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2024-2025学年福建省泉州市晋江市第一中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知一个圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面展开图的圆心角为( )
A. B. C. D.
2.已知复数，为的共轭复数，则( )
A. B. C. D.
3.如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形的周长为( )
A. B. C. D.
4.在九章算术中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图，已知在鳖臑中，满足平面，且，，，则此鳖臑外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.如图的方斗杯古时候常作为盛酒的一种容器，有如图的方斗杯，其形状是一个上大下小的正四棱台，，，现往该方斗杯里加某种酒，当酒的高度是方斗杯高度的一半时，用酒，则该方斗杯可盛该种酒的总容积为( )
A. B. C. D.
7.已知，是球的球面上两点，且，是该球面上的动点，是该球面与平面交线上的动点，若四面体体积的最大值为，则球的体积为( )
A. B. C. D.
8.已知平面向量，且，向量满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在长方体中，，，点为线段上的一动点，则( )
A. 所在的直线与所在的直线为异面直线
B. 平行于平面内的任意一条直线
C. 的最小值为
D. 三棱锥的体积为定值
10.在中，内角的对边分别为为内一点，则下列命题正确的是( )
A. 若，则的面积与的面积之比是
B. 若，则满足条件的三角形有两个
C. 若，则为等腰三角形
D. 若点是的重心，且，则为直角三角形
11.设复数，且，其中为确定的复数，下列说法正确的是 ．
A. 若，则是实数
B. 若，则存在唯一实数对使得
C. 若，则在复平面内对应的点的轨迹是射线
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量的夹角为，且，则 ．
13.如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得，已知山高，则山高 ．
14.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数和在上都恰好存在两个零点，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在平行四边形中，和分别是边和的中点，设，．
若，其中、，求的值；
若，，与的夹角为，求在上的投影向量用和表示．
16.本小题分
在中，内角所对的边分别为且
求角的大小；
若点在边上，平分，，，求线段长．
17.本小题分
如图，在直三棱柱中，为的中点在中，内角、、的对边分别为、、，若的面积为．
求；
求证：平面；
求三棱锥的体积．
18.本小题分
已知平面向量、满足，，．
求的最小正周期及单调递减区间；
在平面四边形中，如图所示：
若锐角满足，，求线段长度的最大值；
若，，求四边形面积的最大值．
19.本小题分
对于数集，其中，，定义向量集，若对任意，存在使得，则称具有性质．
判断是否具有性质；
若，且具有性质，求的值；
若具有性质，求证：且当时，．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：在平行四边形中，，，
因为和分别是边和的中点，，，
所以，，
所以，
又，，又，
，．
记投影向量为，
则
因为若，，与的夹角为，所以，
所以．
所以投影向量为

16.解：因为
由正弦定理得两边除以
得
整理为即，
解得或舍去，
又因为可得
在中，根据余弦定理，
有，即，
解得，或舍去，
因为平分，所以，
设则
在中，由正弦定理得，即
在中，由正弦定理得，即，
所以
又因为，所以
在中，
在中，
所以

17.解：．
所以．
又由，可得，所以．
连接，设，连接，

在直三棱柱中，四边形为平行四边形，则为的中点，
又因为为的中点，则，因为平面平面，
因此平面．
因为平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离，
所以．
在中，为的中点，，
所以．
因此．

18.解：
．
的最小正周期为：；
当时，
即当时，函数单调递减，
所以函数单调递减区间为：；
设，
在中，根据余弦定理可知，，
满足，所以，
设，，

在和中，
，
得，
则
，，
，当，即时，函数取得最大值．
所以的最大值为；
在中，，
中，，
两式相加得，则，
两边平方后得，
根据余弦定理可知，，
即，得，
两边平方后，，
式两边乘以后得，，
，
即，
当时，的最大值为，
所以四边形的面积取得最大值为．

19.解：具有性质．
因为，
所以，
若对任意，存在使得，
所以具有性质．
因为，且具有性质，
所以可取，
又中与垂直的元素必有形式中的一个，
当时，由，可得，不符合题意；
当时，由，可得，符合题意；
当时，由，可得，不符合题意；
所以．
证明：取，设，满足，
所以，所以异号，
因为是中的唯一的负数，
所以中之一为，另一个为，
所以，
假设，其中，则，
选取，并设，满足，
所以，则异号，从而之中恰有一个为，
若，则，显然矛盾；
若，则，矛盾，
所以当时，，
综上，得证．

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