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2024-2025学年河北省承德市高新区第一中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若将函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的倍，再将图象向右平移个长度单位，则所得到的曲线的解析式为( )
A. B.
C. D.
2.已知点，，且，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
3.在中，已知，判断的形状( )
A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形
4.如图，四边形中，为线段的中点，为线段上靠近的一个四等分点，则( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知函数，满足，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则的取值可以为( )
A. B. C. D.
8.如图，在中，，，为上一点，且，若，，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 在中，若，则是的中点
B. 已知，，是平面内任意三点，则
C. 若，，，是同一平面上的四个点，若，则，，三点共线
D. 若，则为的外心
10.若的内角，，所对的边分别为，，，且满足，则下列结论正确的是( )
A. 角为钝角 B.
C. D. 的最小值为
11.衢州市柯城区沟溪乡余东村是中国十大美丽乡村，也是重要的研学基地，村口的大水车，是一道独特的风景假设水轮半径为米如图所示，水轮中心距离水面米，水轮每秒按逆时针转动一圈，如果水轮上点从水中浮现时图中开始计时，则( )
A. 点第一次达到最高点，需要秒
B. 当水轮转动秒时，点距离水面米
C. 在水轮转动的一圈内，有秒的时间，点距水面超过米
D. 点距离水面的高度米与秒的函数解析式为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. ．
13.函数的零点个数为 ．
14.已知菱形的边长为，，点是边上的一点，设在上的投影向量为，且满足，则等于 ；延长线段至点，使得，若点在线段上，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知是同一平面内的两个向量，其中且
若求的坐标；
若求与的夹角．
16.本小题分
已知向量，．
若，，求的值；
设函数，求图像的对称中心坐标，并写出的图像经过怎样的平移变换，可以得到一个奇函数的图像写出一种变换方式即可．
17.本小题分
已知．
求函数的最小正周期和图象的对称轴方程；
求的单调增区间；
当时，求函数的最大值和最小值．
18.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，且．
求角；
若的角平分线交于点，，，求；
若的外接圆的半径为，求的取值范围．
19.本小题分
用高中所学知识解决下列问题：如图正方形的边长为分别为上动点，且的周长为．
求的最小值；
证明：为定值，并求出该定值；
设的面积为，求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：设，因为且，所以
解得或
所以或．
由题，
因为，所以，
即，
所以，即，
所以．
又，所以．

16.解：由，可得，
整理得，即，
因为，所以，所以，
则．
，
令，，解得，．
所以图像的对称中心坐标是，，
令，可得的图像的一个对称中心坐标是，
所以将的图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，就可以得到一个奇函数的图像．

17.解：最小正周期，令，
所以，所以对称轴方程为；
令，
所以，所以的单调增区间为；
当时，
所以，所以，
当，即时取得最大值，
当，即时取得最小值，
所以当时，函数的最大值为，最小值为．

18.解：因为，
可得，
由正弦定理得，则，
且，所以．
由题意可知：，
因为，
则，
即，可得．
由正弦定理可得，
则，
可得，
又因为，则，
可得，即，
所以的取值范围为．
【详解】因为，
可得，
由正弦定理得，则，
且，所以．
由题意可知：，
因为，
则，
即，可得．
由正弦定理可得，
则，
可得，
又因为，则，
可得，即，
所以的取值范围为．

19.解：设，，则，，
的周长为，
，
所以，
又，，
，
当，即时，取得最小值，且的最小值为；
设，，，
则，，
，，，
的周长为，
，
，
，
，又，，
，
，
，为定值；
如图，作，
，
，
，，
，
又，，
，
，
，
由知，
，
，即到的距离的定值为．
又的最小值为，
所以的最小值为

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