2024-2025学年河北省承德市高新区第一中学高一下学期期中考试数学试卷(含答案)

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2024-2025学年河北省承德市高新区第一中学高一下学期期中考试数学试卷(含答案)

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2024-2025学年河北省承德市高新区第一中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若将函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的倍,再将图象向右平移个长度单位,则所得到的曲线的解析式为( )
A. B.
C. D.
2.已知点,,且,则点的坐标为( )
A. B. C. D.
3.在中,已知,判断的形状( )
A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形
4.如图,四边形中,为线段的中点,为线段上靠近的一个四等分点,则( )
A. B. C. D.
5.已知,则( )
A. B. C. D.
6.已知函数在上存在最值,且在上单调,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知函数,满足,将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象,若的图象关于直线对称,则的取值可以为( )
A. B. C. D.
8.如图,在中,,,为上一点,且,若,,则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 在中,若,则是的中点
B. 已知,,是平面内任意三点,则
C. 若,,,是同一平面上的四个点,若,则,,三点共线
D. 若,则为的外心
10.若的内角,,所对的边分别为,,,且满足,则下列结论正确的是( )
A. 角为钝角 B.
C. D. 的最小值为
11.衢州市柯城区沟溪乡余东村是中国十大美丽乡村,也是重要的研学基地,村口的大水车,是一道独特的风景假设水轮半径为米如图所示,水轮中心距离水面米,水轮每秒按逆时针转动一圈,如果水轮上点从水中浮现时图中开始计时,则( )
A. 点第一次达到最高点,需要秒
B. 当水轮转动秒时,点距离水面米
C. 在水轮转动的一圈内,有秒的时间,点距水面超过米
D. 点距离水面的高度米与秒的函数解析式为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12. .
13.函数的零点个数为 .
14.已知菱形的边长为,,点是边上的一点,设在上的投影向量为,且满足,则等于 ;延长线段至点,使得,若点在线段上,则的最小值为 .
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知是同一平面内的两个向量,其中且
若求的坐标;
若求与的夹角.
16.本小题分
已知向量,.
若,,求的值;
设函数,求图像的对称中心坐标,并写出的图像经过怎样的平移变换,可以得到一个奇函数的图像写出一种变换方式即可.
17.本小题分
已知.
求函数的最小正周期和图象的对称轴方程;
求的单调增区间;
当时,求函数的最大值和最小值.
18.本小题分
在中,角,,所对的边分别为,,,且.
求角;
若的角平分线交于点,,,求;
若的外接圆的半径为,求的取值范围.
19.本小题分
用高中所学知识解决下列问题:如图正方形的边长为分别为上动点,且的周长为.
求的最小值;
证明:为定值,并求出该定值;
设的面积为,求的最小值.
参考答案
1.
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10.
11.
12.或
13.
14.
15.解:设,因为且,所以
解得或
所以或.
由题,
因为,所以,
即,
所以,即,
所以.
又,所以.

16.解:由,可得,
整理得,即,
因为,所以,所以,
则.

令,,解得,.
所以图像的对称中心坐标是,,
令,可得的图像的一个对称中心坐标是,
所以将的图像向右平移个单位长度,再向下平移个单位长度,就可以得到一个奇函数的图像.

17.解:最小正周期,令,
所以,所以对称轴方程为;
令,
所以,所以的单调增区间为;
当时,
所以,所以,
当,即时取得最大值,
当,即时取得最小值,
所以当时,函数的最大值为,最小值为.

18.解:因为,
可得,
由正弦定理得,则,
且,所以.
由题意可知:,
因为,
则,
即,可得.
由正弦定理可得,
则,
可得,
又因为,则,
可得,即,
所以的取值范围为.
【详解】因为,
可得,
由正弦定理得,则,
且,所以.
由题意可知:,
因为,
则,
即,可得.
由正弦定理可得,
则,
可得,
又因为,则,
可得,即,
所以的取值范围为.

19.解:设,,则,,
的周长为,

所以,
又,,

当,即时,取得最小值,且的最小值为;
设,,,
则,,
,,,
的周长为,



,又,,


,为定值;
如图,作,


,,

又,,



由知,

,即到的距离的定值为.
又的最小值为,
所以的最小值为

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