资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
中小学教育资源及组卷应用平台
2025届高三数学高考二轮专题复习：直线的参数方程解答题专练
1．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（是参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线在直角坐标系中的标准方程；
(2)若曲线和曲线交于两点，求的最大值和最小值.
2．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)说明C是哪一种曲线，并将C的方程化为极坐标方程；
(2)若l的倾斜角为，l与C相交于A，B两点，求线段AB的中点R的直角坐标．
3．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），为直线的倾斜角，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线交于两点.
(1)求曲线的直角坐标方程，并求当时，直线的普通方程；
(2)若直线的斜率为，求.
4．在平面直角坐标系中，直线过点且倾斜角为，曲线的方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
(1)求直线的参数方程及曲线的极坐标方程；
(2)设交于两点，求的最小值．
5．若直线l：（t为参数）与曲线C：交于A，B两点．
(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
(2)若是AB的三等分点，求直线l的直角坐标方程．
6．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为.
(1)求圆C的标准方程；
(2)若直线与圆C相交于A，B两点，，求k的值.
7．在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
(1)求圆的普通方程和直线的直角坐标方程；
(2)若直线与圆相交于两点，点的直角坐标为，求的值．
8．双曲线的左、右焦点分别为，，直线过且与双曲线交于两点．
(1)若的倾斜角为，是等边三角形，求的值；
(2)设，若直线的斜率等于2，求两点的横坐标之和．
9．在平面直角坐标系中，过点的直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.直线与曲线相交于两点.
(1)求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；
(2)若成等比数列，求实数的值.
10．已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．
(1)求圆的直角坐标方程；
(2)若是直线与圆面的公共点，求的取值范围．
11．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程及直线的直角坐标方程；
(2)设直线交曲线于两点，求以线段为直径的圆的面积.
12．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)求的极坐标方程以及的直角坐标方程；
(2)已知过原点的直线与交于，两点，若，求的值．
13．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，已知，动直线l的参数方程为（t为参数，）．
(1)写出C在直角坐标系下的普通方程；
(2)若直线l与曲线C有两个公共点A和B，线段上一点K满足，以为参数写出K轨迹的参数方程．
14．参数方程是以参变量为中介来表示直线或曲线上点的坐标的方程，是直线或曲线在同一坐标系下的另一种表现形式．很多曲线（如心脏线、螺线、玫瑰线）都可以用参数方程呈现．在平面直角坐标系中，直线的参数方程式（为参数），其中，角为直线的倾斜角．曲线的参数方程是（为参数）．其中，直线与曲线相交于、点．
(1)根据以上的参数方程求出直线的一般式方程和曲线的标准方程；
(2)设点，设点对应的参数为，试证明：；
(3)试问是否存在角，使得对于任意的点，表达式均为定值，若存在，请求出及值（结果用，表示）；若不存在，请说明理由．
15．在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数）．在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．
(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
(2)设点，若直线与曲线交于A，B两点，求三角形POA和三角形POB面积乘积的值．
16．在直角坐标系中，曲线的渐近线方程为，，直线过点，且倾斜角为.以点为极点，以从点出发与x轴正方向同方向的射线为极轴，建立极坐标系，点在曲线上.
(1)写出曲线在第二象限的参数方程和直线的极坐标方程；
(2)曲线与直线相交于点，线段的中点为，求的面积.
17．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线的普通方程和极坐标方程；
(2)在平面直角坐标系中，过点且倾斜角为的直线与曲线交于两点，若中点为，求.
18．在直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数，），在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为.
(1)当时，求l的普通方程和C的直角坐标方程；
(2)设直线与l曲线C交于A，B两点，若为弦的中点，求弦长.
19．在直角坐标系xOy中，图形的方程为．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，图形的极坐标方程为．
(1)求的直角坐标方程；
(2)已知点P的直角坐标为，图形与交于A，B两点，直线AB上异于点P的点Q满足，求点Q的直角坐标．
20．在直角坐标系中，曲线C的参数方程是（为参数）.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
(2)已知点的坐标为，直线交曲线的同支于两点，求的取值范围.
中小学教育资源及组卷应用平台
中小学教育资源及组卷应用平台
《2025届高三数学高考二轮专题复习：直线的参数方程解答题专练》参考答案
1．(1)
(2)最小值为，最大值为8
【分析】（1）通过极坐标与普通坐标系转化公式求解即可；
（2）联立曲线与曲线的方程，利用参数的几何意义求出弦长，结合正弦函数的性质求解最值.
【详解】（1）对于曲线，有，即，
因此曲线的直角坐标方程为，
其标准方程为.
（2）联立曲线与曲线的方程可得，
，
因此的最小值为，最大值为8.
2．(1)C是以为圆心，2为半径的圆，
(2)
【分析】（1）利用消参法求C的普通方程，进而可知C是以为圆心，2为半径的圆，结合，求极坐标方程；
（2）将直线l的参数方程代入C的普通方程，根据参数的几何意义结合韦达定理运算求解.
【详解】（1）将C的参数方程，消去参数得到C的普通方程，
C是以为圆心，2为半径的圆．
将，代入C的普通方程，得．
（2）因为l的倾斜角为，所以l的参数方程为（t为参数），
代入C的普通方程，整理得关于l的方程为，
则，
设A，B，R对应的参数分别为，则，
于是，，
设点R的直角坐标为，则有，
代入，可得，所以R的直角坐标为．
3．(1)，
(2)
【分析】（1）运用极坐标方程与普通方程转化公式求解即可；
（2）求出直线的标准参数方程，后与曲线联立，借助的几何意义可解.
【详解】（1）将代入，
得，即，
所以曲线的直角坐标方程为.
当时，，
所以直线的普通方程为，即.
（2）当直线的斜率时，直线的参数方程为（为参数），
代入，整理，得，
由根与系数的关系，得.
由参数的几何意义，得，所以.
4．(1)（为参数），
(2)
【分析】（1）直接由直线的参数方程、曲线的极坐标方程的定义进行转换即可；
（2）联立直线参数方程与原的直角坐标方程，结合韦达定理、参数的几何意义可得，进一步结合三角函数性质即可求解.
【详解】（1）由已知得直线的参数方程为（为参数），
由，得，
又，
所以，即，
所以曲线的极坐标方程为．
（2）
将代入，得，
即，
设是上述方程的两实根，则，
又直线过，则两点对应的参数分别为，
所以
，当且仅当时，取等号．
所以的最小值为．
5．(1)当时，；当时，；
曲线C：.
(2)或
【分析】（1）对曲线和直线的参数方程分别消参数，得到它们的普通方程；
（2）设联立方程组消元，利用求根公式求得，结合若是AB的三等分点，，或，计算得到直线方程；
【详解】（1）直线l：，消去参数t可得，
当时，；当时，；
曲线C：.
（2）依题意，当时，，曲线C：，
联立方程组可得，则，
若不是AB的三等分点不符合题意；
当时，设，联立方程组，消元可得，
，
若是AB的三等分点，则，或，
当时，
可得，
解得或
则直线l的直角坐标方程或；
当时，
可得，
解得或
则直线l的直角坐标方程或，
综上可得直线l的直角坐标方程或，
6．(1)
(2)或.
【分析】（1）将，，，代入，求解即可；
（2）将的参数方程改写为标准参数方程（为参数，为直线的倾斜角）代入圆的方程,利用参数的几何意义求解即可.
【详解】（1）因为，，，代入，
所以圆的标准方程为，即.
（2）将的参数方程改写为（为参数，为直线的倾斜角）.
将代入，
整理得，
令A，B两点对应的参数分别为，则，
圆的圆心的直角坐标为，半径为2.
如图，A，B两点均在点的右侧，且，所以，
所以，即，
又因为，联立整理得，
解得或，此时或，
所以或

7．(1)，；
(2)3.
【分析】（1）参数方程化为普通方程，只需消去参数；极坐标方程化为普通方程，只需利用.
（2）欲求目标表达式，只需利用直线参数方程的意义即可.
【详解】（1）利用，消去参数，，
得到圆的普通方程为，
直线的极坐标方程可化为，
由，代入直线的极坐标方程，得到的直角坐标方程为.
（2）由（1）可知，圆的普通方程化简为；
点在上，将的方程化为参数方程：（为参数），
代入圆的普通方程，整理得，设方程的两根为，
则有，又由，故．
8．(1)
(2)
【分析】（1）由直线的倾斜角可求得点坐标，再利用等边三角形性质可得；
（2）求出双曲线方程和直线方程，联立后利用韦达定理即可得两点的横坐标之和为.
【详解】（1）设双曲线的焦距为，则可得，
当的倾斜角为时，不妨设，如下图所示：
将点代入可得，又；
解得；
由是等边三角形可得，即，
联立解得或（舍）；
所以可得；
（2）当时，双曲线方程为，此时
又直线的斜率等于2，所以直线方程为，
不妨设，联立直线和双曲线方程，
整理可得，
显然，由韦达定理可得，
即两点的横坐标之和为.
9．(1)，
(2).
【分析】（1）直线的参数方程消参得到普通方程，用公式得到曲线的直角坐标方程.
（2）成等比数列，利用参数几何意义，，解方程，即可得到答案.
【详解】（1）曲线的直角坐标方程为，
消去参数，得到直线的普通方程为：.
（2）将直线的参数方程（为参数）
代入曲线的直角坐标方程得：
化简整理得到：，
且恒成立.
设交点对应的参数分别为.则
若成等比数列，则，则
，即，
即即，
解得或（舍）所以满足条件的.
10．(1)
(2)
【分析】（1）利用极坐标方程化为直角坐标方程的公式化简可得结果；
（2）将代入可得，根据直线参数方程的几何意义可求得结果.
【详解】（1）由圆的极坐标方程为可得
，
又因为，
可得，
所以圆的直角坐标方程为；
（2）设，
由圆的直角坐标方程为可得；
即圆的圆心为，半径为2；
将代入可得，
又显然直线经过点，圆的半径为2；
根据直线参数方程的几何意义可知，
即可得的取值范围为
11．(1)，
(2)
【分析】（1）消去参数可得曲线的普通方程，由可得直线的直角坐标方程；
（2）方法一，根据条件求出直线的参数方程，利用参数的几何意义求出圆的直径即可得面积；方法二，联立直线和曲线方程，根据韦达定理和弦长公式求出圆的直径即可得面积
【详解】（1）由，知，代入，得，即.
因为，所以，
所以曲线的普通方程为.
由，得，
即.
将代入，得，
即直线的直角坐标方程为.
（2）由（1），知直线与轴的交点为，倾斜角为，
所以直线的参数方程可以表示为（为参数），
代入曲线的普通方程，得.
设两点对应的参数分别为，
解方程，得.
由，知，即，所以符合题意，
所以，
所以以线段为直径的圆的面积.
第（2）问另解：联立，得，
所以，
所以，
所以以线段为直径的圆的面积.
12．(1)，
(2)
【分析】（1）首先得到直线的普通方程，再化为极坐标方程，直接根据转化关系将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）首先得到直线的参数方程，将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，利用参数方程的几何意义计算可得.
【详解】（1）因为直线的参数方程为（为参数），
所以直线的普通方程为，又，所以，
即，即直线的极坐标方程为；
又曲线的极坐标方程为，所以，
即曲线的直角坐标方程为.
（2）依题意直线为，则直线的参数方程为（为参数），
将直线的参数方程代入中整理得，
则，，
所以.
13．(1)
(2)（为参数，）
【分析】（1）变形得到，利用得到，并得到；
（2）将代入，得到两根之和，两根之积，结合，由图形可知，为锐角且满足，由题目条件得到，从而求出点K的坐标为，得到轨迹方程.
【详解】（1）由得，
又，即，
整理可得，而，故，
即，
故C在直角坐标系下的普通方程为．
（2）将代入，
消去x，y，整理得，
，又，考虑到，
由图形可知，为锐角且满足，
又，故在线段上，
由韦达定理及题设可知，
考虑点K在线段上，故，
则点K的坐标为，
故K轨迹的参数方程为（为参数，），
其中锐角满足．
14．(1)或；
(2)证明见详解
(3)存在，，
【分析】（1）根据参数方程消去参数化简即可得到结果；
（2）根据点对应的参数为，可得，由两点间距离公式代入运算可得证；
（3）设点对应的参数为，根据直线参数方程的几何意义可得，，将直线的参数方程代入曲线的标准方程结合韦达定理可得，代入运算得解.
【详解】（1）由，消去参数，
当时，得，
当时，得，
所以直线的一般式方程为或.
由，得，消去参数，得，
所以曲线C的标准方程为.
（2）由点对应的参数为，则，
.
（3）设点对应的参数为，由（2）可得，，
将直线的参数方程代入曲线的标准方程可得，
化简整理得，
，，
，
当，即，即时，
，
所以存在，使得对于任意的点，表达式为定值，
此时，.
【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键是利用直线参数方程的几何意义得，，将直线的参数方程代入曲线的标准方程结合韦达定理运算.
15．(1)普通方程为，直角坐标方程为
(2)
【分析】（1）平方消去参数得到曲线的普通方程，利用正弦差角公式得到，代入得到直线的直角坐标方程；
（2）点在直线上，设直线的参数方程，代入中，设A,B两点对应的参数分别为，得到两根之积，结合点到直线的距离为，求出两三角形面积之积,
【详解】（1）由(为参数),消去参数可得,
故曲线的普通方程为.
由,可得,
即,
将代入上式,可得,
故直线的直角坐标方程为
（2）由（1）可知，点在直线上,
可设直线的参数方程为（为参数）.
将代入，化简得.
设A,B两点对应的参数分别为,则,
由题意可得
又点到直线的距离为，
所以
16．(1)，
(2)
【分析】（1）由已知双曲线渐近线方程可设双曲线方程为，再由极坐标与平面直角坐标系的转化公式得出A点的直角坐标，代入方程求出得双曲线方程，再转化为参数方程，设直线上任意一点的极坐标为，在三角形中利用正弦定理可得直线极坐标方程；
（2）写出直线的参数方程，联立双曲线方程，根据韦达定理，利用参数的几何意义可得，再由三角形面积公式得解.
【详解】（1）因为曲线的渐近线方程为，故可设曲线的方程为，
由点，可得，即点A的直角坐标为，
将点坐标代入方程可得
曲线的普通方程为，
在第二象限的参数方程为 （参数方程答案不唯一），
设在轴上方直线上任意一点的极坐标为，连接，如图，
在中，，由正弦定理可得：
即 ，
经验证，在轴上及轴下方直线上的点也满足上式，
直线的极坐标方程为.
（2）设直线的参数方程为，（为参数），
联立的参数方程和的普通方程，得，
设对应的参数为，
则，，
在中，.
17．(1)，.
(2)
【分析】（1）利用同角的平方关系式消去参数，可得普通方程，利用平面直角坐标和极坐标的变换公式可得极坐标方程.
（2）把直线的参数方程代入曲线的一般方程，消元后利用参数的几何意义及弦长公式即可得到答案.
【详解】（1）由，
得到，
即，
所以曲线的普通方程为.
又因为，
则，
整理得，
即曲线的极坐标方程为.
（2）由题意可得直线的参数方程为（为参数），
代入，整理得，，
设所对应的参数分别为，且，
所以.
因为中点为，则，
，所以.
18．(1)；
(2)
【分析】（1）消去参数可得l的普通方程，借助极坐标方程与直角坐标方程得关系可得C的直角坐标方程；
（2）将直线的参数方程代入C的直角坐标方程，借助参数的几何意义计算即可得.
【详解】（1）当时，（t为参数），则，
即l的普通方程为，
由，有，即，
即C的直角坐标方程为；
（2）将代入，有，
整理得，
显然，
故有，，
由为弦的中点，故有，即，
即，又，
即，，
则.
19．(1)；
(2).
【分析】（1）将代入的极坐标方程化简即得；
（2）先判断点在图形上，写出的参数方程，代入的直角坐标方程，整理得韦达定理，化简条件，得，求出的值即得点Q的直角坐标.
【详解】（1）因的极坐标方程为，将代入，
可得其直角坐标方程为，即．
（2）如图，可知点在图形上，则为参数，
将其代入，得．
设所对应参数分别为，则．
由，得，
即．
所以或，
即或．
易知，所以，
将其代入的参数方程为参数，
即可求得点的直角坐标为．
20．(1)，
(2).
【分析】（1）将分别平方后相减即可得曲线的普通方程，由可得直线的直角坐标方程；
（2）根据题意设设直线的参数方程为（其中为参数），代入曲线的普通方程，结合韦达定理以及t的几何意义即可求得答案.
【详解】（1），①
，②
①-②，得，所以曲线的普通方程为.
由，可将，化为.
故直线的直角坐标方程为.
（2）由（1）知，直线恒过点，故可设直线的参数方程为（其中为参数），
设两点对应的参数分别是.
将直线的参数方程代入，得.
因为直线交曲线的同支于两点，曲线的渐近线方程为，
所以，所以，
由韦达定理，可得与异号.
所以
.
由于，从而，
所以所求式的取值范围为.
答案第2页，共20页
答案第1页，共20页

展开更多......

收起↑