,另一个为,
所以,
假设,其中,则,
选取,并设,满足,
所以,则异号,从而之中恰有一个为,
若,则,显然矛盾;
若,则,矛盾,
所以当时,,
综上,得证.

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