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2024-2025 学年浙江省卓越联盟高一下学期 5 月阶段性联考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { |1 < < 3}，集合 = {2,3,4,5}，则集合 ∩ =( )
A. {2} B. {3} C. {2,3} D. {2,3,4}
2.函数 ( ) = cos3 的最小正周期为( )
A. 2 3 B. 3 C. 2 D.
3.函数 ( ) = 0 + ( + 4)(1 )的定义域是( )
A. ( ∞, 4] ∪ [2, + ∞) B. ( 4,0] ∪ (0，1)
C. [ 4,0) ∪ (0,1] D. [ 4,0) ∪ (0,1)
3 + sin ( ), 0
4.已知函数 ( )的定义域为 ，且满足 ( ) = 3 ，则 (4) =( )
( 1), > 0
A. 3 B. 1 3 C. 32 2 2 D. 1 +
3
2
5.轴截面为正方形的圆柱，侧面积为 ( 2)，体积为 ( 3)，若 = ，则底面半径是( )
A. 1( ) B. ( ) C. 2 ( ) D. 2( )
6 1 1.已知 = log ( )， = 40.33 5 ， = log1( 2 )，则 ， ， 的大小关系是( )3
A. > > B. > > C. > > D. > >
7.已知二次函数 ( ) = 2 + + ，若不等式 ( ) ≥ 0 的解集为[ 1,2]，则函数 ( ) = (1 )图像为
( )
A.开口向上，对称轴为 = 1 32的抛物线 B.开口向上，对称轴为 = 2的抛物线
C. 1 3开口向下，对称轴为 = 2的抛物线 D.开口向下，对称轴为 = 2的抛物线
8.在△ 中，点 是 的中点，点 在线段 上，且 : = 2: 1， 和 相交于点 ，则 : 的值为
( )
A. 1: 1 B. 2: 1 C. 3: 1 D. 4: 1
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 1 1 1 1为正方体， 1 1 1 1， 均为正四棱锥，所有棱长均为 1，则下列说
法正确的是( )
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A. // 1
B.在棱所在的直线中，与直线 异面的共有 10 条
C. 1+ 2以 为顶点，正方形 外接圆为底面的圆锥的表面积是 2
D.以 2为顶点，正方形 外接圆为底面的圆锥的体积是 4
10.设复数 1， 2( 1 ≠ 0)， 为 的共轭复数，下列说法正确的有( )
A.若| 2| = 1，则|
1
1 2| = | 1| B.若| 2| = 1，则| 2 | =1 | 1|
C.若| 1 + 2 22| = | 1 2|，则 1 2 = 0 D.若 1 + 2 = 0，则 1 = 2 = 0
11 2.已知 = (1,0)， = ( 1,1)，函数 ( ) = + ，此函数图象上任意一点 ( , )，均满足( ) ( )
为定值。过点 做 轴的平行线，交 = 于点 ，过点 做 = 的平行线，交 轴于点 。则下列说法正确的
是( )
A. = 1
B. = 2
C.平行四边形 四条边长度之积为定值 8
D.平行四边形 面积为定值 2
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知某台机器生产一种零件，在 10 天中，每天生产的次品数为：1，0，2，0，4，3，4，1，3，3，则
该机器生产次品数的中位数为 ．
13.在正方形 中， = 6，点 是 边的中点，点 在 边上，且 = 2 ，若 = + (1 ) ，
0 ≤ ≤ 1，则 的取值范围是 ．
14 3.满足方程3 = 2sin( )，(0 6 且 ≠ 3)的所有实数根的和为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
记△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ( , , 互不相等)，已知 cos = (2 )cos ，点 与点 分
别在直线 的异侧，且 = = 3。
(1)求证： = 2 ;
(2) = 3 ∠ = 若 ， 3，求线段 的长。
16.(本小题 15 分)
甲乙两个同学想对本市 20 岁以上的人群做一个网络消费水平的研究，已知本市 20 岁以上的人群男女性别
比例为 21: 20。两人决定用分层抽样的方法，随机选一部分人了解月平均网购水平。甲负责男性，乙负责
女性。下图是乙利用随机抽样的数据完成的频率分布直方图：
(1)求 的值
(2)估计被调查的女性中月均网购水平的第 30 百分位数(单位：百元)
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(3)若已知被甲调查的男性月均网购水平的均值为 5 百元。估计被调查的女性中月均网购水平的均值，并求
被调查的全体人员网购水平的均值(精确到 0.1)(同一组中的数据用该组区间的中点值代表) (单位：百元)
17.(本小题 15 分)
已知 ( )是定义在 上的偶函数， ( )是定义在 上的奇函数，且满足 ( ) + ( ) = 2 + 2 +
(1)求 ( )与 ( )的解析式;
(2) 1 1设函数 ( ) = ( ) + ( )，且 ( 2 2 + ) ≥ (2 22 2 )恒成立，求实数 的取值范围。
18.(本小题 17 分)

已知函数 ( ) = 3sin( + ) + 1，( > 0,0 < < )，满足相邻两条对称轴之间的距离为2， ( ) ≤ ( 6 )
对任意实数 恒成立。
(1)求函数 ( )的解析式;
(2)将函数 ( ) 1的图象向右平移6，再把各点横坐标缩小为原来的2 (纵坐标不变)，得到函数 ( )的图象，当
∈ [ , 8 8 ]时，求 ( )的值域;
(3)当 ∈ [0, 2 ]时，解不等式 ( ) ≥ sin + 1
19.(本小题 17 分)
如图，已知 ， 垂直于 △ 所在平面，且位于平面 同侧，∠ = 90 ， = 1， = = = 2。
(1)判断并证明以点 为球心， 3为半径的球与平面 的位置关系(当球心到平面 的距离等于半径时，球
与平面 相切，当球心到平面 的距离小于半径时，球与平面 相交，当球心到平面 的距离大于半径时，球
与平面 相离);
(2)以点 为球心 3为半径的球与线段 交于点 ，与线段 交于点 ，求直线 与平面 所成角的正弦
值;
(3)若平面 与平面 交于 ，求二面角 的正切值。
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参考答案
1.
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3.
4.
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6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2.5
13.[ 3,4]
14.12
15.解：(1) ∵ cos = (2 )cos ，
∴ sin cos = 2sin cos sin cos ，
∴ sin cos + sin cos = 2sin cos ，
∴ sin( + ) = sin2 ，
∴ sin = sin2 ，
∴ = 2 或 + 2 = ，此时 = (舍)，
∴ = 2 ；
(2) ∵ = = 3，∠ = 3，
∴ ∠ = ∠ = 3，
∴△ 为正三角形，
∴ = 3，
∴ = 3 = 3 3，
由(1) 知sin2 = sin ，
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∴ 3 3 32sin cos = sin ，
∴ cos = 32 ，
∴ = 6， =

3，∴ ∠ =

2，
∴ = 2 = 2 × 3 = 6，
∴ ∠ = 2 3，
∴ 2 = 2 + 2 2 2 13 = 36 + 9 2 × 3 × 6 × ( 2 ) = 63，
∴ = 3 7．
16.16. (1) ∵组距为 2，∴ 0.05 + + 0.1 + 0.05 + 0.025 + 0.025 + 0.02 + 0.015 + 0.01 + 0.005 = 0.5 ∴ =
0.2
(2) ∵ 0.05 × 2 = 0.1 ∵ 0.20.2 = 1 ∴第 30 百分位数是 2 + 1 = 3(百元)
(3)设女性月均网购水平的均值为 ，
男性月均网购水平的均值为 ，
= 1 × 0.1 + 3 × 0.4 + 5 × 0.2 + 7 × 0.1 + 9 × 0.05 + 11 × 0.05 + 13 × 0.04 + 15 × 0.03 + 17 × 0.02 + 19
× 0.01 = 5.5
= + +

+ =
20 21
41 × 5.5 + 41 × 5 = 5.2．
17.解：(1) ∵ ( ) + ( ) = 2 + 2
∵ ( )是偶函数， ( )是奇函数
∴ ( ) ( ) = 2 + 2 ∵ ( ) + ( ) = 2 + 2 +
∴ ( ) = + + 2 ( ) = +
(2) ∵ 2 2 + 12 = ( 1)
2 1 ∈ [ 1 , + ∞) 2 2 1 ∈ [ 12 2 ， 2 2 , + ∞)
1
设 1 22 < 1 < 2， ( 1) ( 2) = 2 + 1 +

1 2 2 22 2
= 2( 1 2) + ( 1 2)( 1 + 2) + ( 1 2) = 2( 1 2) + ( 1 2)( 1 + 2 + 1)
1
∵ 2 < 1 < 2 ∴ 1 + 2 + 1 > 0
∴ ( 1 2)( 1 + 2 + 1) < 0，2( 1 2) < 0 ∴ ( 1) ( 2) < 0 ∴ ( ) (
1
在 2 , + ∞)上单调递增
∴ 2 2 + 12 ≥ 2
2 1 22 ∴ + 2 1 ≤ 0 ∴ ∈ [ 1 2, 1 + 2].
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18. 解：(1) ∵两条相邻对称轴之间的距离为2，
∴ = ∴ = 2，
又∵ ( ) ≤ ( 6 )
∴ = 6时 ( )

取最大值，即 2 × 6 + = 2 + 2 ， ∈ ，
∴ = 6 + 2 ， ∈ ，

又∵ 0 < < ∴ = 6，

∴ ( ) = 3sin(2 + 6 ) + 1
(2)由(1)得 ( ) = 3sin(2 + 6 ) + 1，
将函数 ( ) 的图象向右平移6，得 = 3sin[2( 6 ) +

6 ] + 1 = 3sin(2

3 + 6 ) + 1 = 3sin(2

6 ) + 1，
1
再把所得函数图像各点横坐标缩小为原来的 (纵坐标不变)，得到 ( ) = 3sin(4

2 6
) + 1，
∵ ∈ [ , 8 8 ]，∴ 4

6 ∈ [
2 3
3 , 3 ]，∴ sin(4 6 ) ∈ [ 1, 2 ]，
∴ ( ) ∈ [1 3, 5 ] ( ) [1 3, 52 ，即 的值域为 2 ].
(3) ( ) ≥ sin + 1 3sin(2 + 6 ) ≥ sin ，
方法一：由图知 ∈ [0, 3 ]

方法二，当 ∈ [0, 3 ]时 2 + 6 ∈ [
, 5 6 6 ]，sin(2 +

6 ) ∈ [
1
2 , 1]，
∴ 3sin(2 + 6 ) ∈ [
3
2 , 3]，sin ∈ [0,
3 ]，∴不等式成立，2
∈ ( , ] 2 + ∈ ( 5 , 7 当 3 2 时， 6 6 6 ]，sin(2 +

6 ) ∈ [
1
2 ,
1
2 )，
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3sin(2 + ) ∈ [ 3 , 3 )，sin ∈ ( 3 , 1]，不等式不成立，6 2 2 2
∴ ∈ [0, 3 ]
19.解：(1)取 中点 ，
∵ = ∴ ⊥
∵ ⊥平面 ∴ ⊥ ∴ ⊥平面
∴ = ，又∵ ∠ = 90
∴ = 2，易知 / /
∴ //平面 ∴ = ，
= 2 <
∴以 为球心 3为半径的球与平面 相交；
(2)过 作 // 交 的延长线与 于 ，
易知 ⊥ ， ⊥平面 ，
又 平面 ，
∴ ⊥
又 ∩ = ， ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，
即 ⊥平面 ，
易知 = 5， = 5， = = = 3
∴ //
∴ 与平面 所成角等价于 与平面 所成角，
即∠ 即所求；
∵ = 2 3
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∴ sin∠ = = 2 3； 2 3 = 3
(3)延长 ， 交于 ，连接 ，
∵ = 2， = 1， //
1
∴ = = 2
∵ = 2 ∴ = 2 ∵ ∠ = 90 ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ∠ = 45 ，
又∵ ∠ = 45 ，
∴ ∠ = 90 ，即 ⊥ ，
又∵ ⊥平面 ， 平面 ，
∴ ⊥
又 ∩ = ， ， 面 ，
∴ ⊥面 ，
又 面 ，
∴ ⊥ ，
∴ ∠ 即所求二面角 的平面角，
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则 tan∠ = 2 2； = 2 2 = 2
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