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2025届高三数学高考二轮专题复习：等式与不等式应用题专练
1．娄底四中校内有块空地，为美化校园环境，学校决定将空地建成一个小花园，市园林公司中标该项目后须购买一批机器投入施工，据分析，这批机器可获得的利润（单位：万元）与运转的时间（单位：年）的函数关系为.
(1)当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润是多少？
(2)当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？
2．你参与一场游戏，游戏一共100局，你的起始分数为0分；每局游戏胜利加一分，失败扣一分．已知每局胜利与否相互独立，第局中你胜利的概率为，记第局结束后你的得分为，若且中恰有51个数大于0，则称这是一场完美游戏．
(1)写出的分布列；
(2)设．
（ⅰ）若这是一场完美游戏，求的最小值；
（ⅱ）若事件“这是一场完美游戏且”发生的概率为P，证明：．
3．美国国家海洋和大气管理局最近发布的一则预测引发全球关注：预计在年月，拉尼娜现象极有可能卷土重来；但尽管其可能带来短暂冷却，却不足以逆转全球变暖的趋势.某企业欲生产一款防暑降温套装，其每月的成本(单位：万元)由两部分构成：
①固定成本(与生产产品的数量无关)：万元；
②生产所需材料成本：万元，(单位：万套)为每月生产产品的套数．
(1)该企业每月产量为何值时，平均每万套的成本最低？每万套的最低成本为多少？
(2)若每月生产万套产品，每万套售价为：万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该套装每月的利润不低于万元．
4．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产千件，需另投入的成本为.当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元）.每件商品的售价为0.05万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.
(1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大
5．闪存（Flash Memory）是一种非易失性电子存储器，能够在断电后保持存储的数据不丢失.它由许多小的电容构成，通过高电压供电来写入数据，具有高信息密度、大量读写、随机存取时间短等特点.几乎所有的电子设备都依赖于闪存，包括智能手机、笔记本电脑、台式机等.鉴于目前闪存的市场行情，某闪存封装公司拟对产能进行调整，已知封装闪存的固定成本为300万元，每封装万片，还需要万元的变动成本，通过调研得知，当不超过120万片时，；当超过120万片时，，封装好后的闪存颗粒售价为200元/片，且能全部售完.
(1)求公司获得的利润的函数解析式；
(2)封装多少万片时，公司可获得最大利润？
6．现有足够长的“”型的河道，如图所示，宽度分别为和，若经过点拉一张网，开辟如图的直角用于养鱼，设.
(1)若，求渔网长度；
(2)求养殖面积的最小值，及此时的值；
(3)若分别以为直径制作两个圆形的遮阳蓬，求两遮阳蓬面积和的最小值.
7．“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚，近几年，国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景．某新能源沉车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件，已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产万件，需另投入成本万元，且时，；当时，，由市场调研知，该产品每件的售价为2000元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．
(1)年利润y（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润=销售收入-成本）；
(2)当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？
8．某科研单位的研究人员对某种细菌的繁殖情况进行了研究，在培养皿中放入了一定数量的细菌，经过1小时细菌的数量变为12个，再经过2小时细菌的数量变为27个，并发现该细菌的个数增长的速度越来越快．现该细菌数量（单位：个）与经过时间（，单位：小时）的关系有以下两个函数模型可供选择：①；②．
(1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
(2)求开始时放入的细菌的数量，并求至少经过几个小时该细菌的数量多于开始放入时的100000倍．（参考数据：，）
9．为了节能减排，某企业决定安装一个可使用年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网.安装这种供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数为.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积（单位：平方米）之间的函数关系是（为常数）.已知太阳能电池板面积为平方米时，每年消耗的电费为万元，记（单位：万元）为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业年所消耗的电费之和.
(1)求常数的值；
(2)写出的解析式；
(3)当为多少平方米时，取得最小值 最小值是多少万元
10．在辽阔的中华大地上，农村的医疗服务一直是国家关注的焦点.随着时代的进步和社会的发展，国家正致力于提高农村医疗服务水平，以保障广大农民的健康权益.某公司为了满足市场需求，进一步增加市场竞争力，计划自主研发新型基础型CT机.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为200台.每生产x台，需另投入成本万元，且.由市场调研知，该产品每台的售价为150万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
(1)写出年利润（单位：万元）关于年产量x（单位：台）的函数解析式.（利润销售收入成本）
(2)当该产品的年产量为多少时，该公司所获年利润最大？最大年利润是多少？
11．春节期间，“旅游潮”、“探亲潮”将为交通带来巨大压力．已知某火车站候车厅，候车人数与时刻t有关，时刻t满足，．经观察，当时，候车人数达到满厅人数5000人，当时，候车人数相对于满厅人数减少，减少人数与成正比．已知时，候车人数为3800人，记候车厅候车人数为．
(1)求的表达式；
(2)铁路系统为了体现“人性化”管理，每逢整点时，会给旅客提供免费面包，数量为，求t为何值时，需要提供的免费面包数量最少．
12．已知某线路运行的地铁发车时间间隔（单位：分钟）满足：．经测算，该地铁每班平均载客人次（单位：人次）与发车时间间隔满足：．
(1)计算的值，并说明其的实际意义；
(2)若该线路每分钟的净收益为（单位：元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益．
13．某市区一家装修公司计划在市区外租赁一块地建造仓库，经过考查得知，每月的占地费（单位：万元）与公司到仓库的距离（单位：千米）成反比，每月的运输费（单位：万元）与成正比．若仓库离公司10千米，则和的值分别为1.5万元和6.3万元．
(1)求每月的占地费和运输费的总费用；
(2)分析仓库建在距离公司多少千米处时，这两项的总费用最小，并求出这个总费用的最小值．
14．2024年8月12日，为期16天的巴黎奥运会落下帷幕，回顾这一届奥运会，中国元素在这里随处可见.这个盛夏，“中国智造”不仅为巴黎奥运会注入了新动力，也向世界展示了中国向“新”而行的活力，让人们在享受比赛的同时，感受到中国发展的脉搏.巴黎奥组委的数据显示，本届奥运会的吉祥物产自中国.据调查，国内某公司出售一款巴黎奥运会吉祥物，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出.若以80元的单价出售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若购进30万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为.
(1)当购进产品数量为10万件时，利润是多少？
(2)写出利润万元关于购进产品数量（万件）的函数解析式？（利润销售收入-成本）
(3)购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？
15．某厂生产某种产品的年固定成本为300万元，每年生产万件，需增加投入成本为万元．当年产量不足9万件时，；当年产量不小于9万件时，．通过市场分析，每件产品售价定为500元，且该厂年内生产的产品能全部销售出去，获得的年利润为万元．（利润＝销售收入一总成本）
(1)求年利润的函数解析式；
(2)求年产量为多少时，该厂的年利润最大？
16．曾经的广告词“喝临川贡酒，扬才子豪情”响彻大半个中国．如今再次重新出发，抚州市打造以产业经济振兴文化抚州．临川贡酒公司决定将一款高端贡酒大量投放市场，已知临川贡酒公司生产此款高端贡酒年固定研发成本为万元，每生产一瓶此高端贡酒需另投入元．设该公司一年内生产该款高端贡酒万瓶且全部售完，每万瓶的销售收入为万元．且．
(1)写出年利润（万元）关于年产量（万瓶）的关系式：（利润销售收入成本）
(2)当年产量为多少万瓶时，该公司这款高端酒获得的利润最大，并求出最大利润．
17．根据市场调查，某供应商某产品的售价定为元时，销售量可达到万件．已知该产品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分．其中固定价格为40元/件，浮动价格（单位：元/件）与销售量（单位：万件）成反比，比例系数为20．假设不计其他成本，即销售每件产品的利润=售价供货价格．
(1)当每件产品的售价定为80元时，求该供应商销售该产品可获得的总利润；
(2)该产品的售价定为多少元时，单件产品的利润最大？并求出该最大值．
18．已知某企业生产某种设备的最大产能为70台，每台设备的售价为80万元．记该企业生产台设备需要投入的总成本为（单位：万元），且假设生产的设备全部都能售完．
(1)求利润（单位：万元）关于生产台数的函数解析式，并求该企业生产20台设备时的利润（利润销售额-成本）；
(2)当生产多少台该设备时，该企业所获利润最大？最大利润是多少万元？
19．如东大润发超市因宣传需要，在自动扶梯（米）的点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌.如图所示，广告牌底部点正好为的中点，电梯的坡度.福佑崇文阁赵老师在扶梯上点处（异于点）观察广告牌的视角，（为方便起见，本题中将人视为点，不考虑人的身高）
(1)设的长为米，用表示；
(2)若赵老师在点时，观测到视角的正切值为，求扶梯的长；
(3)在（2）的条件下，当赵老师在扶梯上观察广告牌的视角最大时，求的长.
20．某小区准备在小区内建造一个收发室，利用其一侧已有的墙体，建造一间高3米，底面积为20平方米，且背面靠墙的长方体形状的收发室．由于收发室的背面靠墙体，无需建造费用．针对这个情况，甲公司给出了如下建造报价：屋子前面新建墙体的报价为500元每平方米，屋子左右侧面新建墙体的报价为200元每平方米，屋顶和地面以及其他共报价7500元，设屋子的左右侧面长均为米．
(1)当屋子的左右侧面长为多少时，屋子的建造总价最小，最小为多少？
(2)现有乙公司参与竞标，其给出的建造总报价为元，若无论左右侧面的长为多少，乙公司的报价都不超过甲公司，试求的最大整数．
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《2025届高三数学高考二轮专题复习：等式与不等式应用题专练》参考答案
1．(1)第7年时，可获得最大利润45万元
(2)
【分析】（1）对已知的二次函数配方可求得结果；
（2）设这批机器的年平均利润为，则且然后利用基本不等式可得其最大值.
【详解】（1）故当时，取得最大值，最大值为45，所以这批机器运转第7年时，可获得最大利润45万元；
（2）记年平均利润为，则14
当且仅当，即时，等号成立.
2．(1)见解析.
(2)（i）（ii）见解析.
【分析】（1）要求的概率分布，需分析前三局的胜负情况，并计算对应的概率值；
（2）（i）主要用到题目中的“完美游戏”的定义，然后一步步大量计算求得的最小值；
（ii）分析得，再设，计算和的表达式即可.
【详解】（1）表示玩完前3局后的得分，
的可能的值为：.
分别求得概率为：
.
.
.
所以的分布列为
3 1 -1
（2）（i）首先证明：中必有大于1的，
否则其中有51个1，必有相邻两项同时为1，这是不可能的.
因此，设中的最大值为，则.
又.
因此.
当时取等，
所以的最小值.
(ii)由（i）知，取等必有，且.
因此中只有一个数大于1，共有50个1；
又，所以.
设，则，那么.
设事件的概率为，
事件的概率为,
又.
因此所求概率.
3．(1)万套时，每万套的最低成本为12万元；
(2)该企业至少要生产30万套，才能确保该套装每月的利润不低于万元.
【分析】（1）根据已知有平均每万套的成本，应用基本不等式求最小值；
（2）由题设得到，解一元二次不等式求解，即可得结论.
【详解】（1）由题设，平均每万套的成本，
当且仅当万套时取等号，平均每万套的成本最低为12万元/万套；
（2）由题设，该套装每月的利润为，
所以，可得，
所以，即该企业至少要生产30万套，才能确保该套装每月的利润不低于万元.
4．(1)
(2)100千件，1000万元
【分析】（1）根据已知条件列出函数解析式；
（2）根据函数解析式分别求分段函数的最值，时利用二次函数求最值，时利用基本不等式求最值即可.
【详解】（1）因为每件商品售价为0.05万元，
所以千件商品的销售额为（万元）.
依题意得当时，；
当时，.
所以；
（2）当时，
当时，取得最大值（万元）.
当时，.
当且仅当，即时，取得最大值1000万元.
由于，所以当年产量为100千件时，
该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为1000万元.
5．(1)
(2)160万片
【分析】（1）根据条件列出关于的分段函数即可；
（2）分成两种情况分别求出最值，再比较大小即可.
【详解】（1）当时，
，
当时，
，
故；
（2）当时，，
函数图象开口向下，对称轴为，
故的最大值为(万元)；
当时，，
当且仅当，即时等号成立，故的最大值为730（万元），
因为，所以封装160万片时，公司可获得最大利润.
6．(1)；
(2)面积最小值为，；
(3)
【分析】（1）过点作垂直于，垂足为，解三角形求，由此可得结论；
（2）解三角形求，表示，利用基本不等式求其最小值，并确定取最小值条件；
（3）解三角形求，表示两个遮阳蓬面积和，结合平方关系，巧用基本不等式求最小值可得结论.
【详解】（1）过点作垂直于，垂足为，
则，
所以，
所以.
则当时，.
（2），
所以，
所以
当且仅当，即时取等号，
所以养殖面积的最小值为，及此时的.
（3）因为，
设两遮阳蓬面积和为，
则
当且仅当，即时取等号.
所以两遮阳蓬面积和的最小值为.
7．(1)
(2)50；2200
【分析】（1）由题意，分和两种情况求利润；
（2）结合二次函数性质及基本不等式即可求解.
【详解】（1）由题意可知，
当时，，
当时，，
所以年利润y（万元）与年产量x（万件）的关系式为.
（2）当时，，开口向下，
所以当时，；
当时，
，
当且仅当即时，等号成立，此时，
因为，
所以，该产品的年产量为50万件时，公司所获年利润最大，利润最大为2200.
8．(1)
(2)开始时放入的细菌的数量为8个，至少经过29个小时该细菌的数量多于开始放入时的100000倍.
【分析】（1）根据函数的增长速度比较即可得模型，代入数值即可待定出参数；
（2）由题意列出指数不等式，根据对数函数单调性以及对数的运算性质即可求解.
【详解】（1）由指数函数和幂函数函数图象可知：
的增长速度越来越快，的增长速度越来越慢，
依题意选函数更适合，
则有，解得，即.
（2）令，则，即开始时放入的细菌的数量为8个，
令，
∴，
∵，∴至少经过29个小时该细菌的数量多于开始放入时的100000倍.
9．(1)
(2)
(3)当为平方米时，取得最小值，最小值是万元
【分析】（1）由可得出关于的等式，即可解得的值；
（2）分、两种情况讨论，根据可得出函数的解析式；
（3）求出函数在、时的最小值，比较大小后可得出结论.
【详解】（1）依题意得，，所以，解得，故的值为.
（2）依题意可知，又由（1）得，，
当时，
，
当时，，
所以.
（3）当时，，
因为在上单调递增，在上单调递减，
所以；
当时，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以；
又，故.
答：当为平方米时，取得最小值，最小值是万元.
10．(1)
(2)150台，万元
【分析】（1）根据投入成本及销售收入写出利润函数即可；
（2）分段分别利用二次函数配方法和基本不等式求最值，再比较大小得解即可.
【详解】（1）当时，；
当时，
，
则.
（2）当时，，
当时，万元.
当时，
万元.
当且仅当，即时，上式等号成立.
又，则当该产品的年产量为150台时，
该公司所获年利润最大，最大年利润是万元.
11．(1)，
(2)
【分析】（1）依题意设得的解析式，代入，确定参数，即得的表达式；
（2）根据分段函数解析式，分别利用基本不等式和函数的单调性求其最值并比较即得.
【详解】（1）依题意，当时，设，
因，解得，
，
（2）当，
，
当且仅当时等号成立；
当时，在上为减函数，故得.
又，所以当时，需要提供的面包数量最少．
12．(1)，答案见解析
(2)当发车时间间隔为6分钟时，每分钟的净收益最大，每分钟的净收益最大为120元
【分析】（1）根据的解析式代入求得，其意义为间隔时间的载客量.（2）将的解析式代入即可求得的解析式.根据基本不等式性质及函数单调性可求得收益的最大值及取得最大收益时的间隔发车时间.
【详解】（1）由函数的解析式可得：，
其实际意义是：当地铁的发车时间隔为10分钟时，地铁载客量为1200，这也是地铁的最大载客量；
（2）①当时，
当且仅当，即时，等号成立，
②当时，.
当且仅当时等号成立，
故当发车时间间隔为6分钟时，该线路每分钟的净收益最大，每分钟的净收益最大为120元．
13．(1)
(2)仓库建在距离公司5千米处时，这两项的总费用最小，最小值为6.3万元
【分析】（1）根据已知条件求得总费用的表达式.
（2）利用基本不等式求得最小值.
【详解】（1）由已知可设，，
因为当时，和的值分别为1.5和6.3，
所以，，解得，，
所以，即．
（2）因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
故仓库建在距离公司5千米处时，这两项的总费用最小，最小值为6.3万元．
14．(1)200（万元）；
(2)
(3)当（万件）时，利润最大，此时利润是910（万元）
【分析】（1）根据题意和已知条件代入求解即可；
（2）对进行分类讨论写出的解析式；
（3）对分类讨论写出各段函数的最大值进行比较.
【详解】（1）（万元）.
所以当购进产品数量为10万件时，利润是200万元.
（2）当时，，
当时，不妨设降价元，购进产品全部售出，
则，得到，
所以，
当时，，
所以
（3）由（2）知，当时，，
当（万件），利润最大，此时利润是450（万元），
当时，，
当（万件），利润最大，此时利润是500（万元），
当时，，
当且仅当，即，
当（万件），利润最大，此时利润是910（万元），
因为，所以当（万件）时，利润最大，此时利润是910（万元）.
15．(1)；
(2)6万件.
【分析】（1）根据题意，分、求对应解析式，再写出其分段函数形式；
（2）在不同分段上，应用二次函数的性质、基本不等式分别求出对应的最值，再比较大小即可得最大利润对应的产量x.
【详解】（1）当时，，
当时，，
所以；
（2）当时，，
所以当时，取得最大值，最大值是900万元，
当时，，
当且仅当，即时等号成立，
所以当时，取得最大值，最大值是800万元，
因为，所以，年产量为6万件时，该厂年利润最大．
16．(1)
(2)当年产量为万瓶时，该公司获得的利润最大为万元．
【分析】（1）分、两种情况讨论，结合利润销售收入成本可得出年利润（万元）关于年产量（万瓶）的关系式；
（2）利用二次函数的基本性质求出在时的最大值，利用基本不等式求出函数在时的最大值，比较大小后可得出结论.
【详解】（1）当时，
当时，
综上，.
（2）当时，，
函数的对称轴是直线，则函数在上单调递增，
所以当时，取得最大值；
当时，，
当且仅当，即时取等号，此时的最大值为，
因为，所以当年产量为万瓶时，该公司获得的利润最大为万元．
17．(1)620（万元）．
(2)该产品的售价定为150元时，单件产品的利润最大为100元．
【分析】（1）由题意先求得销售量，再结合每件产品的利润即可求解；
（2）设该商品的售价为元，由题意得到，再结合基本等式求解即可；
【详解】（1）当每件产品的售价定为80元时，销售量为万件，
该供应商可获得的总利润为（万元）．
（2）设该商品的售价为元，由得．
设单件商品的利润为元，则
，
当且仅当，即时，等号成立．
所以该产品的售价定为150元时，单件产品的利润最大为100元．
18．(1)，400万元．
(2)生产60台该设备时，该企业所获利润最大，最大利润为820万元．
【分析】（1）根据分段函数表示的总成本函数，结合利润销售额-成本，易得利润的解析式，代值计算即得生产20台设备时的利润；
（2）根据（1）求得的利润函数，分段求出每段函数的最大值，比较即得最大利润.
【详解】（1）当时，；
当时，；
综上，
当台时，万元，
所以该企业生产20台该设备时，所获利润为400万元．
（2）当时，，
故当台时，取得最大值，最大值为500万元；
当时，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故当台时，取得最大值，最大值为820万元；
因为，所以当生产60台该设备时，该企业所获利润最大，最大利润为820万元．
19．(1)
(2)10米
(3)米
【分析】（1）解直角三角形得，结合以及锐角三角函数的定义即可得解；
（2）分别表示出，，，结合，由两角和的正切公式列式求解，并结合计算即可；
（3）作于点，设，则，，表示出，，由两角差的正切公式得出的表达式，结合基本不等式的取等号条件即可得解.
【详解】（1）
因为在直角三角形中，，，，
所以，
因为，点是的中点，
从而，
所以.
（2）由（1）有，其中，
而在直角三角形中，，
又因为，，
所以，
即，解得或，
又，所以，（若，则，矛盾），
所以扶梯的长度为10米.
（3）作于点，如图所示，
则，
设，则，，
由（2）可知，
，，
当取最大值时，即取最大值，
，
当且仅当，即时，等号成立，所以此时米.
20．(1)屋子的左右侧面长5米时，屋子的建造总价最小，最小为元；
(2)6
【分析】（1）由题意可得屋子的建造总价，利用基本不等式求解即可；
（2）由题意可得在上恒成立，当时成立，当时，可得，结合换元及基本不等式求得，可得结果.
【详解】（1）因为底面积为20平方米，屋子的左右侧面均为米，
所以屋子的前面长为米，
可得屋子的建造总价
；
当且仅当，即时，等号成立；
所以屋子的左右侧面长5米时，屋子的建造总价最小，最小为元；
（2）因为无论左右侧面的长为多少，乙公司的报价都不超过甲公司，
所以在上恒成立，
化简可得在上恒成立，
当时，显然成立，
当时，则有，
令，则，
所以，
由对勾函数性质可知，
即，所以，
又因为，
所以的最大整数为6.
答案第4页，共18页
答案第17页，共18页

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