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2025届高三数学高考二轮专题复习：复数解答题专题
1．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，曲线的参数方程为（为参数）.
(1)求曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程；
(2)设曲线，交于点，，已知点，求.
2．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（，为参数）.以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)已知直线l与x轴的交点为F，且曲线C与直线l相交于A，B两点，求的值.
3．在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
(2)设射线l的极坐标方程为，且射线l与曲线，分别交于M，N两点，求．
4．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)已知点P的直角坐标为，设直线l与曲线C交于A，B两点，求的值．
5．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)若射线分别与曲线C，直线l交于点M，N，的值．
6．平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
(2)曲线与交于两点，求直线的极坐标方程及三角形面积．
7．在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数，），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：．
(1)写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
(2)在曲线和曲线上分别取点P，Q，求的最小值．
8．在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为：（为参数，），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：．
(1)写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
(2)在曲线和曲线上分别取点P，Q，求的最小值．
9．在直角坐标系中，曲线的参数方程为 (是参数)，是曲线上的点，所对应的参数分别为和；以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)求点 的直角坐标，并求出间的距离；
(2)若点 在曲线上，求 的值．
10．在平面直角坐标系中，点的坐标满足（为参数），
(1)求点的轨迹的方程；
(2)求曲线：与曲线公共弦的长.
11．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C经过极点，且其圆心的极坐标为．
(1)求直线l的普通方程与圆C的极坐标方程；
(2)若射线分别与圆C和直线l交于点A，B（点A异于坐标原点O），求线段长．
12．已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，为常数）以直角坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
(2)若曲线与直线有公共点，求的取值范围．
13．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，直线的极坐标方程为
(1)求曲线C的普通方程和直线的直角坐标方程.
(2)P是曲线C上的动点，直线与轴分别交于A、B两点，求面积的最小值.
14．在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为（为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；
(2)若直线l与圆C的交点为A，B，与x轴的交点为P，求的值．
15．已知曲线C：，直线l：（t为参数）．
(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求的最大值与最小值．
16．已知直线的参数方程为（为参数，）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
(1)写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
(2)设是曲线上的两点，且.若直线上存在点，使得，求的取值范围.
17．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（s为参数）.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为，直线（）.
(1)求曲线的极坐标方程以及曲线的普通方程；
(2)过点A且平行于l的直线m与交于M、N两点，求的值.
18．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为．
(1)求直线和曲线的直角坐标方程；
(2)若直线和曲线恰有一个公共点，求．
19．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
(1)写出直线和曲线的普通方程；
(2)若直线与曲线有公共点，求实数的取值范围.
20．在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
(1)求圆的普通方程和直线的直角坐标方程；
(2)若直线与圆相切，求切点的极坐标.
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参考答案
1．(1)，；
(2).
【分析】（1）利用极坐标与直角坐标互化公式化曲线的方程为直角坐标方程，消去参数化曲线的方程为普通方程.
（2）求出曲线参数方程的标准形式，并代入曲线的直角坐标方程，利用韦达定理，结合直线参数方程的几何意义求解即得.
【详解】（1）曲线的极坐标方程可以化为，而，，
因此曲线的直角坐标方程为，
消去曲线参数方程中的参数得曲线的普通方程为.
（2）曲线的参数方程可化为（为参数），
将的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得，
整理得，，
不妨设，对应的参数分别为，，则，，
显然，又点，则，，
所以.
2．(1)曲线C的普通方程为，直线l的直角坐标方程为
(2)32
【分析】（1）由曲线C的参数方程化简可得到为；由直线l的极坐标方程为，化简可得，从而可求解.
（2）求出交点，将把直线l的参数方程（t为参数）代入曲线C可得，从而可求解.
【详解】（1）由曲线C的参数方程为，
则，
，当且仅当，即时，等号成立，
故曲线C的普通方程为.
直线l的极坐标方程为，，得，
由，则直线l的直角坐标方程为.
（2）因为直线l的方程为，所以，
把直线l的参数方程（t为参数）代入曲线C，可得，
设A，B两点对应的参数分别为，所以，
由直线参数方程的意义可知，所以.
3．(1)，
(2)
【分析】（1）将曲线的参数方程中的参数消去可得其普通方程，由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式可求出的直角坐标方程；
（2）将曲线的直角坐标方程化为极坐标方程，然后将代入可求出点的极坐标，将代入曲线的极坐标方程可求出点的极坐标，从而可求出
【详解】（1）由（为参数），得，
所以，即曲线的普通方程为，
由，得，
所以，即曲线的直角坐标方程为.
（2）如图，
由，得，
所以，
所以，
当时，，
所以，所以 ，
对于，当时，，所以，
所以.
4．(1)，
(2)
【分析】（1）根据参数方程、普通方程、极坐标方程有关的转化的知识求得正确答案.
（2）写出直线的标准参数方程并代入曲线的直角坐标方程，化简写出根与系数关系，由此计算求得正确答案.
【详解】（1）因为直线l的参数方程为（t为参数），
所以消去参数t可得直线l的普通方程为．
由得，
又，，，
所以，所以曲线C的直角坐标方程为．
（2）因为，且P在直线l上．所以将直线l的参数方程改写为（为参数）．
代入曲线C的直角坐标方程得，
化简得，所以，，
所以由直线参数方程中的几何意义可得：
．
5．(1)；
(2)
【分析】（1）由曲线的参数方程消去即可得曲线的普通方程；由直线的极坐标方程为及，即可得直线的直角坐标方程；
（2）射线，转换成直角坐标方程为，联立方程，，即可求出.
【详解】（1）由（t为参数），得，
即，
所以曲线C的普通方程为.
直线l的极坐标方程为，
则，
由，得，
即直线的直角坐标方程为．
（2）射线，转换成直角坐标方程为，
所以射线与曲线C的交点满足
，解得，即，
射线与曲线l的交点满足
，解得，即，
所以，
所以.
6．(1)；
(2)，
【分析】（1）由曲线的参数方程变形得，利用平方关系可得到的普通方程；由即可得的直角坐标方程.
（2）由（1）得曲线的普通方程，的直角坐标方程，两式相减可得它们的公共弦所在直线方程，即直线的方程，由及和差公式可得直线的极坐标方程；根据点到直线的距离公式可得的圆心到直线的距离，由勾股定理可得弦长的值，再利用点到直线的距离求得点到直线的距离，由可得的面积.
【详解】（1）由曲线的参数方程为（为参数），
即，
可得，
即曲线的普通方程为；
曲线的极坐标方程为，
即，
则，
即，
即曲线的直角坐标方程为．
（2）由（1）得曲线的普通方程，
曲线的直角坐标方程，
易知两曲线相交，将两方程相减，可得它们的公共弦所在的直线方程为，
即直线的方程为，
即有，
即直线的极坐标方程为．
设曲线的圆心到直线的距离为，
则，
故．
设到直线的距离为，则，
得的面积为．

7．(1)，
(2)
【分析】（1）由的参数方程，消去参数即可；根据公式，代入化简即可.
（2）将曲线用参数方程表示，再用点到直线的距离公式求解即可.
【详解】（1）曲线的参数方程为：（为参数，），
．
曲线的普通方程为．
曲线的极坐标方程为：，即，
根据可得，
曲线的直角坐标方程为：．
（2）曲线的直角坐标方程为：，
曲线的参数方程为：（为参数）．
故可设曲线上的点，
点Q到直线的距离，
当，即时，，
|PQ|的最小值为．
8．(1)，
(2)
【分析】（1）消参法得到曲线的普通方程；利用公式得到曲线的直角坐标方程；
（2）设曲线上的点，利用点到直线的距离公式可得答案.
【详解】（1）∵曲线的参数方程为：（为参数，），
∴．
∴曲线的普通方程为．
∵曲线的极坐标方程为：，即，
根据，可得，
∴曲线的直角坐标方程为：；
（2）∵曲线的直角坐标方程为：，
∴曲线的参数方为：（为参数）．
故可设曲线上的点，
∴点Q到直线的距离，
当，即时，，
∴的最小值为．
9．(1)
(2)
【分析】（1）将分别代入参数方程即可得的坐标，则距离可求；
（2）将极坐标方程化为直角坐标方程，再代入A点坐标即可求得a的值.
【详解】（1）由题意得,
所以，
，
所以，
则；
（2）因为,所以，
所以的普通方程为，
将代入可得.
10．(1)
(2)
【分析】（1）对曲线的参数方程平方消参，转化为直角坐标方程即可；
（2）在直角坐标系下，用曲线和曲线的方程作差可得它们公共弦所在的直线方程，然后联立公共弦所在的直线方程和曲线的方程可求得交点，用两点间的距离公式即可得到两曲线的公共弦长.
【详解】（1）由，得，
两式平方再相加得.
（2）曲线：和曲线：
的方程作差得：，将代入曲线：中得，
所以两个交点分别为：，所以公共弦长为
11．(1)，；
(2).
【分析】（1）消去得直线方程，确定圆心和半径，计算极坐标方程得到答案.
（2）将代入圆和直线的极坐标方程，计算即可.
【详解】（1）由，消去参数得，
圆C过极点且圆心为，即圆心为，半径为2，
所以圆的方程为，即，极坐标方程为.
（2）将代入，则，
而直线，即，
将代入直线，得，
所以.
12．(1)，
(2)．
【分析】（1）根据把极坐标方程转化为普通方程，参数方程只需消去参数即可转化为普通方程；
（2）根据直线与圆的位置关系列出，解不等式即可.
【详解】（1）由曲线的极坐标方程得，，
即曲线的直角坐标方程为．
由（为参数，为常数）得，，
即直线的普通方程为．
（2）由（1）知曲线是以点为圆心，2为半径的圆，圆与直线有公共点，
即圆心到直线的距离，
即，故，
则的取值范围是．
13．(1)曲线C的普通方程为，直线的直角坐标方程为；
(2)
【分析】（1）变形后平方消元得到曲线C的普通方程，利用三角恒等变换，结合得到直线的直角坐标方程；
（2）求出，，设，得到到直线的距离为，表达出，求出面积最小值为.
【详解】（1）由题意，
两式平方后相加得，即曲线C的普通方程为，
由，
即，，
因为，所以，
即直线的直角坐标方程为
（2）中令得，令得，
故，，
设，则到直线的距离为
，
，其中，
故当时，面积取得最小值，最小值为.
14．(1)，．
(2)2
【分析】（1）①根据圆的参数方程结合三角函数知识消去参数即可得到圆的普通方程；②根据将直线的极坐标方程转化为直角坐标方程；
（2）将直线l的直角坐标方程转化为直线的参数方程，再根据参数的几何意义，即可求得的值.
【详解】（1）（1）①因为圆C的参数方程为（为参数），
所以，即，
故圆C的普通方程为；
②因为直线l的极坐标方程为，
又，所以，
即直线l直角坐标方程为．
（2）因为直线过定点，所以直线的参数方程为（t为参数），
将其代入圆的方程，得，
由韦达定理得，
由t的几何意义可知，．
15．(1)（θ为参数），．
(2)最大值为；最小值为．
【分析】（1）直接由直角坐标方程与参数方程的对应法则直接互化即可求解；
（2）利用点到直线的距离公式、锐角三角函数得到，结合三角函数性质即可求解.
【详解】（1）曲线C的参数方程为（θ为参数）．直线l的普通方程为．
（2）曲线C上任意一点到l的距离为，
则，其中α为锐角，且．
当时，取到最大值，最大值为；
当时，取到最小值，最小值为．
16．(1)，.
(2).
【分析】（1）根据直线l的参数方程消去参数得到直线的普通方程，根据极坐标和直角坐标的关系，可将曲线C的极坐标方程化成直角坐标方程；
（2）由（1）可知，曲线C表示圆，根据已知条件判断P点的轨迹得出，从而转化为点到直线的距离问题的不等式，从而求得参数的范围.
【详解】（1）由（为参数，，消去参数，得直线的普通方程为，
由，得，
将代入得曲线的直角坐标方程为，
即；
（2）由（1），知曲线表示圆心为，半径为的圆，为一条直线，
设弦的中点为，因为，所以，所以点在以为圆心，1为半径的圆上，
又，所以，所以点在以为圆心，1为半径的圆上，
依题意，直线上存在点，使得，
所以点到直线的距离，即，
所以，
所以的取值范围为.
17．(1)，（）；
(2)2.
【分析】（1）消去参数化曲线、的参数方程为普通方程，再利用极坐标与直角坐标的互化关系求出曲线的极坐标方程.
（2）求出直线的参数方程，与曲线的普通方程联立，利用韦达定理求出弦长.
【详解】（1）曲线的参数方程为（为参数），
则曲线的普通方程为，即，
由，，得曲线的极坐标方程为，
因此曲线的极坐标方程为；
由曲线的参数方程（s为参数），得，
又，
所以曲线的普通方程为（）.
（2）由点的极坐标为，得点A的直角坐标为，而直线的倾斜角为，又，
则直线的参数方程为（t为参数），
把代入曲线的方程，得，
设点M、N对应的参数分别为、，则，，
所以.
18．(1)；
(2)
【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程和极坐标方程及直角坐标方程直角进行转换；（2）利用点到直线的距离公式求出三角函数的正切值.
【详解】（1）消去参数，可得直线的直角坐标方程为．
由,可得的直角坐标方程为，即．
（2）由（1）可知，是以为圆心，为半径的圆．
因为直线和曲线恰有一个公共点，所以，解得．
19．(1)直线l：；曲线C：
(2)
【分析】（1）根据参数方程、极坐标与直角坐标的互化公式处理即可；
（2）联立l与C的方程，结合二次函数的性质求解m的范围即可.
【详解】（1）因为l：，所以，
又因为，所以化简为，
因为，整理得C的直角坐标方程：；
（2）联立l与C的方程，
即在时有交点即可，
易知对称轴为，由二次函数的单调性可知：，
所以，
故
即m的取值范围为.
20．(1)，
(2).
【分析】（1）根据即可求出圆的普通方程；根据公式法计算化简即可求出直线的直角坐标方程；
（2）易知切点位于第四象限，结合图形和计算即可求解.
【详解】（1）由圆的参数方程（为参数），
得（为参数），所以，
故圆的普通方程为.
由，
可得，
故直线的直角坐标方程为.
（2）由直线以及，可知切点位于第四象限，
如图，设切点为，直线与轴的交点为A，圆心，

又的倾斜角为，
可得，
则切点的极坐标为.
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