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2025届高三数学高考二轮专题复习：数列解答题专练
1．已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式;
(2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前项和为，求的值.
2．已知数列的首项，的前项和为且满足.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)若，求数列的前项和.
3．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)试比较与的大小；
(3)当时，数列满足，，，证明：.
4．设数列满足，；正项数列满足，．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列、的通项公式；
(3)设是数列的前n项和，证明：．
5．已知数列是等差数列，，且成等比数列.给定，记集合的元素个数为bk.
(1)求的值;
(2)求满足的最小自然数的值.
6．在等差数列中，，．
(1)求通项公式及其前项和的最小值；
(2)若数列为等比数列，且，，求的前项和．
7．设是等差数列，是公比大于0的等比数列，已知，，．
(1)求和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
8．记数列的前n项和为，已知，且，数列满足．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求的通项公式；
(3)记的前n项和为，证明：．
9．已知数列的前项和为，且
(1)求，并证明数列是等差数列；
(2)求数列的前项和为
(3)若，求正整数的所有取值．
10．已知数列的前n项和为，点在直线上，．
(1)求数列的前n项和以及数列的通项公式；
(2)若数列满足，设数列的前n项和为，求的最小值．
11．设数列满足：，，．
(1)求证：；
(2)求证：．
12．已知等差数列的前项和满足，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
13．记等差数列的前n项和为，数列的前n项和为，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求；
(3)若成立，求实数k的最小值．
14．已知数列的前n项和为，且，，数列为等比数列且公比大于0，，
(1)求：数列和的通项公式
(2)记，求数列的前项和．
15．已知正项数列的前项和为，且，数列满足，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，为数列的前项和，若任意，使得成立，求的取值范围．
16．已知数列中，，，且数列为等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)记为数列的前n项和，证明：．
17．已知抛物线的焦点为.为其准线上一点，过引抛物线的两条切线，切点分别为、.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)求证：、、三点的横坐标成等差数列；
(3)求的外接圆面积的最小值.
18．已知数列是公差为2的等差数列，满足．
(1)求的通项公式；
(2)设的前项和为，若，求的最大值．
19．已知等差数列的前n项和为，其中，数列的前n项积为，且．
(1)求数列与的通项公式；
(2)设为数列的前n项和，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．
20．已知正项数列的首项为7，且，数列满足，．
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前n项和；
(3)设，为数列的前n项和，若对任意，恒成立，求实数m的取值范围．
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《2025届高三数学高考二轮专题复习：数列解答题专练》参考答案
1．(1)；
(2).
【分析】（1）利用的关系，结合已知条件，分类讨论时对应的；
（2）根据题意，列出数列，结合等差数列和等比数列前项和公式，求解即可.
【详解】（1），当时，；
当时，，又，不满足；
故.
（2）保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个，则新数列的前项为：
故
即.
2．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由题意将题给等式变形为，则根据等差数列的定义可证明数列是等差数列；
（2）由（1）先求出数列的通项公式，从而求得数列的前n项和，再根据可求出，从而求出的通项公式，最后利用错位相减法求出的前项和.
【详解】（1）证明：因为，所以，
又，所以数列是以1为首项，以为公差的等差数列.
（2）由（1）可得，所以，
当时，
所以，
当时也成立，所以，所以，
因，①
，②
②-①得，③
则，④
③-④得
所以.
3．(1)见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）首先对函数求导，然后讨论的取值范围，相应的得出函数的单调区间；
（2）令，结合（1）可得，变形得，可得，进而可得；
（3）由题意可得，进而构造函数证明，再构造函数，，证明，进而求证即可.
【详解】（1）首先对函数求导，
则，
当时，恒成立，所以函数在上单调递减；
当时，令，得；令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，令，得；令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）知，当时，，
且函数在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得最大值，
即，变形得（当且仅当时取等号）.
令，则（因为），即.
（3）当时，，
则，
由，
则，
设，，
则，
当时，，则函数在上单调递增，
又，则时，，
则时，，
因为，则，，，.
设，，
则，
所以函数在上单调递减，
则，即时，，
则，
所以，
则，即，
则，
即.
4．(1)证明见解析
(2)，
(3)证明见解析
【分析】（1）由递推公式通过构造得到，即可求证；
（2）由（1）可求，由，通过因式分解得到，即可求解；
（3）通过裂项相消法求和，进而可求证.
【详解】（1）证明：由得
进而
又
所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列
（2）由（1）得
所以
由得，
因为，所以
又，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列．
所以
（3）
所以
因为，所以
易知是关于的增函数，所以
综上
5．(1)，
(2)
【分析】（1）设数列的公差为，根据题意，列出方程，求得，得到，结合，分别求得的值；
（2）由（1）得到，求得，当和时，可得，，进而得到的最小值.
【详解】（1）解：设数列的公差为，
因为成等比数列，且，所以，
即，即，解得，所以，
又因为，
当时，集合，所以集合中元素的个数；
当时，集合，所以集合中元素的个数；
（2）解：由集合 的元素个数为，
结合（1）可得，
所以，
当时，可得；
当时，可得，
又由，
所以数列为单调递增数列，所以的最小值是.
6．(1)，最小值为
(2)
【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，再由等差数列的前项和公式，即可得到结果；
（2）根据题意，由等比数列的前项和公式，代入计算，即可得到结果；
【详解】（1）设等差数列的公差为.
因为，所以，解得，
所以.
所以.
因为，所以当或时取得最小值，
且最小值为.
（2）由（1）可得：，，
所以等比数列的公比为，
所以，所以等比数列的前项和.
7．(1)，
(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，根据题意建立方程组，求解即可.
（2）利用分组求和法结合等差数列和等比数列的求和公式求解即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，且．
依题意得，解得，则或．
又因为，所以，解得，故，．
（2）因为，所以，
则.
8．(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用等比数列定义推理得证.
（2）由（1）求得，再利用前n项和与第n项的关系求解.
（3）利用不等式的性质，结合数列求和推理得证.
【详解】（1）由，，得，而，
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列.
（2）由（1）得，则，而，
两式相减可得，即，
所以.
（3）依题意，，而，则，
当时，，
故.
9．(1)，证明见解析
(2)
(3)可取1，2，3
【分析】（1）将代入即可得出.当时，由化简得出，根据定义法即可证明；
（2）由（1）得出，利用错位相减法即可得出；
（3）由（1）（2）得出，则.代入不等式化简可得出.构造函数，根据函数的单调性以及函数值，即可得出答案.
【详解】（1）当时，有，解得.
当时，有，
，
作差可得，
所以有，
所以有.
又，
所以数列为以为首项，为公差的等差数列，
所以.
（2）由（1）可知，，则.
所以，，
则，
作差可得，
，
所以，.
（3）由（1）（2）可知，，.
所以，，.
由可得，，
整理可得.
令，
易知在上单调递增，在上单调递增，
所以，在上单调递增.
又，
，，，
所以，当时，有，
即在时不成立.
所以可取1，2，3.
10．(1)，
(2)
【分析】（1）将代入直线得出，由与的关系求解通项公式即可；
（2）由得出，则当，2，3时，，当时，，即可求解的最小值．
【详解】（1）由题意知，则，
当时，，
当时，，
因为符合，
所以．
（2），令，
所以当，2，3时，，当时，，
故．
11．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据已知条件判断数列的正负，然后比较大小，从而证明.
（2）构造数列表达式，然后求其范围，得到不等式.
【详解】（1）证明：由已知条件可知与同号且，
故，，
故．
所以成立．
（2）证明：因为，故，
则，
当时，
所以当时，．
且当时，．
所以当时，．
12．(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，直接建立与的关系，求出和，即可求解；
（2）由（1）可得，再利用错位相减法，即可求解.
【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，
由题知，，
所以，解得，
所以．
（2）因为，∴，
∴，①
∴，②
得，
∴．
13．(1)
(2)
(3)2
【分析】（1）设数列的公差为，由解出即可求解；
（2）由（1）有，利用裂项相消法即可求解；
（3）由（1）（2）有得，令得，利用均值不等式即可求解.
【详解】（1）设数列的公差为，
所以，又，所以，
所以，
即；
（2）由（1）有，所以，
所以，
所以；
（3）由（1）（2）有，令，
所以，
由，当且仅当，即时等号成立，
所以，
所以实数k的最小值为2.
14．(1)；
(2)
【分析】（1）结合题意由以及等差数列的基本量法可得数列的通项；由等比数列下标的性质可得的通项公式；
（2）奇数项利用等比数列的求和公式求解，偶数项和由裂项相消法求和，然后再相加可得.
【详解】（1）由可得，
当时，，
所以，整理可得，
又，所以，即，即公差
当时，，即，
所以数列的通项公式为；
设等比数列的公比为，
由，可得，即，
解得或（舍去），
所以.
（2）奇数项为，对应通项为，
所以，
偶数项为，令可得，
求和为，
所以数列的前项和.
15．(1)，
(2)
【分析】（1）根据的关系，作差可得是首项为7，公差为3的等差数列，即可求，作差即可求解，
（2）利用裂项求和即可求解，进而利用单调性求解最值，解不等式即可.
【详解】（1）由，得，
两式相减得，即．
因为，所以，即．
当时，，解得或（舍去），
所以是首项为7，公差为3的等差数列，故，
因为，①
所以当时，，②
①-②得，也满足．
故的通项公式为，的通项公式为．
（2）因为，
所以，
当时，取得最小值．
因为对任意，恒成立，所以，
整理得，解得．
16．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出数列的公差，可求出数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式；
（2）利用裂项求和法求出，即可证得结论成立.
【详解】（1）因为数列中，，，且数列为等差数列，
设数列的公差为，则，故，
所以，故.
（2）因为，
所以
，故原不等式成立.
17．(1)；
(2)证明见解析；
(3)
【分析】（1）根据抛物线焦点坐标求得，代入方程即可求解；
（2）设出，，三点坐标，结合导数的几何意义，求出抛物线的切线方程，可得、是方程的两根，最后结合韦达定理与等差数列的性质进行证明即可；
（3）由（2）所得可得，再计算出与可得，即可得的外接圆直径为，再结合两点间距离公式可用表示出，即可构造函数，通过导数计算得到最小值，即可得的外接圆面积的最小值.
【详解】（1）因为抛物线的焦点为，
所以，即抛物线方程为：；
（2）设，
由得，得，
所以，，
因此直线的方程为，直线的方程为，
所以，，
故、是方程，即的两根，
故，所以，，三点的横坐标成等差数列；

（3）由，则，
，，
则，故，
则的外接圆直径为，
，
令，，
则，
则当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故，
故，则的外接圆半径，
故的外接圆面积的最小值为.
18．(1)
(2)最大值为5．
【分析】（1）根据等差数列通项公式写出表达式，再结合这个条件，代入与表达式，通过等式计算求出首项，进而得到通项公式.也可令，利用和公差求出.
（2）先由第一问得到的通项公式，根据等差数列前项和公式求出.再结合列出不等式，将其转化为一元二次不等式，求解不等式得到的取值范围，最后根据取值范围确定的最大值.
【详解】（1）因为数列是公差为2的等差数列，所以，
由可得，解得，
所以的通项公式为．
（2）由（1）得，
由得，即，解得，
由于，所以，所以的最大值为5．
19．(1)，
(2)
【分析】（1）设数列的公差为，列出方程组，求得，得到，，根据题意，得到，结合， 即可求解；
（2）由（1），得到，转化为对任意恒成立，分n为偶数和n为奇数，两种情况讨论，即可求得实数的取值范围．
【详解】（1）解：设数列的公差为，则，
故，则，，
依题意，，
当时，；
当时，，可得，
综上所述，，.
（2）解：由（1），可得，
故对任意恒成立，
即对任意恒成立，
当n为偶数时，原式化为，即，
因为，当时，可得，所以；
当n为奇数时，原式化为，即，
因为，所以时，取值最小，故，故，
综上可得，，即实数的取值范围为．
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）对于，由变形因式分解，结合得出，确定是等差数列求通项；对于，用项和与项和作差得，再验证首项．
（2）已知，是其前项和，分别用等差数列和等比数列求和公式计算．
（3）先对裂项相消求出，找到最小值，再根据恒大于等于，解关于的不等式．
【详解】（1）（1）因为，所以．
因为，所以，即．
又，所以是首项为7，公差为3的等差数列．
因为，①
所以当时，，②
①-②得也满足．
故的通项公式为的通项公式为．
（2）由（1）知，
所以
（3）因为，
所以，
当时，取得最小值．
因为对任意恒成立，所以，
整理得，解得．
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