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贵阳市第二十八中学2025年义务教育质量提升检测试卷
九年级 数学
(时间：120分钟　分值：150分)
一、选择题(本大题共12题，每题3分，共36分，每小题均有A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂)
1. 下列实数中，是无理数的是(　　)　　 　　　　　　　 　　　　　　　 　　　
A. B. 3.14 C. D. π
2. 如图所示的几何体是圆柱沿竖直方向切掉一半后得到的，则该几何体的主视图是(　　)
第2题图
3. 据悉，2024年贵阳市参加中考的人数有64 695人，64 695这个数用科学记数法表示正确的是　　　　　　　　　　　　　(　　)
A. 0.646 95×105 B. 6.469 5×103
C. 6.469 5×104 D. 64.695×103
4. 如图，若AB∥CD，∠1＝35°，则∠2的度数为 (　　)
　　　
第4题图
A. 145° B. 135° C. 125° D. 100°
5. 计算a(a＋4)－4a的结果正确的是(　　)
A. 4 B. a2 C. a2＋4a D. a2－4a
6. 小文同学将学校歌咏比赛中九位评委的打分经过整理分析后，制作成如下表格：
平均数 众数 中位数 方差
8.6 8.1 8.3 0.15
如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中数据一定不发生变化的是(　　)
A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D．方差
7. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线MN，分别交AB，AC于点D，E，连接CD，已知BC＝6，AC＝10，则AD的长为(　　)
第7题图
A. B. C. D.
8. 将只有颜色不同的4个白球、3个黑球放在一个不透明的布袋中，下列说法不正确的是(　　)
A. 摸到白球比摸到黑球的可能性大 B. 摸到白球和黑球的可能性相等
C. 摸到红球是不可能事件 D. 摸到黑球或白球是必然事件
9. 已知每个推车式灭火器(如图①)的价格比手提式灭火器(如图②)价格的6倍多20元．用1 900元购买的推车式灭火器数量和用300元购买的手提式灭火器数量相同．设手提式灭火器的单价为x元，根据题意可列方程为(　　)
A. ＝ B. ＝
C. ＝　 D. ＝
第9题图
10. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则点(a，)所在象限为 (　　)
　
第10题图
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
11. 在物理中，某种物质的密度ρ，该物质组成的物体的质量m与它的体积V之间的关系如下：ρ＝，去分母得ρV＝m，其变形依据是(　　)
A. 等式的性质1 B. 等式的性质2
C. 不等式的性质2 D. 分式的基本性质
12. 生物学研究表明，当光合作用与呼吸作用强度的差越大时，植物体内积累的有机物越多，产量也就越高．为了解某经济作物的产量与种植密度的关系，研究人员通过实验得到该经济作物的种植密度分别与呼吸作用强度、光合作用强度的函数关系，其图象如图所示，则下列说法正确的是(　　)
　
第12题图
A. 呼吸作用强度随种植密度的增大先增大后不变
B. 种植密度越大，该经济作物的产量越高
C. 种植密度为d时，该经济作物的产量最高
D. 种植密度为b时该经济作物的产量高于种植密度为a时该经济作物的产量
二、填空题(本大题共4题，每题4分，共16分)
13. 因式分解a2＋2a－3的结果是________________．
14. 中国阳明文化园部分平面图如图所示，若用(0，0)表示王阳明纪念馆的位置，用(1，－3)表示游客接待中心的位置，则南门的坐标是________．
第14题图
15. 如图是某一水塘边的警示牌，牌面是五边形，这个五边形的内角和是________°.
第15题图
16. 如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是CD边上一点，连接BE，在BE上取一点F，连接AF，使∠BAF＝2∠CBE，过点F作FG⊥BE交直线CD于点G，若EG＝2，∠BAF≠60°时，则DE的长为__________．
　　　
第16题图
三、解答题(本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17. (本题满分12分)
(1)计算：－cos 60°－|－|＋(1－)0；
(2)从下列三个方程中任选一个方程，并用适当的方法解方程．
①(x－1)2＝3　②x2－2x＝0　③x2－4x＋1＝0
18. (本题满分10分)已知反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的图象经过A(3，－2).
(1)求这个函数的表达式；
(2)若将点B(1，n)先向上平移m个单位长度，再向右平移m个单位长度，得到点C，且点B和点C(B，C两点不重合)都在该反比例函数的图象上，求m的值．
19. (本题满分10分)话剧是以对话方式为主的戏剧形式，主要叙述手段为演员在台上无伴奏的对白或独白．某剧院上映话剧《雷雨》，设置两种票价，甲种票每张50元，乙种票每张80元．
(1)某校话剧社团共52人去该剧院看话剧《雷雨》，购票共花费3 500元，求购买甲、乙两种票各多少张？
(2)该剧院场馆共有300个座位，在每场票售罄的前提下，要使该话剧每场售票总金额不低于18 000元，则甲种票所对应的座位最多可设置多少个？
20. (本题满分10分)为引导广大青少年树立正确的世界观、人生观、价值观，传承红色基因，某校组织了一次以“赓续红色血脉，强国复兴有我”为主题的演讲比赛，比赛成绩分为以下5个等级：A.100分、B.90分、C.80分、D.70分、E.60分，比赛结束后随机抽取部分参赛选手的成绩，整理并绘制成如图统计图，请你根据统计图解答下列问题：
(1)所抽取学生比赛成绩的众数是________，中位数是________；
(2)求所抽取学生比赛成绩的平均数；
(3)若参加此次比赛的学生共100名，且学校计划为比赛成绩进入A，B两个等级的学生购买奖品，请估计学校共需要准备多少份奖品？
第20题图
21. (本题满分10分)如图，在平行四边形ABCD中，点F在边AD上，AB＝AF，连接BF，O为BF的中点，连接AO并延长交BC边于点E，连接EF.
(1)求证：四边形ABEF是菱形；
(2)若平行四边形ABCD的周长为22，CE＝1，∠BAD＝120°，求AE的长．
第21题图
22. (本题满分10分)杨老师组织学生开展测量物体高度的实践活动，小文同学所在小组的任务是测量观山湖公园一棵大树的高度，由于有围栏保护，他们无法到达大树底部．于是小文同学制定了测量方案进行实地测量，得出如下的测量报告：
课题 测量大树的高度
测量工具 平面镜、测倾器和皮尺
测量示意 图及说明 第22题图 说明：①D，C，B，F四点共线，DE，AB均垂直于DF，垂足为D，B ②光线EC经点C处平面镜反射后的光线为CA ③平面镜大小忽略 ④测倾器高度忽略
测量数据 小文眼睛与地面高度DE＝1.6米，小文到平面镜的距离CD＝2米，平面镜到测倾器的距离CF＝33米，∠AFB＝53°
参考数据 sin 53°≈，cos 53°≈，tan 53°≈
请你根据以上测量报告，求大树AB的高度(结果精确到0.1米).
23. (本题满分12分)如图，半径为2的⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，＝，过点C作CE⊥BE交BD延长线于点E.
(1)若∠A＝65°，则∠EBC的度数为__________；
(2)证明：CE是⊙O的切线；
(3)若BE＝3，求BC的长．
第23题图
24. (本题满分12分)如图，OC是一段坡比为1∶10的斜坡，在斜坡OC上按水平距离间隔20米修建两面墙，两面墙的高度都为3米(OA＝BC＝3米)，某农业种植公司在A，B两点之间搭建一个横截面为抛物线形状的温室大棚用于种植菊芋．以点O为坐标原点，过点O的水平线为x轴，OA所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．经过测量，该抛物线的表达式为y＝－x2＋bx＋c.
(1)求点B的坐标及该抛物线的表达式；
(2)为了维持大棚内合适的光照、湿度和温度，要求斜坡与抛物线之间的竖直距离的最大值不能高于5米(直线DE⊥x轴分别交抛物线和线段OC于点D，E.斜坡与抛物线之间的竖直距离为DE的长)，请问此温室大棚是否符合这一要求？请说明理由；
(3)该农业种植公司想在另一坡比为1∶8的斜坡PQ上再搭建一个温室大棚，两面墙的高度仍为3米，温室大棚(抛物线)的形状与本题中的抛物线相同，若斜坡与抛物线之间的竖直距离恰好符合(2)的要求(即斜坡与抛物线之间的竖直距离的最大值恰好为5米)，求出两面墙之间的水平距离．
第24题图
25. (本题满分12分)小星根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展．
如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，E是BC边上一点，连接DE，将△CDE沿DE翻折，得到△FDE，点C关于DE的对称点F恰好落在AD边上，P是AD边上一动点(点P不与点D重合)，连接EP，作EC关于EP的对称线段EC′，射线C′F交射线EP于点G，连接DG.
(1)问题解决：
如图①，当点C′落在AB边上时，∠EGC′的度数是________；
(2)问题探究：
如图②，当点C′不在AB边上时，求的值；
(3)拓展延伸：
当∠FDG＝15°时，请求出△DFG的面积．
第25题图参考答案：
1. D　2. B　3. C
4. A　【解析】如解图，∵AB∥CD，∠1＝35°，∴∠3＝∠1＝35°，∴∠2＝180°－∠3＝180°－35°＝145°.
第4题解图
5. B　【解析】a(a＋4)－4a＝a2＋4a－4a＝a2.
6. C
7. A　【解析】∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝6，AC＝10，∴AB＝＝＝8，由题意可知，MN是AC的垂直平分线，∴AD＝CD，设AD＝x，则BD＝AB－AD＝8－x，∵在Rt△BCD中，BD2＋BC2＝CD2，∴(8－x)2＋62＝x2，解得x＝，即AD的长为.
8. B　【解析】
选项 逐项分析 正误
A 由白球的数量比黑球多，可知摸到白球比摸到黑球的可能性大 √
B 由白球的数量比黑球多，可知摸到白球比摸到黑球的可能性大 ×
C 布袋里只有白球和黑球，∴摸到红球是不可能事件 √
D 摸到黑球或白球是必然事件 √
9. C　【解析】由题意可知，推车式灭火器的单价为(6x＋20)元，根据题意可列方程为＝.
10. B　【解析】由二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下得a<0，由对称轴x＝－在y轴的右侧，则x＝－>0，∵a<0，∴b>0，∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与y轴交点在正半轴，∴c>0，∴＞0，∴点(a，)在第二象限．
11. B　【解析】等式的两边同时乘以一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，故满足等式的性质2.
12. D　【解析】A.呼吸作用强度随种植密度的增大先增大后变小，故A选项说法错误，不符合题意；B.种植密度为b时，该经济作物的产量最高，故B选项说法错误，不符合题意；C.种植密度为b时，光合作用强度和呼吸作用的强度差最大，植物体内积累的有机物最多，该经济作物的产量最高，故C选项说法错误，不符合题意；D.种植密度为b时该经济作物的产量高于种植密度为a时该经济作物的产量，说法正确，符合题意．
13. (a＋3)(a－1)
14. (－2，－3)
15. 540　【解析】五边形的内角和为(5－2)×180°＝540°.
16. －1　【解析】如解图，在BC上取点K，使BK＝CE，连接AK交BE于H，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABK＝∠BCE＝90°，∵BK＝CE，∴△ABK≌△BCE(SAS)，∴∠BAK＝∠CBE，BK＝CE，AK＝BE，∵∠BAF＝2∠CBE，∴∠BAF＝2∠BAK，∴∠BAH＝∠FAH，∵∠BAK＋∠AKB＝90°，∴∠CBE＋∠AKB＝90°，∴∠AHB＝90°＝∠AHF，∵AH＝AH，∴△ABH≌△AFH(ASA)，∴BH＝FH，∵∠ABH＝∠CEF，∠AHB＝∠GFE＝90°，∴△GEF∽△ABH，∴＝＝＝，∴BH＝3EF，设EF＝x，则BH＝3x＝FH，∴BE＝7x＝AK，∴CE＝＝，∴BK＝，∵2S△ABK＝AB·BK＝AK·BH，∴6＝7x·3x，∴49x4－196x2＋144＝0，设49x2＝y，则y2－4y＋144＝0，解得y＝98±14，∴CE＝＝＝＝＝7±，∵CE＜6，∴CE＝7－，∴DE＝6－CE＝－1.
第16题解图
17. 解：(1)原式＝－－＋1
＝0；
(2)①解：∵(x－1)2＝3 ，
∴ x－1＝±，
　∴x1＝1＋，x2＝1－.
②解：∵x2－2x＝0 ，
∴x(x－2)＝0，
　 ∴x1＝0，x2＝2
③解：∵x2－4x＋1＝0，
∴x2－4x＋4－3＝0，
∴＝3，
∴x－2＝±，
∴x1＝2＋，x2＝2－.
18. 解：(1)由题意得－2＝，
解得k＝－6，
即这个函数的解析式为y＝－；
(2)由题意得n＝－6，点C(1＋m，－6＋m)，
得方程(1＋m)(－6＋m)＝－6，
解得m＝5，或m＝0(舍去).
∴m的值为5
19. 解：(1)设购买甲种票x张，购买乙种票y张，根据题意，
得
解得
答：购买甲种票22张，购买乙种票30张；
(2)设甲种票所对应的座位设置a个，则乙种票所对应的座位设置(300－a)个，
根据题意，得50a＋80×(300－a)≥18 000，解得a≤200，
答：甲种票所对应的座位最多可设置200个．
20. 解：(1)80，80；
【解法提示】这次调查成绩出现次数最多的是80分，共出现8次，∴众数是80分，这次调查的总人数为1＋4＋8＋4＋3＝20(人)，将这20人的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数都是80分，∴中位数是80分．
(2)这20人的平均成绩为＝78(分)，
答：所抽取学生比赛成绩的平均数为78分；
(3)100×＝25(份)，
答：估计学校需要准备25份奖品．
21. (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AFO＝∠EBO，
∵O是BF的中点，
∴OB＝OF，
在△AOF和△EOB中，
，
∴△AOF≌△EOB(AAS)，
∴OA＝OE，
∵OB＝OF，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF，
∴四边形ABEF是菱形；
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BAD＋∠ABC＝180°，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ABE＝60°，
∵AB＝BE，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB，
∵AD＝BC，AF＝BE，
∴DF＝EC＝1，
∵DF∥EC，
∴四边形EFDC是平行四边形，
∴CD＝EF，
∵AB＋BC＋CD＋AD＝22，
∴AB＋BE＋1＋CD＋AF＋1＝22，
∴4AB＝20，
∴AB＝AE＝5.
22. 解：设AB＝x米，
在Rt△ABF中，∠AFB＝53°，
∵tan ∠AFB＝，
∴BF＝≈＝x(米)，
∴BC＝(33－x)米，
∵∠EDC＝∠ABC＝90°，∠ECD＝∠ACB，
∴△EDC∽△ABC，
∴＝，即＝
解得x＝16.5，
答：大树AB的高度约为16.5米．
23. (1)25°；
【解法提示】∵＝，∴∠ABC＝∠EBC，∵AB为⊙O的直径，∠A＝65°，∴∠ACB＝90°，∴∠EBC＝∠ABC＝90°－65°＝25°；
第23题解图
(2)证明：如解图，连接OC，
∵OB＝OC，∠ABC＝∠EBC，
∴∠ABC＝∠OCB，
∴∠EBC＝∠OCB，
∴OC∥BE，
∵BE⊥CE，
∴半径OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切线；
(3)解：∵∠ACB＝∠CEB＝90°，∠ABC＝∠EBC，
∴△ACB∽△CEB，
∴＝，
∵⊙O的半径为2，BE＝3，
∴AB＝4，
∴BC2＝AB·BE＝4×3＝12，
∴BC＝2.
24. 解：(1)如解图①，延长BC交x轴于点G，
∵斜坡OC的坡比为1∶10，OG＝20米，∴CG＝OG＝2米，
∵BC＝3米，∴BG＝BC＋CG＝3＋2＝5米，∴A(0，3)，B(20，5)，
将A(0，3)，B(20，5)代入y＝－x2＋bx＋c，
得，
解得，
∴该抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋3；
第24题解图①
(2)此塑料大棚不符合这一要求，理由如下：
设斜坡OC的表达式为y＝kx(k≠0)，
由题意得C(20，2)，
将C(20，2)代入y＝kx，得2＝20k，∴k＝，∴直线OC的表达式为y＝x，∴斜坡与抛物线之间的竖直距离为h＝DE＝－x2＋x＋3－x＝－(x－10)2＋，
∵－＜0，∴当x＝10时，h最大值＝＞5，∴此塑料大棚不符合这一要求；
(3)如解图②，将此斜坡PQ放置在平面直角坐标系中，则抛物线的表达式为y＝－x2＋bx＋3，直线PQ的表达式为y＝x，∴斜坡与抛物线之间的竖直距离为h＝DE＝－x2＋bx＋3－x＝－x2＋(b－)x＋3，∴h最大值＝＝5，
解得b＝＋(负值已舍去)，∴y＝－x2＋(＋)x＋3，
令C(m，m)，则B(m，m＋3)，
将点B(m，m＋3)代入y＝－x2＋(＋)x＋3，得m＋3＝－m2＋(＋)m＋3，
解得m＝8或m＝0(舍去).∴两面墙之间的水平距离为8米．
第24题解图②
25. 解：(1)45°；
【解法提示】∵四边形ABCD为矩形，∴CD＝AB＝2，∠B＝∠C＝∠ADC＝90°.由对称的性质可知，∠DFE＝∠C＝90°，CE＝EF＝C′E，∴四边形CDFE是矩形．∵CE＝EF，∴矩形CDFE是正方形，∴∠FEB＝90°，CE＝C′E＝CD＝2，∴BE＝BC－CE＝1.在Rt△BEC′中，cos ∠BEC′＝＝，∴∠BEC′＝60°，∴∠C′EF＝∠FEB－∠BEC′＝30°，∴∠EFC′＝∠EC′F＝75°.由对称的性质可知，∠C′EG＝∠CEG＝60°，∴∠GEF＝∠C′EG－∠C′EF＝30°，∴∠EGC′＝∠EFC′－∠GEF＝45°.
(2)如解图①，过点E作EH⊥C′G 于点H.
第25题解图①
由对称的性质可知，EC＝EF＝EC′，∠C′EG＝∠CEG，
设∠C′＝x，∴∠EFC′＝∠C′＝x，C′F＝2HF，
∴∠C′EF＝180°－2x.
∵EH⊥C′G，∴∠FEH＝∠C′EH＝90°－x.
由折叠易知，四边形CDFE为正方形，
∴∠CEF＝∠DFE＝90°，EF＝DF，∠DEF＝∠DEC＝45°，DE＝EF，
∴∠C′EG＝∠CEG＝＝135°－x，
∴∠GEH＝∠C′EG－∠C′EH＝45°，
∴∠DEG＝∠CEG－∠DEC＝90°－x，EG＝HE，
∴∠FEH＝∠DEG，
∴△HEF∽△GED，
∴＝＝＝，
∴HF＝DG，
∴＝＝；
(3)分两种情况讨论：
①如解图②，当点G在C′F的延长线上时，过点G作GI⊥DF于点I，
∵四边形CDFE是正方形，∴∠EDF＝45°.
∵∠FDG＝15°，∴∠EDG＝60°.
由(2)知△HEF∽△GED，
∴∠EFH＝∠EDG＝60°.
∵EF＝CD＝2，∴EH＝，HF＝1.
由(2)知，∠GEH＝45°，
∴HG＝HE＝，∴FG＝HG－HF＝－1.
∵∠EFH＝60°，∠DFE＝90°，
∴∠GFI＝30°，
∴GI＝FG＝，
∴S△DFG＝DF·GI＝；
第25题解图
②如解图③，当点G在线段C′F上时，过点G作GH⊥AD于点H.
设DG与EF相交于点I.
∵四边形CDFE为正方形，CD＝AB＝2，
∴∠EDF＝45°，DE＝CD＝2，
∴∠EDG＝∠EDF－∠FDG＝30°.
由(2)知，∠EGD＝∠DFE＝90°，
∴GE＝DE＝，DG＝DE＝.
∵∠GIE＝∠FID，
∴△GIE∽△FID，
∴＝＝＝，
即＝＝＝，
解得GI＝2－，FI＝4－2，
∴DI＝DG－GI＝2－2.
∵∠IFD＝∠GHD＝90°，∠IDF＝∠GDH，
∴△IFD∽△GHD，
∴＝，即＝，
解得HG＝，
∴S△DFG＝DF·HG＝.
综上所述，△DFG的面积为或.
(一题多解)
(3)分两种情况讨论：
①如解图⑤，当点G在C′F的延长线上时，过点D作DM⊥C′G，交C′G的延长线于点M，过点G作GH⊥AD于点H，
由(2)知，∠DGM＝45°，∴∠MDG＝45°，
∴∠FDM＝∠FDG＋∠MDG＝60°.
∵四边形ABCD为矩形，∴CD＝AB＝2.
由折叠易知，四边形CDFE为正方形，
∴DF＝CD＝2，
∴DM＝DF＝1，FM＝DF＝，
∴GM＝DM＝1，∴FG＝FM－GM＝－1.
∵∠GFH＝∠DFM，∠GHF＝∠DMF＝90°，
∴∠FGH＝∠FDM＝60°，∴GH＝FG＝，
∴S△DFG＝DF·GH＝；
第25题解图
②如解图⑥，当点G在线段C′F上时，过点G作GH⊥AD于点H.
设DG与EF相交于点I.
∵四边形CDFE为正方形，CD＝AB＝2，
∴∠EDF＝45°，DE＝CD＝2，
∴∠EDG＝∠EDF－∠FDG＝30°.
由(2)知，∠EGD＝∠DFE＝90°，
∴GE＝DE＝，DG＝DE＝.
∵∠GIE＝∠FID，
∴△GIE∽△FID，
∴＝＝＝，即＝＝＝.
解得GI＝2－，FI＝4－2，
∴DI＝DG－GI＝2－2.
∵∠IFD＝∠GHD＝90°，∠IDF＝∠GDH，
∴△IFD∽△GHD，
∴＝，＝，解得HG＝，
∴S△DFG＝DF·HG＝.
综上所述，△DFG的面积为或.

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