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2025届高三数学高考二轮专题复习：复数解答题专练
1．已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）.
(1)求实数的值；
(2)设复数，求；
2．已知复数，且是实数．
(1)求；
(2)在复平面内，复数对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．
3．已知复数不是纯虚数，且满足.
(1)求
(2)若复数是关于的方程（其中，为实数）的根，求.
4．已知复数，其中是实数.
(1)若，求实数的值；
(2)若是纯虚数，求
5．（1）已知，若为纯虚数，求的值.
（2）设复数，.若是实数，求；
（3）已知复数满足，求.
6．已知复数，．
(1)若z为纯虚数，求m的值；
(2)若z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围．
7．已知复数，在复平面内对应的点分别为，．
(1)若，求；
(2)若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围．
8．已知复数，且为纯虚数．
(1)求复数；
(2)若复数，求复数的模．
9．已知复数是虚数单位，，且为纯虚数是的共轭复数．
(1)求实数及；
(2)设复数，且复数所对应的点在第一象限，求实数的取值范围．
10．已知复数．
(1)若为纯虚数，求的值；
(2)若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围．
11．复数，当实数取什么值时
(1)为实数；
(2)为纯虚数；
(3)复数在复平面内对应点在第四象限．
12．已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位．
(1)求的值；
(2)记复数，求复数的模．
13．已知复数，且为纯虚数.
(1)求复数；
(2)若复数，求复数的模.
14．已知复数，，其中为非零实数.
(1)若是实数，求的值；
(2)若，复数为纯虚数，求实数的值.
15．已知复数，（，）.
(1)若复平面内表示复数的点位于第一象限，求m的取值范围；
(2)若，求的最小值.
16．已知复数．
(1)求；
(2)若复数是关于的方程的一个根，求出实数的值，并把代数式分解成一次因式的积．
17．已知复数，.
(1)若，求；
(2)若为实数，求的值；
(3)若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围.
18．已知复数（，i为虚数单位），是纯虚数.
(1)求复数z；
(2)若复数是关于x的方程的根，求实数m和n的值.
19．已知复数．
(1)若为纯虚数，求；
(2)若在复平面内对应的点在直线上，求的值．
20．已知复数，，且是纯虚数.
(1)求的值及；
(2)设复数，在复平面上对应的点为，，若四边形是复平面内的平行四边形，求点对应的复数.
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参考答案
1．(1)
(2)
【分析】（1）由共轭复数定义可知，再由纯虚数定义可知.
（2）将代入，利用复数的除法法则求得，可求.
【详解】（1）因为，则，
所以，又为纯虚数，
所以，解得；
（2），
所以.
2．(1)
(2)
【分析】（1）利用复数的乘法运算结合复数的定义，列式计算求得即可得；
（2）利用复数的加法运算及复数的几何意义，列出不等式求解即可.
【详解】（1）因为
所以
由是实数，得，
∴，
（2）由（1）知，
∴，
∵复数对应的点在第四象限，
∴，解得
实数m的取值范围是.
3．(1)
(2)
【分析】（1）设，代入计算，利用复数相等的条件计算即可求得；
（2）利用复数是方程的一个根，从而得出另一个根，再利用韦达定理即可求出结果.
【详解】（1）由已知，设
代入并整理得：
，
解得，所以，
所以.
（2）由（1）可得，由是方程的根，
所以也是方程的根，
由一元二次方程根与系数的关系得，
得，解得，，则.
4．(1).
(2)
【分析】（1）根据给定的条件，利用复数乘方运算及复数相等求出的值.
（2）利用复数除法结合纯虚数的定义，求出，再利用乘方的周期性求解作答.
【详解】（1）复数，则，又a是实数，
因此，解得，
所以实数a的值是.
（2）复数，，
则，
因为是纯虚数，于是，解得，
因此，又，，，，
则，，，，，
即有，，
所以.
5．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）利用乘法运算并结合纯虚数定义得到方程，即可求出参数的值；
（2）由已知求得a，再由复数代数形式的乘除运算化简求得；
（3）依题意可设，由复数相等解方程可得结果.
【详解】（1）因为为纯虚数，
所以且，解得；
（2）因为，，
所以，又是实数，
，即，则，
所以；
（3）因为，且，因此可设，
则，
由题意可得，所以，
解得，即.
6．(1)
(2)
【分析】（1）按照复数的相关概念列方程组求解；
（2）利用复数的几何意义列不等式组求解.
【详解】（1）因为z是纯虚数，所以，解得；
（2）在复平面内z对应的点为，
由题意可得，解得，
即m的取值范围是.
7．(1)
(2)
【分析】（1）由题可知：，，进而可求和其模长；
（2）整理可得，结合复数的几何意义运算求解.
【详解】（1）由题可知：，，则，
所以．
（2）由题意可知：，
因为复数z在复平面内对应的点位于第二象限，则，解得，
故实数m的取值范围为．
8．(1)
(2)
【分析】（1）利用复数的乘法化简复数，根据该复数为纯虚数可求出的值，即可得出复数；
（2）利用复数的除法画家复数，利用共轭复数的定义、复数的加法以及复数的模长公式可求得复数的模.
【详解】（1）因为复数，且为纯虚数，
所以，解得，故.
（2），所以，
则，故.
9．(1)，；
(2).
【分析】（1）利用共轭复数及复数乘法求解，再利用纯虚数的定义列式，并求出模.
（2）由（1）利用复数的除法，结合复数的几何意义列式求解.
【详解】（1）由，得，
，
又为纯虚数，则，解得，，
所以．
（2）由（1）知，．
又复数所对应的点在第一象限，，解得，
所以实数的取值范围是.
10．(1)；
(2).
【分析】（1）根据纯虚数的定义列方程求参数值；
（2）由复数对应点所在的象限列不等式组求参数范围.
【详解】（1）由题意得，得，故.
（2）由题设，在复平面内对应的点为，
因为在复平面内对应的点位于第四象限，所以，
得或，则，即的取值范围为．
11．(1)或
(2)
(3)
【分析】根据复数的运算整理其为标准式，由实数、纯虚数以及几何意义，建立不等式与方程，可得答案.
【详解】（1），
由为实数，则，解得或.
（2）由为纯虚数，则，解得.
（3）由复数在复平面上的对应点为，该点在第四象限，
则，分解因式可得，解得.
12．(1)
(2)
【分析】（1）根据虚根成对原理可知也是方程的根，利用韦达定理计算出、，即可得解；
（2）由（1）可得，利用复数代数形式的除法运算化简，再计算其模.
【详解】（1）因为是关于的方程的一个根，
所以这个方程的另一个根是，
由韦达定理可知：，解得，所以；
（2）由（1）可得，
所以，
所以.
13．(1)；
(2).
【分析】（1）把代入，利用复数的乘法运算化简，得，再根据纯虚数的概念，得，，求得，即可得复数；
（2）把代入，利用复数的除法运算化简，得，进而可求得，再根据复数模的计算公式即可求解.
【详解】（1）由题意得，，
∵是纯虚数，
∴，，
∴，
∴；
（2）由（1）得，代入得
，
∴，
∴，
∴.
14．(1)
(2)或
【分析】（1）根据题意，求得，结合是实数，得到，即可求解；
（2）根据题意，得到，结合复数为纯虚数，列出方程，即可求解.
【详解】（1）解：由复数，可得，
因为是实数，可得，即，
∵为非零实数.所以.
（2）解：由，可得，所以，
则，
因为复数为纯虚数，可得，
解得或.
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据复数的几何意义列出不等式即可求解；
（2）根据对应关系用含的式子来表示即可.
【详解】（1）对应的点为，
故且，故，
（2），，（，），
故，故，故，
，故当时，的最小值为.
16．(1)
(2)
【分析】（1）由复数四则运算即可求解；
（2）先求出，然后由平方差公式即可求解.
【详解】（1）
，
（2）解法一：因为复数是方程的一个根，
则复数是方程的另一个根，
由韦达定理得，解得.
则，
；
解法二：因为复数是方程的一个根，
所以有，整理得，
所以，解得.
则
.
17．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）化简复数，再计算其模；
（2）根据虚部为得到方程，解得即可；
（3）根据复数的几何意义得到不等式组，解得即可.
【详解】（1）当时，，所以；
（2）因为，为实数，
所以，解得或.
（3）复数，在复平面内对应的点为，
依题意可得，解得，即实数的取值范围为.
18．(1)；
(2).
【分析】（1）由复数除法运算先化简，再由纯虚数定义即可求解；
（2）先由（1）求出复数，法一：由题意将复数代入方程即可求解参数；法二：由复数根与系数关系得到方程的另一根，再由韦达定理即可求参数.
【详解】（1）因为，
所以，
又由是纯虚数，可得，解得，所以．
（2）法一：因为是方程的根，
所以，即，
可得解得．
法二：是方程的根，
所以另一根为
由韦达定理可得：．
19．(1)
(2)或
【分析】（1）利用纯虚数的概念即可求解参数，然后再计算复数的平方即可；
（2）利用复数的几何意义，转换为点在直线上，即可得方程求解参数.
【详解】（1）由题意得，解得，
故；
（2）在复平面内对应的点为，
则，得，
解得或．
20．(1)，
(2)
【分析】（1）由共轭复数以及复数的乘法，根据纯虚数的概念，建立方程，结合复数的几何意义，可得答案；
（2）根据平行四边形的性质，结合相等向量的坐标表示，以及复数的几何意义，可得答案.
【详解】（1）因为，所以，所以，
因为是纯虚数，所以，解得，
所以，则，所以，
（2）复数，在复平面上对应的点为，，则，
因为四边形是复平面内的平行四边形，所以，所以，
则点对应的复数为.
答案第2页，共12页
答案第11页，共11页

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