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2024-2025 学年湖南省岳阳县第一中学、汨罗市第一中学高二下学期期
中考试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = ∈ ∣ 2 2 ≤ 0 ，则 的元素个数为( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 0
2.复数 1 + i i 的虚部为( )
A. 1 B. 1 C. D.
3.( + )5的展开式中 2 3项的系数等于 80，则实数 =( )
A. 2 B. ±2 C. 2 2 D. ±2 2
4.现要从 ， ， ， ， 这 5 人中选出 4 人，安排在甲、乙、丙、丁 4 个岗位上，如果 不能安排在甲岗
位上，则安排的方法有( )
A. 56 种 B. 64 种 C. 72 种 D. 96 种
5.等差数列{ }的公差是 2，若 2, 4, 8成等比数列，则{ }的前 项和 =
A. ( + 1) B. ( 1) C. ( +1) D. ( 1)2 2
6.某校举行知识竞赛，对全校参赛的 1000 名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按[50,60), [60,70)，
[70,80), [80,90)，[90,100]分成 5 组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法不．正．确．的是( )
A.图中的 值为 0.020 B.得分在[80,100]的人数为 400
C.这组数据的极差为 50 D.这组数据的平均数的估计值为 77

7 e sin .已知函数 ( ) = 1+e 是定义在 R 上的奇函数，则实数 =( )
A. 1 B. 0 C. 12 D. 1
8.已知函数 ( )， ( )的定义域均为 R，且 ( ) + (2 ) = 5， ( ) ( 4) = 7.若 = ( )的图像关
于直线 = 2 对称， (2) = 4，则22 =1 ( ) =( )
A. 22 B. 22 C. 24 D. 24
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 ( ) = sin cos ，则( )
A. ( )是奇函数 B. ( )的最小正周期为 2π
C. ( )的最小值为 12 D. ( ) 0,
π
在 2 上单调递增
10.已知 = (3, 1)， = (2,1)，则下列结论正确的是( )
A. ⊥ B. + 2 = 5 10
C. 与 的夹角为4 D. 在
方向上的投影向量是 5
2 2
11 .已知椭圆 ：4 + 2 = 1( > 0)的左右焦点分别为 1、 2，点 2, 1 在椭圆内部，点 在椭圆上，椭圆
的离心率为 ，则以下说法正确的是( )
A. 2离心率 的取值范围为 0, 2
B. 2 7 2当 = 4 时，以点 为中点的椭圆的弦的斜率为 8
C.存在点 ，使得 1 2 = 0
D. 1 + 1 的最小值为 11 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若直线 = 2 + 经过圆( 1)2 + 2 = 2025 的圆心，则 = ．
2 2
13 .已知 1， 2是双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的左右焦点，过 1且倾斜角为 60°的直线 与 的左 右两
支分别交于 两点.若 2 ⊥ 1 2，则双曲线 的离心率为 ．
14.三棱锥 中，平面 ⊥平面 ，若 = ， = = 1 且∠ = 120 ， 与底面 所
成角为60 ，则三棱锥 的外接球的表面积为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ， cos = (3 )cos ．
(1)求 cos ；
(2)若 的面积为 3 2，且 + = 3 ，求 的周长．
16.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中，满足 ⊥ ， ⊥ ， ⊥底面 ， = 1， = 3， = 3．
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(1)求证：平面 ⊥平面 ；
(2)若平面 与平面 6的夹角的余弦值为 4 ，求线段 的长度和点 到平面 的距离．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 e + ( ∈ )， ( ) = e + 2 1．
(1)求函数 ( )在 0, (0) 处的切线方程；
(2)讨论函数 ( )的单调性；
(3)无论 取何值，函数 ( )的图象都在函数 ( )图象的上方，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
2 2
已知椭圆 : 3 2 + 2 = 1( > > 0)的右焦点为 ，点 (1, 2 )在 上，且 ⊥ 轴.
(1)求 的方程；
(2)过点 (4,0)的直线交 于 , 两点，求 面积的最大值．
19.(本小题 17 分)
1
某学校为丰富学生活动，积极开展乒乓球选修课，甲乙两同学进行乒乓球训练，已知甲第一局赢的概率为2，
3 2
前一局赢后下一局继续赢的概率为5，前一局输后下一局赢的概率为3，如此重复进行.记甲同学第 局赢的概
率为 ∈ ．
(1)求乙同学第 2 局赢的概率；
(2)求 ；
(3)若存在 ，使e ln + 1 + ≥ 0 成立，求整数 的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 2
13.2 + 3
14.4
15.(1)解法 1：因为 cos = (3 )cos ，由正弦定理得 sin cos = 3sin sin cos ，
即 3sin cos = sin cos + sin cos = sin( + ) = sin π = sin ，
因为 ∈ 0, π ，则 sin > 0 cos = 1，故 3；
2 2 2 2 2 2
解法 2：因为 cos = (3 )cos × + + ，由余弦定理得 2 = (3 ) × 2 ，
整理得 2 = 3 2 + 3 2 3 2 2，可得 2 + 2 2 = 3 ，
2+ 2 2 1
由余弦定理可得 cos = 2 = 3．
(2)因为 cos = 13，且 ∈ 0, π ，则 sin = 1 cos
2 = 2 23 ，
=
1
2 sin =
2
3 = 3 2，所以 = 9，
因为由余弦定理得 2 cos = 2 + 2 2，
于是( + )2 2 = 2 + 2 2 + 2 = 2 cos + 1 = 24，
因为 + = 3 ，则( + )2 2 = 2 2 = 24，所以 = 2 3，
因此 + = 3 = 6，于是 的周长 + + = 6 + 2 3．
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16.【详解】(1)因为 ⊥平面 ， 平面 ，
∴ ⊥ ，又 ⊥ ， ∩ = ， , 平面 ，
∴ ⊥平面 ，
又 平面 ，∴平面 ⊥平面 ．
(2) ∵ ⊥平面 ， , 平面 ，∴ ⊥ ， ⊥ ，
又 ⊥ ，∴以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，
设 = ，( > 0)，则 (0,0, )， (0,0,0)， 0, 3, 0 ， (1,0,0)， 3, 3, 0 ，
∴ = (1,0, )， = 2, 3, 0 ，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
= = 0 2
则

，取 = 1，得 = ， = ，
= 2 + 3 = 0 3
∴ = , 2 3 , 1 ，
平面 的法向量为 = (1,0,0)，
∵平面 与平面 6 | | 6的夹角的余弦值为 4 ，∴ =2 ，1× 2+4 3 +1
4
解得 = 3，即 = 3，
所以 = 3, 2,1 ， = 1, 3, 0 ，
3+2 3+0 3 6所以点 到平面 的距离为 2 2 = 4 ．
法(二)等体积法，∴ = 2 + 2 = 3 + 12 = 15， = 3+ (3 1)2 = 7， = 2 + 2 =
3 + 1 = 2，
2 2 2
∴ cos∠ = + 2 =
4+7 15 7
2×2× 7 = 7 ，
∵ ∠ ∈ 0, π ，∴ sin∠ = 427 ，
∴ 1 = 2 sin∠ =
1
2 × 2 × 7 ×
42
7 = 6，
设点 到平面 的距离为 ，
由 =
1 1 1
，得3 × 6 = 3 × 2 × 3 × 3 × 3，
3 6
解得 = 4 ，
∴ 3 6点 到平面 的距离为 4 ．
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17.【详解】(1) ′( ) = e + 2， ′(0) = 3， (0) = 0．
切线方程为 0 = 3( 0)， = 3 ．
(2) ′( ) = 2 e + 1，
当 ≥ 0 时， ′( ) > 0，∴ ( )在 上为增函数；
< 0 1当 时， ′( ) = 0 = ln 2 ，
令 ′( ) > 0，得 < ln 1 12 ；令
′( ) < 0，得 > ln 2 ．
∴ ( )在 ∞, ln 1 12 上为增函数， ( )在 ln 2 , + ∞ 上为减函数．
(3)无论 取何值，函数 ( )的图象都在函数 ( )图象的上方，
e + 1
即为 ( ) > ( )恒成立，即 2 e + > e + 2 1，则 2 > e ，恒成立，

令 ( ) = e + 1 = 1 + 1， ′ 2 e e ( ) = e ，
′( ) = 0 = 2．
令 ′( ) > 0，得 < 2；令 ′( ) < 0，得 > 2，
则 ( )在( ∞,2)上为增函数， ( )在(2, + ∞)上为减函数，
∴ ( )max = (2) = 1 + 2，
2
则 2 > 1 + 2 > 1+ 2 2 ．
18.【详解】(1)依题意，右焦点 (1,0)，则左焦点 ′( 1,0)，而| | = 32， ⊥ 轴，
则| ′| = | ′ |2 + | |2 = 22 + ( 3 2 5 ′2 ) = 2，于是 2 = | | + | | = 4，
2 2
解得 = 2， 2 = 2 12 = 3 ，所以椭圆 的方程为 4 + 3 = 1．
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(2)依题意，直线 不垂直于 轴，设其方程为 = + 4，
= + 4
由 2 2 消去 并整理得(3 2 + 4) 2 + 24 + 36 = 0，
4 + 3 = 1
Δ = 242 2 144(3 2 + 4) = 144( 2 4) > 0，解得 2 > 4，
设 ( 1, 1), ( 2, 2)
24 36
，则 1 + 2 = 3 2+4 , 1 2 = 3 2+4
1 2
则 面积 = 2 | || 1 2| = 2 ( 1 + 2)
2 4 = 24 41 2 3 2+4 ，
令 = 2 4，则 > 0，且 2 = 2 + 4，
24 24 24 16 4 3 = 3 2+16 = 16 ≤ = 3，当且仅当 3 = ，即 = 时取等号，3 + 2 3 16 3
所以 面积的最大值为 3．
19.【详解】(1)由题意甲第 2 局赢的概率为 2 =
1 × 32 5 + (1
1
2 ) ×
2 19
3 = 30，
19 11
所以乙赢的概率为 = 1 30 = 30；
(2) ≥ 2 = 3 + 2 (1 ) = 1 2由已知 时， 5 1 3 1 15 1 + 3，
5 1 5
所以 8 = 15 ( 1 8 )，又 1
5
8 =
1
8，
所以数列{
5 1 1
8 }是首项为 8，公比为 15的等比数列，
5 1 1 1 1 5
所以 18 = ( 8 ) × ( 15 ) ，所以 = ( 8 ) × ( 15 )
1 + ∈ N 8 ；
(3)e ln i + 1 + ≥ 0，即 ≥ ln i + 1 e ，令 ( ) = ln( + 1) e ，则 ′( ) =
1
+1 e
，
因为 = 1 +1和 = e 在(0, + ∞)上递减，
所以 ′( )在(0, + ∞)上递减，
因为 ′(0) = 0，所以 > 0 时， ′( ) < 0，则 ( )在(0, + ∞)上递减，
显然 > 0( ∈ N )，因此要求 ln i + 1 e 的最小值，即求 的最大值，
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= ( 1又 8 ) × (
1 1 5 5
15 ) + 8 ∈ N ， 为奇数时， < 8，
5 1为偶数时， > 8，且在 为偶数时， = ( 8 ) × (
1 ) 1 + 5 = 5 1 1 1 515 8 8 + 8 × ( 15 ) 是单调递减的，8 < ≤
19
30 = 2，
19
所以 2 = 30是{ }中的最大值，
1
所以 ≥ ln(1 + 1 2 2 ) e ，又 ( ) = ln( + 1) e 在(0, + ∞)上是减函数，
19 19 2 19
所以 ( 30 ) < (0) = 1
19
，而e30 < e3 < 2，故 ( 30 ) = ln(1 +
19
30
30 ) e > 2
19 19
所以 2 < ln(1 + 30 ) e30 < 1，
19 19
所以满足 ≥ ln(1 + 30 ) e30的整数 的最小值为 1．
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