资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
中小学教育资源及组卷应用平台
2025届高三数学高考二轮专题复习：解三角形解答题专练
1．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
(1)求A；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围；
(3)设点E为边BC上一点，若，且，求的值.
2．中，角，，所对的边分别为，，，满足．
(1)求的大小；
(2)点为直线上一点，，且，求面积的最小值．
3．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
(1)求；
(2)若，，求.
4．中，角对应的边分别为，
(1)求角；
(2)若点在边上，且，求的面积.
5．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知：.
(1)求C；
(2)若，的面积为，求的周长.
6．已知分别为三个内角的对边，，点是边上一点（不含端点），满足.
(1)求的大小；
(2)若的面积为，求的长.
7．已知分别为内角的对边，且．
(1)求．
(2)若，求．
(3)若为锐角三角形，求的取值范围．
8．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点，，且，记．
(1)证明：；
(2)证明：；
(3)记，若，求的值．
9．在锐角中，内角、、的对边分别为、、，已知．
(1)求；
(2)若，，，求的面积．
10．在中，分别是角的对边，且，，，．
(1)求角C；
(2)求的面积；
(3)求向量在向量上的投影向量的模．
11．已知、、分别为斜中角、、的对边，．
(1)求；
(2)已知的面积为，求的最小值．
12．中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，．
(1)求角B；
(2)若边上的点D满足，，求的面积．
13．已知三角形的角A， B， C的对边分别为a，b， c， ，，.
(1)求角的大小；
(2)求的值；
(3)求的值.
14．已知的内角所对的边分别为，且满足，
(1)求角的值；
(2)求的值.
15．在中，角，，所对的边分别为，，．已知．
(1)求；
(2)若，，求边上的高；
(3)若，求的值．
16．的内角的对边分别为，已知.
(1)求的最小值.
(2)已知.
①求；
②若，求的周长.
17．在中，角的对边分别为.
(1)求的大小；
(2)若，角的平分线交于点，求.
18．在中，角，，的对边分别为，，，已知且.
(1)求角；
(2)若为的中点，求线段长的取值范围.
19．记的内角，，的对边分别为，，，已知．
(1)若，，成等差数列，求m的值；
(2)若，，成等比数列，求m的取值范围．
20．记的内角所对的边分别为，且.
(1)求角的值；
(2)若，求外接圆的面积；
(3)若，求的最小值.
21．已知中，角对应的边分别为，且.
(1)若，求；
(2)若，求面积的最大值.
22．如图，在凸四边形ABCD中，，．
(1)求证：；
(2)若，求四边形ABCD面积的最大值．
中小学教育资源及组卷应用平台
中小学教育资源及组卷应用平台
《2025届高三数学高考二轮专题复习：解三角形解答题专练》参考答案
1．(1)
(2)
(3)1
【分析】（1）由正弦边角关系，将已知条件化为，再应用余弦定理求角的大小；
（2）由（1）得，再由正弦定理及三角恒等变换有，结合求范围；
（3）法一：设，则，应用正弦定理得，得到，最后由求结果；
法二：由，并应用向量数量积的运算律化简求值.
【详解】（1）由正弦边角关系得，整理得，
由余弦定理得，
又，所以.
（2）由（1）知，所以，
因为，
又为锐角三角形，则，得到，
所以，则，
所以的取值范围为.
（3）法一：设，则，，
在中，①，在中，②，
又，
①②得，，即，
即，解得，
所以，
因为，
则，
即，
化简得，即.
法二：，
又，
则
，
化简得，
所以.
2．(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式求解即得.
（2）设，结合正弦定理求出，再利用三角形面积公式列出函数关系，借助正切函数的性质及基本不等式求出最小值.
【详解】（1）在中，由及正弦定理，
得，
整理得，而，则，
两边平方得，而，解得，
所以.
（2）由（1）知，，设，则，，
在中，，，
在中，由正弦定理得，
令，则，
因此的面积，
当且仅当，即时取等号，
所以面积的最小值为.
3．(1)
(2)
【分析】（1）由题意，根据正弦定理和余弦定理计算即可求解；
（2）由（1），由题意可得，，在和中，利用余弦定理建立方程，求得，进而，再次利用余弦定理计算即可求解.
【详解】（1），由正弦定理得，
得，所以，
由，得.
（2）如图，因为，，所以，，
在中，由余弦定理得，
即；
在中，由余弦定理得，
即，①
所以，得，
由解得，代入①得，由解得.
在中，由余弦定理得.
4．(1)
(2)
【分析】(1)利用三角形内角和定理，结合正弦定理边化角，即可求角；
(2)利用同角公式求正弦值，再结合正弦定理求出，然后再根据余弦定理结合已知条件求出，从而可求出的面积.
【详解】（1）由三角形内角和定理可知：，
再由，利用正弦定理边化角得：
，
因为，所以有，则；
（2）
由，在中，可得，
再由正弦定理得：，
再由余弦定理可得：，
即，
解得或，
因为，所以为钝角，
故，所以的面积.
5．(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可；
（2）由余弦定理有，由三角形面积公式求，进而求出，即可得△的周长.
【详解】（1）由，
根据正弦定理得，，
则，
则，又，即.
（2）由余弦定理得：，
即，，
，故，
，即，
△的周长为.
6．(1)或.
(2).
【分析】（1）根据给定条件，逆用和角公式及二倍角的正弦，结合正弦定理求解即可.
（2）由（1）信息结合三角形面积公式、正弦定理求出，再利用余弦定理求解即得.
【详解】（1）由，得，
在中，，则，又，解得，
而，则，在中，由正弦定理得，
于是，解得.
而，所以或.
（2）由（1）知或，
当时，，且在点同一侧，则点重合，与条件矛盾；
当时，在中，，则是正三角形，设其边长为，
由的面积为，得，解得，
在中，由正弦定理得，
在中，，
由余弦定理得，
即，整理得，而，解得，
所以的长为.
7．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）用正弦定理和化简式子，再通过平方、辅助角公式或半角公式求出或等，结合角范围确定.
（2）由正弦定理将边化为角，用二倍角公式和两角差余弦公式化简，代入算出结果.
（3）根据的范围确定范围，进而得到范围，结合正弦函数性质求出式子范围.
【详解】（1）由正弦定理得，
在中，，
所以，由，得，
两边平方得，得或（舍），
此处也可利用辅助角公式转化为，或利用半角公式得到，进而求出
在中，，所以．
（2）由正弦定理得，则由二倍角公式可得.
（3）由（2）知，
由，，得，
则，
所以，
从而，
所以的取值范围为．
8．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）设，则，在和中，利用余弦定理分别表示，即可得证.
（2）在和中，利用正弦定理结合即可证明.
（3）若，根据三角形相似得，与已知矛盾；若，则，结合已知得，利用二倍角余弦公式化简得，求解即可.
【详解】（1）设，则．
由余弦定理得，
所以，所以．
（2）在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
由（1）知，又，所以．
（3）若，则，得，与已知矛盾．
若，则，
所以化为，即，
整理得，即，解得．
9．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出，结合正弦定理可求得结果；
（2）由平面向量的减法可得出，利用平面向量数量积的运算性质结合与余弦定理可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出的值，然后利用三角形的面积公式可求得的面积.
【详解】（1）由及正弦定理可得，
即，
即，
即，
因为为锐角，故，可得，由正弦定理得，故.
（2）因为，则，故，
所以，
即，即①，
由余弦定理可得，即②，
联立①②可得，，故，
因此，.
10．(1)
(2)
(3)4
【分析】（1）由正弦定理边化角即可求解；
（2）由余弦定理结合三角形面积公式即可求解；
（3）由投影向量的计算公式即可求解.
【详解】（1）由正弦定理，得，
因为，所以，
所以，得，
因为，所以．
（2）由余弦定理得，
因为，，，代入整理得，
解得（舍去），
所以的面积．
（3）因为，
，
所以向量在向量上的投影向量的模为．
11．(1)
(2)
【分析】（1）由题意可知，由已知条件及正弦定理化简得出，再利用正弦定理可求得的值；
（2）由三角形的面积公式结合同角三角函数的基本关系可求出、的值，利用余弦定理可得出，然后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，，
即，
因为为斜三角形，所以，故，
由正弦定理可得．
（2）由（1）知，，所以，
所以，
即，
因为，则，故，所以，
所以，则，
所以，
当且仅当，即时，取最小值．
12．(1)
(2)，.
【分析】（1）由正弦定理，结合化简可得，从而得出答案；
（2）由已知得，两边平方，结合数量积的运算性质及余弦定理求出，然后利用三角形面积公式计算即可．
【详解】（1）在中，利用正弦定理可得：，
又，则，
则，
即，
因，则，则，
又，则.
（2）
因，则
两边平方得：，
又，则，
则，
在中，由余弦定理得，化简得
则，即，得或，
当时，，则；
当时，，，则．
13．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用余弦定理计算可得；
（2）利用正弦定理计算可得；
（3）首先求出，即可求出、，再由两角和的正弦公式计算可得.
【详解】（1）由余弦定理，
又，所以；
（2）由（1）知，由正弦定理，
则.
（3）由，所以，所以为锐角，故，
所以，
所以，
所以
.
14．(1)
(2)
【分析】（1）先由正弦定理边角转化结合余弦定理计算求解；
（2）先应用二倍角公式结合两角和差正弦公式计算求解.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
整理得，
由余弦定理可得，
且，所以.
（2）由正弦定理知，
又
，
，
.
15．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用余弦定理边角转化可得，即可得结果；
（2）根据题意结合面积关系可得，进而可求高；
（3）先利用倍角公式求，再结合两角和差公式运算求解.
【详解】（1）因为，
由余弦定理可得，
整理可得，则，
且，所以.
（2）因为，可得，
联立方程，解得或（舍去），
由（1）可得，则，即，
设边上的高为，
则，即，解得，
所以边上的高为.
（3）因为，且，则，
可得，
所以.
16．(1)
(2)①；②
【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理及基本不等式求出最小值.
（2）①由（1）中信息及已知，利用余弦定理、同角公式求解；②由（1）中信息及已知，求出即可.
【详解】（1）在中，由及正弦定理，得，
由余弦定理得，
则，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
（2）①在中，由余弦定理得，
所以.
②由，得，
则，解得，
所以的周长为.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据公式，以及，化简等式，再根据两角和的余弦公式，即可求解；
（2）根据面积公式，再结合余弦定理，即可求解.
【详解】（1）由，得，
整理得，即，
，
因为，
所以；
（2），
则，
则，所以，
而，
则有，所以
18．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理角化边，再结合余弦定理即可求解；
（2）由，两边平方，再结合即可求解.
【详解】（1）由正弦定理可得，
即，
由余弦定理可得，
因为，所以；
（2）点为的中点，则，
，
因为，由（1）可知，即，
因为，当且仅当时，等号成立，
故，求出，当且仅当时，等号成立，
故，当且仅当时，等号成立，
故，又，故，
故，即的取值范围为.
19．(1)
(2)
【分析】（1）将所给等式利用三角恒等变换进行化简，再利用正弦定理及等差数列的性质求解；
（2）利用第（1）问得到，结合余弦定理和基本不等式求出m的取值范围．
【详解】（1）由题意得，
所以，
因为，所以，
所以，
由正弦定理得，．
若，，成等差数列，则，所以．
（2）由（1）知，所以，显然，且①
由，，成等比数列，得，
所以，
当且仅当时取等号，
又B为的内角，所以．
由余弦定理得，
代入①式得，
因为，所以，
所以．
20．(1)
(2)
(3)2.
【分析】（1）由正弦定理边化角，得到，进而可求解；
（2）由正弦定理求得外接圆半径即可求解；
（3）由余弦定理结合基本不等式即可求解.
【详解】（1）由已知得，
由正弦定理得，
即，
因为，所以，
即，
又因为，所以.
（2）由正弦定理可知：当时，
外接圆的半径，
故此时外接圆的面积为.
（3）由余弦定理可得，
即，
当且仅当时取等号，
故的最小值为2.
21．(1)
(2)
【分析】（1）方法一：利用同角三角函数的基本关系将正切化为正弦、余弦，再利用两角和的正弦公式化简得，由正弦定理可得，结合已知得，即可求解；
方法二：利用同角三角函数的基本关系将正切化为正弦、余弦，再利用两角和的正弦公式化简得，由及正弦定理可得，进而得，即可求解；
（2）解法一：由（1）得，结合余弦定理及已知化简得，进而根据三角形面积公式及余弦定理得的面积，即可利用二次函数性质求解其最大值.
解法二：由（1）得，结合余弦定理及已知化简得，建立平面直角坐标系，求出点的轨迹方程，利用圆上的点到x轴的距离求得面积的最大值.
【详解】（1）方法一：由，得，，
，.
又，.
由正弦定理可得，，，又，.
方法二：由，得，，
，.
又，.
由及正弦定理可得，又，
故，，，
又，.
（2）解法一：由（1）得，结合余弦定理得，
又，化简得.
的面积
，当，即，时，
的面积取得最大值，且最大值为.
解法二：由（1）得，结合余弦定理得，
又，化简得.
以的中点为原点，所在直线为轴，
过点且垂直于的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，，
设，则，，
，即，
点在以为圆心，为半径的圆上.
的面积，且，
面积的最大值为.
22．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由，则，根据正弦定理得，结合余弦定理，再边化角得，结合三角函数和差角公式可证；
（2）根据（1）结合条件得，，，则，在中，根据余弦定理，结合基本不等式得，从而可得解.
【详解】（1）因为，所以，
由，则，
根据正弦定理得，则，
又根据余弦定理，
所以，
即，
再由正弦定理得，
即，
则，
所以，
因为，则，
所以或，
得或（舍），
故；
（2）根据（1），又，
所以，所以，，
所以，且，
在中，，
根据余弦定理，
即，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，
所以四边形ABCD面积的最大值为.
答案第2页，共20页
答案第3页，共20页

展开更多......

收起↑